Topologia;omeomorfismi
siano $X$ e $Y$ spazi topologici tali che esistano
$f:XrarrY$
$g:YrarrX$
con $f$ e $g$ continue e biunivoche.
dimostrare o confutare:
1) allora $X$ e $Y$ sono omeomorfi
2) $f$ e $g$ sono necessariamente omeomorfismi
EDIT:scusate, mi hanno fatto notare un errore nella mia dimostrazione; non so risolvere il punto 1), a questo punto non so nemmeno se sia vero o falso.
se qualcuno riesce a risolverlo mi farà felice
$f:XrarrY$
$g:YrarrX$
con $f$ e $g$ continue e biunivoche.
dimostrare o confutare:
1) allora $X$ e $Y$ sono omeomorfi
2) $f$ e $g$ sono necessariamente omeomorfismi
EDIT:scusate, mi hanno fatto notare un errore nella mia dimostrazione; non so risolvere il punto 1), a questo punto non so nemmeno se sia vero o falso.
se qualcuno riesce a risolverlo mi farà felice
Risposte
"ViciousGoblin":Sbaglio o la compattezza e la compattezza sequenziale in generale non sono implicate l'una dall'altra?
se ti metti nell'ordine di idee della compattezza, ho l'impressione allora che basti la compattezza "tout-court" invece di quella sequenziale.
@Martino Per quanto ne so, l'implicazione giusta(*) è [tex]$\mathrm{Compattezza}\Rightarrow\mathrm{Sequenziale\,Compattezza}$[/tex]! E.G.: Munito [tex]$\mathbb{R}$[/tex] della topologia cofinita, esso non è compatto ma è compatto per successioni!
@ViscousGoblin Per la tua ipotesi (a) non serve nessuna ipotesi sulla topologia, per la tua ipotesi (b) serve l'ipotesi che la topologia sia [tex]$\matrm{T}_2$[/tex]! Da quanto indirizzato a Martino, ho utilizzato un'ipotesi più debole della compattezza, ed attualmente i miei dubbi sono sempre quelli che ho espresso.
EDIT Con quanto scritto sull'ipotesi (b-VG) non è che i chiusi di uno spazio topologico di Hausdorff siano compatti.
EDIT(*) No, è errata! Si continui a leggere i successivi post!
@ViscousGoblin Per la tua ipotesi (a) non serve nessuna ipotesi sulla topologia, per la tua ipotesi (b) serve l'ipotesi che la topologia sia [tex]$\matrm{T}_2$[/tex]! Da quanto indirizzato a Martino, ho utilizzato un'ipotesi più debole della compattezza, ed attualmente i miei dubbi sono sempre quelli che ho espresso.
EDIT Con quanto scritto sull'ipotesi (b-VG) non è che i chiusi di uno spazio topologico di Hausdorff siano compatti.
EDIT(*) No, è errata! Si continui a leggere i successivi post!
"j18eos":Mi sa di no. Esistono spazi topologici compatti ma non compatti per successioni. In analisi funzionale si trovano esempi di questo tipo, se non sbaglio (aiuto, VG!): mi pare che, in uno spazio di Banach $E$, la sfera unitaria è sempre debolmente compatta, ma è debolmente sequenzialmente compatta solo quando $E$ è riflessivo. Qualcosa del genere.
@Martino Per quanto ne so, l'implicazione giusta è [tex]$\mathrm{Compattezza}\Rightarrow\mathrm{Sequenziale\,Compattezza}$[/tex]!
In effetti, l'implicazione corretta (senza dubbi) è [tex]$(\mathrm{N}_1\,\&\,\mathrm{Compattezza})\Rightarrow\mathrm{Sequenziale\,Compattezza}$[/tex].
Chiedo scusa a Martino se ho dato l'impressione di confondere compattezza con compattezza sequenziale (peraltro nel prosieguo del mio discorso mi sembra chiaro che
distinguo tra le due). Per la verità non volevo impelagarmi in queste sottigliezze - io sostenevo più semplicemente che l'enunciato di j18eos (che all'inizio mi sembrava errato non avendo notato l'ipotesi di compattezza) dice semplicemente
"$f$ continua e bigettiva su $\Omega$ (sequenzialmente) compatto implica $f^{-1}$ continua"
e questo mi sembrava fosse chiaro "ab initio" (l'aveva ricordato dissonance, se non sbaglio).
Ho anche messo in evidenza che il "sequenzialmente" si può togliere se valgono a) e b). (*)
Poi è ben noto che nessuna delle due nozioni di compattezza implica l'altra (anche se negli spazi che si incontrano in analisi la situazione tipica (**) è "compattezza sequenziale" implica "compattezza", vedi gli esempi citati da dissonance, - per cui a me la rimozione dell'aggettivo "sequenziale" appare come un miglioramento del teorema)
(*) Dopo aver fatto la verifica concordo che per a) non serve nulla.
EDIT concordo anche che per la b) basta che $\Omega$ sia Hausdorff. In effetti vale:
$\Omega$ compatto, $\Omega'$ Hausdorff, $f:\Omega\to\Omega'$ continua e bigettiva IMPLICA $f$ omeomorfismo.
EDIT 2 - credo che ciò a cui si riferiva dissonance sia questo: se $E$ è uno spazio di Banach allora la palla unitaria nel duale di $E$ è debole star compatta, ma è debole star sequenzialmente compatta solo se $E$ è separabile (la riflessività invece permette di togliere "star" ).
distinguo tra le due). Per la verità non volevo impelagarmi in queste sottigliezze - io sostenevo più semplicemente che l'enunciato di j18eos (che all'inizio mi sembrava errato non avendo notato l'ipotesi di compattezza) dice semplicemente
"$f$ continua e bigettiva su $\Omega$ (sequenzialmente) compatto implica $f^{-1}$ continua"
e questo mi sembrava fosse chiaro "ab initio" (l'aveva ricordato dissonance, se non sbaglio).
Ho anche messo in evidenza che il "sequenzialmente" si può togliere se valgono a) e b). (*)
Poi è ben noto che nessuna delle due nozioni di compattezza implica l'altra (anche se negli spazi che si incontrano in analisi la situazione tipica (**) è "compattezza sequenziale" implica "compattezza", vedi gli esempi citati da dissonance, - per cui a me la rimozione dell'aggettivo "sequenziale" appare come un miglioramento del teorema)
(*) Dopo aver fatto la verifica concordo che per a) non serve nulla.
EDIT concordo anche che per la b) basta che $\Omega$ sia Hausdorff. In effetti vale:
$\Omega$ compatto, $\Omega'$ Hausdorff, $f:\Omega\to\Omega'$ continua e bigettiva IMPLICA $f$ omeomorfismo.
EDIT 2 - credo che ciò a cui si riferiva dissonance sia questo: se $E$ è uno spazio di Banach allora la palla unitaria nel duale di $E$ è debole star compatta, ma è debole star sequenzialmente compatta solo se $E$ è separabile (la riflessività invece permette di togliere "star" ).
Comunque, nell'ottica di condizioni sufficienti per il teorema iniziale (o un teorema collegato) direi che è appropriato citare il teorema di invarianza del dominio:
Se $\Omega$ è un aperto di $RR^N$ e $f:\Omega\to RR^N$ è continua e iniettiva, allora $f(\Omega)$ è aperto e $f^{-1}:f(\Omega)\to\Omega$ è continua.
(teorema che si dimostra usando teorema di punto fisso di Brouwer e dimostrando che $f$ è aperta).
Questo teorema (unito a quello del caso compatto) credo ostacoli molto la creazione di un controesempio - sono peraltro convinto che debba essere possible trovare un sottoinsieme $\Omega$ di $RR$ (con la topologia euclidea) e una bigezione continua ma non bicontinua su $\Omega$.
Se $\Omega$ è un aperto di $RR^N$ e $f:\Omega\to RR^N$ è continua e iniettiva, allora $f(\Omega)$ è aperto e $f^{-1}:f(\Omega)\to\Omega$ è continua.
(teorema che si dimostra usando teorema di punto fisso di Brouwer e dimostrando che $f$ è aperta).
Questo teorema (unito a quello del caso compatto) credo ostacoli molto la creazione di un controesempio - sono peraltro convinto che debba essere possible trovare un sottoinsieme $\Omega$ di $RR$ (con la topologia euclidea) e una bigezione continua ma non bicontinua su $\Omega$.
OUT OF SELF @ViscousGoblin Dato che hai utilizzato il verbo impegolare e dato che non ho tempo, ci terrei a dirti di non sentirti così, io sono ostico da leggere ed ovvio che qualche utente esperto di matematica sollevasse dei dubbi, forse i miei sono delle bolle in delicata attesa di esplodere... vi farò sapere! 
P.S.: Starei cercando un esempio più abbordabile di spazio topologico compatto ma non per successioni, per ora ho concluso che la topologia conumerabile su un insieme più che numerabile non è né compatta né compatta per successioni!
EDIT Sia [tex]$\mathcal{T}$[/tex] la topologia su [tex]$\mathbb{N}_0$[/tex] che ha per base [tex]$\mathcal{B}=\{\{n\}\in\mathcal{P}(\mathbb{N})\mid n\in\mathbb{N}\}\cup\{\mathbb{N}_0\}$[/tex], ovvero, i singleton dei numeri naturali non nulli siano gli aperti atomici; si ha che [tex]$(\mathbb{N}_0;\mathcal{T})$[/tex] è uno spazio topologico compatto (ogni ricoprimento per aperti non copre lo [tex]$0$[/tex] a meno che non si consideri anche [tex]$\mathbb{N}_0$[/tex], quindi...) ma non per successioni, infatti, la successione dei numeri naturali da [tex]$1$[/tex] in poi non converge e non contiene successioni estratte convergenti! Convince questa mia idea?
P.S.: Starei cercando un esempio più abbordabile di spazio topologico compatto ma non per successioni, per ora ho concluso che la topologia conumerabile su un insieme più che numerabile non è né compatta né compatta per successioni!
EDIT Sia [tex]$\mathcal{T}$[/tex] la topologia su [tex]$\mathbb{N}_0$[/tex] che ha per base [tex]$\mathcal{B}=\{\{n\}\in\mathcal{P}(\mathbb{N})\mid n\in\mathbb{N}\}\cup\{\mathbb{N}_0\}$[/tex], ovvero, i singleton dei numeri naturali non nulli siano gli aperti atomici; si ha che [tex]$(\mathbb{N}_0;\mathcal{T})$[/tex] è uno spazio topologico compatto (ogni ricoprimento per aperti non copre lo [tex]$0$[/tex] a meno che non si consideri anche [tex]$\mathbb{N}_0$[/tex], quindi...) ma non per successioni, infatti, la successione dei numeri naturali da [tex]$1$[/tex] in poi non converge e non contiene successioni estratte convergenti! Convince questa mia idea?
Veramente avevo usato il verbo impelagare
Comunque non ho capito se sei d'accordo o no che al fine il tuo enunciato (quello riguardo al quale ho postato il primo commento) dice sostanzialmente che $f$ bigettiva e continua su $\Omega$ compatto ha inversa continua (a parte le sottigliezze sulla nozione di compatto ...) - però se non hai tempo di rispondere lascia pure perdere.
Riguardo alla tua ultima domanda ho l'impressione che la successione tenda a zero
-con quella topologia direi che qualunque successione tende a zero (e può tendere anche a un $n\ne 0$ se è definitivamente eguale a $n$).
Comunque non ho capito se sei d'accordo o no che al fine il tuo enunciato (quello riguardo al quale ho postato il primo commento) dice sostanzialmente che $f$ bigettiva e continua su $\Omega$ compatto ha inversa continua (a parte le sottigliezze sulla nozione di compatto ...) - però se non hai tempo di rispondere lascia pure perdere.
Riguardo alla tua ultima domanda ho l'impressione che la successione tenda a zero
-con quella topologia direi che qualunque successione tende a zero (e può tendere anche a un $n\ne 0$ se è definitivamente eguale a $n$).
Ho controllato sul dizionario [tex]$2$[/tex] volte ed ho trovato impelagarsi=impegolarsi voce del verbo impegolare(*), me ne lavo le mani!
Tornado al mio sbaglio, quello spazio topologico compatto è anche [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] per cui è compatto per successioni, forse non è altri che la compattificazione di Alexandrov (od Alexandroff come uno preferisce scrivere) dello spazio discreto su [tex]$\mathbb{N}$[/tex]. -_-
Quindi, se compattificassi alla Alexandrov uno spazio non compatto e non [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] potrei trovare uno spazio compatto non per successioni.
Ancora, compattificando alla Alexandrov uno spazio topologico non compatto, si potrebbe studiare il problema posto nel suo compattificato per poi restringersi alla spazio originale.
Infine, ho capito che ho utilizzato proprietà note sugli spazi topologici compatti per successioni analoghe a quelle degli spazi topologici compatti, solo che non lo sapevo e quindi non è che mi sia mosso molto in là; ma è stato bello lo stesso dimostrarle!
§§§
(*) E mi sono pure ricordato, che il prof. d'italiano ci assegnò di ricercare tale verbo sul dizionario, dato che c'è il trattino caratteristico che lasciavo ogni volta che trovavo una parola assegnata.
EDIT Corretto un errore di battitura, della serie astrologa[tex]$\neq$[/tex]astragalo!
Tornado al mio sbaglio, quello spazio topologico compatto è anche [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] per cui è compatto per successioni, forse non è altri che la compattificazione di Alexandrov (od Alexandroff come uno preferisce scrivere) dello spazio discreto su [tex]$\mathbb{N}$[/tex]. -_-
Quindi, se compattificassi alla Alexandrov uno spazio non compatto e non [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] potrei trovare uno spazio compatto non per successioni.
Ancora, compattificando alla Alexandrov uno spazio topologico non compatto, si potrebbe studiare il problema posto nel suo compattificato per poi restringersi alla spazio originale.
Infine, ho capito che ho utilizzato proprietà note sugli spazi topologici compatti per successioni analoghe a quelle degli spazi topologici compatti, solo che non lo sapevo e quindi non è che mi sia mosso molto in là; ma è stato bello lo stesso dimostrarle!
§§§
(*) E mi sono pure ricordato, che il prof. d'italiano ci assegnò di ricercare tale verbo sul dizionario, dato che c'è il trattino caratteristico che lasciavo ogni volta che trovavo una parola assegnata.
EDIT Corretto un errore di battitura, della serie astrologa[tex]$\neq$[/tex]astragalo!
@Armando: Se stai cercando esempi/controesempi di natura topologica, prova a guardare su Counterexamples in topology di Steen e Seebach. Se cerchi un po' in rete ne trovi tranquillamente una scansione.
"ViciousGoblin":
non volevo impelagarmi in queste sottigliezze
"j18eos":"Impelogare" non lo trovo, non credo che esista.
Ho controllato sul dizionario [tex]$2$[/tex] volte ed ho trovato impelagarsi=impelogarsi voce del verbo impelogare(*), me ne lavo le mani!.
"j18eos":Impegolare [tex]\neq[/tex] impelogare !
@ViscousGoblin Dato che hai utilizzato il verbo impegolare
"Treccani":
impegolare v. tr. [der. di pegola] (io impégolo, ecc.). – In senso proprio, sinon. pop. di impeciare, cioè spalmare, impiastrare (e, al rifl., impiastrarsi, sporcarsi) di pece: i. lo scafo di un’imbarcazione; Li arruncigliò le ’mpegolate chiome E trassel sù (Dante). Più com. oggi in senso fig., al rifl., cacciarsi in imbrogli, in faccende moleste e intricate, o stringere rapporti dannosi alla propria reputazione, e sim.: si è impegolato nei guai fino agli occhi; è andato a impegolarsi con quella gentaccia.
"Treccani":Quindi "impegolarsi" e "impelagarsi" sono morfologicamente diversi (sono sequenze distinte di lettere), ma sintatticamente equivalenti (sinonimi) nella forma riflessiva.
impelagarsi v. rifl. [der. di pelago] (io m’impèlago, tu t’impèlaghi, ecc.). – Mettersi in un pelago, nel senso fig. della parola, cioè cacciarsi in faccende lunghe o imbrogliate, in difficoltà da cui è difficile uscire, e sim.: s’è impelagato in quella lite che non si risolverà mai; impelagarsi in un mare di guai, nei debiti, in un brutto affare.
Non vorrei che pensassi che ce l'ho con te, cosa che è lontanisima dalle mie intenzioni. Oltretutto, come cercavo di far trasparire, non sono appassionato delle massime generalità -
almeno in linea di principo, salvo poi farmi coinvolgere nelle discussioni in cui si spezza il capello in quattro.... E riguardo alla tua dimostrazione il tuo discorso fila perfettamente.
Però (scusa ma sottilizzare è più forte di me
) impelagarsi = addentrarsi nel pelago, cioè nel mare / impegolarsi = rimanere invinschiato nella pegola cioè nella pece. E' chiaro
che sono due metafore dal significato praticamente identico, ma sono verbi diversi. Tutto questo "per la precisione" (come diceva un qualche comico una decina di anni fa).
Ciao e non perderti troppo a inseguire i compatti
EDIT Vedo che Martino mi ha preceduto nella discussione.
almeno in linea di principo, salvo poi farmi coinvolgere nelle discussioni in cui si spezza il capello in quattro.... E riguardo alla tua dimostrazione il tuo discorso fila perfettamente.
Però (scusa ma sottilizzare è più forte di me
) impelagarsi = addentrarsi nel pelago, cioè nel mare / impegolarsi = rimanere invinschiato nella pegola cioè nella pece. E' chiaroche sono due metafore dal significato praticamente identico, ma sono verbi diversi. Tutto questo "per la precisione" (come diceva un qualche comico una decina di anni fa).
Ciao e non perderti troppo a inseguire i compatti
EDIT Vedo che Martino mi ha preceduto nella discussione.
"ViciousGoblin":Quanto mi piacciono queste precisazioni! "Impelagarsi" è un verbo che uso frequentemente (mi sono impelagato in una discussione con quel rompiscatole) ma non m'ero mai chiesto cosa significasse veramente. Certe volte uno parla e non sa che cosa sta dicendo.
Però (scusa ma sottilizzare è più forte di me
Quindi, per quel che mi riguarda, @VG: per me puoi sottilizzare quanto vuoi, anzi, più sottilizzi (:-D mi fa ridere questo verbo) e meglio è!
Per cortesia non pensare che io mi sia (usa tu un\il termine adatto), i tuoi interventi mi hanno fatto aprire gli occhi sulla teoria degli spazi compatti e per questo ti ringrazio eppoi mi sto arricchendo il dizionario personale.
eppoi mi sto arricchendo il dizionario personale.
"dissonance":L'ho trovato: considerato [tex]$([0;1]\equiv I;\mathcal{A}_{nat})$[/tex], si consideri il prodotto topologico [tex]$\prod_{j\in I}I_j=I^I$[/tex] (spazio delle funzioni di [tex]$I$[/tex] in sé).
@Armando: Se stai cercando esempi/controesempi di natura topologica, prova a guardare su Counterexamples in topology di Steen e Seebach...
Per il teorema di Tychonov esso è compatto, si dimostra che non è [tex]$N_1$[/tex] e non è compatto per successioni!
P.S.: L'altro spazio topologico considerato si chiama spazio di Forti (o Fort)!
Con la compattificazione di Alexandrov non si ottiene nessuna restrizione.
---
Ecco un esempio di spazio topologico una cui permutazione continua non ne sia un automeomorfismo: su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si consideri la seguente topologia [tex]$\mathcal{T}=\{\emptyset;\,\mathbb{R};\,(-r;r)\mid r\in[0;1]\}$[/tex] e la permutazione [tex]$f:x\in\mathbb{R}\to2x\in\mathbb{R}$[/tex], è [tex]$f(-1;1)=(-2;2)$[/tex] per cui essa non è aperta!
Fonte: Tallini - Strutture geometriche - Liguori editori; me n'ero dimenticato ed oggi l'ho ricordato!
---
Sono giunto alla conclusione che il problema sia rispondibile positivamente per gli spazi di Hausdorff localmente compatti, i cui compatti hanno interno non vuoto!
Siano [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] un siffatto spazio ed [tex]$f$[/tex] una sua permutazione continua, dato che ogni punto [tex]$P$[/tex] ha un sistema fondamentali d'intorni compatti, per l'assioma [tex]$\mathrm{T}_2$[/tex] tali intorni sono chiusi (quindi lo spazio è anche [tex]$\mathrm{T}_3$[/tex] o regolare ma non importa, per adesso).
Dato che i compatti non hanno interno vuoto, per ogni punto [tex]$P\in S$[/tex] si può considerare la famiglia dei compatti in cui esso è interno, tale ne costituisce un sistema fondamentale d'intorni [tex]$\mathcal{U}(P)$[/tex]; poiché [tex]$P$[/tex] è aderente ai suoi intorni (compatti) lo stesso è per [tex]$f(P)$[/tex] allora [tex]$f$[/tex] lo trasforma in [tex]$\mathcal{U}(f(P))$[/tex] e si ottiene che [tex]$f$[/tex] è una funzione chiusa; per cui l'asserto.
Allo stesso modo si generalizza ciò agli spazi regolari i cui chiusi hanno interno non vuoto!
Al solito: convince?
---
Ecco un esempio di spazio topologico una cui permutazione continua non ne sia un automeomorfismo: su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si consideri la seguente topologia [tex]$\mathcal{T}=\{\emptyset;\,\mathbb{R};\,(-r;r)\mid r\in[0;1]\}$[/tex] e la permutazione [tex]$f:x\in\mathbb{R}\to2x\in\mathbb{R}$[/tex], è [tex]$f(-1;1)=(-2;2)$[/tex] per cui essa non è aperta!
Fonte: Tallini - Strutture geometriche - Liguori editori; me n'ero dimenticato ed oggi l'ho ricordato!
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Sono giunto alla conclusione che il problema sia rispondibile positivamente per gli spazi di Hausdorff localmente compatti, i cui compatti hanno interno non vuoto!
Siano [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] un siffatto spazio ed [tex]$f$[/tex] una sua permutazione continua, dato che ogni punto [tex]$P$[/tex] ha un sistema fondamentali d'intorni compatti, per l'assioma [tex]$\mathrm{T}_2$[/tex] tali intorni sono chiusi (quindi lo spazio è anche [tex]$\mathrm{T}_3$[/tex] o regolare ma non importa, per adesso).
Dato che i compatti non hanno interno vuoto, per ogni punto [tex]$P\in S$[/tex] si può considerare la famiglia dei compatti in cui esso è interno, tale ne costituisce un sistema fondamentale d'intorni [tex]$\mathcal{U}(P)$[/tex]; poiché [tex]$P$[/tex] è aderente ai suoi intorni (compatti) lo stesso è per [tex]$f(P)$[/tex] allora [tex]$f$[/tex] lo trasforma in [tex]$\mathcal{U}(f(P))$[/tex] e si ottiene che [tex]$f$[/tex] è una funzione chiusa; per cui l'asserto.
Allo stesso modo si generalizza ciò agli spazi regolari i cui chiusi hanno interno non vuoto!
Al solito: convince?
"j18eos":Un tale spazio è necessariamente discreto. Infatti i singoletti sono compatti e per non avere interno vuoto devono essere aperti.
Sono giunto alla conclusione che il problema sia rispondibile positivamente per gli spazi di Hausdorff localmente compatti, i cui compatti hanno interno non vuoto!
"dissonance":Un tale spazio è necessariamente discreto...[/quote] Sono così contento di non essermene accorto che correrò a piedi al santuario di Madonna dell'Arco sotto il Sol Leone per ringraziarla così
[quote="j18eos"]...gli spazi di Hausdorff localmente compatti, i cui compatti hanno interno non vuoto!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Battute a parte:
I) ci sono devoti che sbattono la testa contro il marmo dell'altare per amore (a loro dire) della Madonna dell'Arco;
II) fatica sprecata per i casi summenzionati. T_T È il caso di chiudere così:
"Topolino":
L'arte di complicarsi la vita è una dote innata, e ve lo dice uno che se ne intende.
Mi spezzi Armando
@Armando: 
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