Topologia;omeomorfismi
siano $X$ e $Y$ spazi topologici tali che esistano
$f:XrarrY$
$g:YrarrX$
con $f$ e $g$ continue e biunivoche.
dimostrare o confutare:
1) allora $X$ e $Y$ sono omeomorfi
2) $f$ e $g$ sono necessariamente omeomorfismi
EDIT:scusate, mi hanno fatto notare un errore nella mia dimostrazione; non so risolvere il punto 1), a questo punto non so nemmeno se sia vero o falso.
se qualcuno riesce a risolverlo mi farà felice
$f:XrarrY$
$g:YrarrX$
con $f$ e $g$ continue e biunivoche.
dimostrare o confutare:
1) allora $X$ e $Y$ sono omeomorfi
2) $f$ e $g$ sono necessariamente omeomorfismi
EDIT:scusate, mi hanno fatto notare un errore nella mia dimostrazione; non so risolvere il punto 1), a questo punto non so nemmeno se sia vero o falso.
se qualcuno riesce a risolverlo mi farà felice
Risposte
Non per vendetta, ma questa affermazione è falsa
Inoltre, ciò spiega perché con una semplice compattificazione non si ottiene nulla!
L'errore è questo, per come l'ho scovato io: siano [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] uno spazio topologico compatto ed [tex]$f$[/tex] una sua permutazione continua, poiché ogni insieme chiuso [tex]$C[/tex] è compatto allora [tex]$f(C)$[/tex] è compatto ma non è detto che sia chiuso; per esserlo si deve richiedere che [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] sia uno spazio di Hausdorff compatto oppure che esso sia uno spazio topologico compatto con finiti chiusi.
Per conseguenza, il caso degli spazi topologici [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] sequenzialmente compatti è per forza d'idee distinto dal precedente (non me ne voglia ViscousGoblin).
---
Considerato un insieme infinito [tex]$S$[/tex] più che numerabile strutturato con la topologia cofinita [tex]$\mathcal{T}$[/tex], una qualsiasi permutazione di [tex]$f$[/tex] di [tex]$S$[/tex] è chiusa, quindi le sue permutazioni continue sono automeomorfismi.
Tale è un esempio di spazio compatto, sequenzialmente compatto e separabile ma non è né di Hausdorff e né [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] che risponde positivamente al problema posto.
---
Considerato un insieme infinito [tex]$S$[/tex] più che numerabile strutturato con la topologia conumerabile [tex]$\mathcal{T}$[/tex], una qualsiasi permutazione di [tex]$f$[/tex] di [tex]$S$[/tex] è chiusa, quindi le sue permutazioni continue sono automeomorfismi.
Tale è un esempio di spazio non compatto, né sequenzialmente compatto, né di Hausdorff, né separabile e né [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] che risponde positivamente al problema posto.
---
Considerati [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{T}_{\mathrm{nat}})$[/tex] ed una sua permutazione continua [tex]$f$[/tex], essa trasforma insiemi compatti ed insiemi connessi in medesimi; in particolare trasforma intervalli chiusi e limitati in medesimi.
Considerato il generico intervallo chiuso e limitato [tex]$[a;b]$[/tex], siano [tex]$[c;d]=f([a;b])$[/tex] ed [tex]$\stackrel{\circ}{x}$[/tex] interno ad [tex]$[a;b]$[/tex]. Essendo [tex]$\stackrel{\circ}{x}$[/tex] un punto di taglio per [tex]$[a;b]$[/tex] lo è anche [tex]$f(\stackrel{\circ}{x})$[/tex] per [tex]$[c;d]$[/tex]; perché [tex]$f$[/tex] è un omeomorfismo tra tali insiemi strutturati con la topologia indotta da [tex]$\mathcal{T}_{\mathrm{nat}}$[/tex], quindi [tex]$f$[/tex] è un'applicazione aperta e per ciò è un automeomorfismo.
Tale è un esempio di spazio di Hausdorff ed [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] ma non è né compatto e né sequenzialmente compatto che risponde positivamente al problema posto.
---
Purtroppo mi sono stancato di scrivere; intuitivamente gli spazi separabili ed [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] e gli spazi di Hausdorff localmente compatti (in cui possono esistere insiemi chiusi ad interno vuoto, giusto per stare tranquilli dato che il caso opposto l'ho già trattato
) rispondono di sì al quesito che sto trattando.
Trattati questi ultimi 2 casi mi fermo, perché ho letto sul Tallini che tale è (od era almeno fino al 1991) una questione aperta!
OUT OF SELF TO dissonance and Martino: Dovevate vedermi quando misi in scena una battuta sulle mie vacanze in manicomio.
Feci cadere figurativamente un teatro! 
EDIT Corretto un erroraccio grammaticale: "...un'insieme..." -_- e modificato un po la notazione!
"dissonance":in quanto quello spazio topologico preso dal Tallini è compatto ma non di Hausdorff, eppure esiste una sua permutazione continua che non è un omeomorfismo.
...L'unico fastidio è che occorre evitare spazi compatti, perchè essi rendono omeomorfismi le applicazioni continue e bigettive...
Inoltre, ciò spiega perché con una semplice compattificazione non si ottiene nulla!
L'errore è questo, per come l'ho scovato io: siano [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] uno spazio topologico compatto ed [tex]$f$[/tex] una sua permutazione continua, poiché ogni insieme chiuso [tex]$C[/tex] è compatto allora [tex]$f(C)$[/tex] è compatto ma non è detto che sia chiuso; per esserlo si deve richiedere che [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] sia uno spazio di Hausdorff compatto oppure che esso sia uno spazio topologico compatto con finiti chiusi.
Per conseguenza, il caso degli spazi topologici [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] sequenzialmente compatti è per forza d'idee distinto dal precedente (non me ne voglia ViscousGoblin).
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Considerato un insieme infinito [tex]$S$[/tex] più che numerabile strutturato con la topologia cofinita [tex]$\mathcal{T}$[/tex], una qualsiasi permutazione di [tex]$f$[/tex] di [tex]$S$[/tex] è chiusa, quindi le sue permutazioni continue sono automeomorfismi.
Tale è un esempio di spazio compatto, sequenzialmente compatto e separabile ma non è né di Hausdorff e né [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] che risponde positivamente al problema posto.
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Considerato un insieme infinito [tex]$S$[/tex] più che numerabile strutturato con la topologia conumerabile [tex]$\mathcal{T}$[/tex], una qualsiasi permutazione di [tex]$f$[/tex] di [tex]$S$[/tex] è chiusa, quindi le sue permutazioni continue sono automeomorfismi.
Tale è un esempio di spazio non compatto, né sequenzialmente compatto, né di Hausdorff, né separabile e né [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] che risponde positivamente al problema posto.
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Considerati [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{T}_{\mathrm{nat}})$[/tex] ed una sua permutazione continua [tex]$f$[/tex], essa trasforma insiemi compatti ed insiemi connessi in medesimi; in particolare trasforma intervalli chiusi e limitati in medesimi.
Considerato il generico intervallo chiuso e limitato [tex]$[a;b]$[/tex], siano [tex]$[c;d]=f([a;b])$[/tex] ed [tex]$\stackrel{\circ}{x}$[/tex] interno ad [tex]$[a;b]$[/tex]. Essendo [tex]$\stackrel{\circ}{x}$[/tex] un punto di taglio per [tex]$[a;b]$[/tex] lo è anche [tex]$f(\stackrel{\circ}{x})$[/tex] per [tex]$[c;d]$[/tex]; perché [tex]$f$[/tex] è un omeomorfismo tra tali insiemi strutturati con la topologia indotta da [tex]$\mathcal{T}_{\mathrm{nat}}$[/tex], quindi [tex]$f$[/tex] è un'applicazione aperta e per ciò è un automeomorfismo.
Tale è un esempio di spazio di Hausdorff ed [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] ma non è né compatto e né sequenzialmente compatto che risponde positivamente al problema posto.
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Purtroppo mi sono stancato di scrivere; intuitivamente gli spazi separabili ed [tex]$\mathrm{N}_1$[/tex] e gli spazi di Hausdorff localmente compatti (in cui possono esistere insiemi chiusi ad interno vuoto, giusto per stare tranquilli dato che il caso opposto l'ho già trattato
) rispondono di sì al quesito che sto trattando.Trattati questi ultimi 2 casi mi fermo, perché ho letto sul Tallini che tale è (od era almeno fino al 1991) una questione aperta!
OUT OF SELF TO dissonance and Martino: Dovevate vedermi quando misi in scena una battuta sulle mie vacanze in manicomio.
Feci cadere figurativamente un teatro! EDIT Corretto un erroraccio grammaticale: "...un'insieme..." -_- e modificato un po la notazione!
Il problema che sto trattando è vero richiedendo
Tale è una proprietà topologica di tutto rispetto; ad esempio la topologia conumerabile su un insieme più che numerabile la soddisfa!
---
Sia [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] uno spazio di Hausdorff localmente compatto (LCH), per snellire la trattazione utilizzo la definizione 1 tratta da wikipedia.en!
Se ogni punto avesse un intorno compatto che interseca solo finiti intorni compatti di altri punti di [tex]$S$[/tex], ovvero sia uno spazio LCH localmente finito per compatti; data una sua permutazione continua [tex]$f$[/tex], essa trasforma insiemi compatti in medesimi, in particolare essa è un omeomorfismo locale di [tex]$S$[/tex] tra i compatti descritti prima e per il lemma d'incollamento si ha che essa è un automeomorfismo di [tex]$S$[/tex].
Ammessa la correttezza della dimostrazione:
1) si ha che [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{\mathrm{nat}})$[/tex] è un siffatto spazio;
2) tale dimostrazione non ha niente a che vedere cogli spazi di Hausdorff compatti come si può leggere in questo sottoparagrafo;
3) rientrano nel caso affermativo gli spazi di Hausdorff le cui componenti connesse sono anche compatte;
4) sui restanti casi di spazi LCH non mi viene nulla in mente
per cui lascio stare!
"j18eos":ed aggiungo che basta richiedere che tutti i suoi insiemi compatti sono esattamente e solo gl'insiemi chiusi.
...che [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] sia uno spazio di Hausdorff compatto oppure che esso sia uno spazio topologico compatto con finiti chiusi...
Tale è una proprietà topologica di tutto rispetto; ad esempio la topologia conumerabile su un insieme più che numerabile la soddisfa!
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Sia [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] uno spazio di Hausdorff localmente compatto (LCH), per snellire la trattazione utilizzo la definizione 1 tratta da wikipedia.en!
Se ogni punto avesse un intorno compatto che interseca solo finiti intorni compatti di altri punti di [tex]$S$[/tex], ovvero sia uno spazio LCH localmente finito per compatti; data una sua permutazione continua [tex]$f$[/tex], essa trasforma insiemi compatti in medesimi, in particolare essa è un omeomorfismo locale di [tex]$S$[/tex] tra i compatti descritti prima e per il lemma d'incollamento si ha che essa è un automeomorfismo di [tex]$S$[/tex].
Ammessa la correttezza della dimostrazione:
1) si ha che [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{\mathrm{nat}})$[/tex] è un siffatto spazio;
2) tale dimostrazione non ha niente a che vedere cogli spazi di Hausdorff compatti come si può leggere in questo sottoparagrafo;
3) rientrano nel caso affermativo gli spazi di Hausdorff le cui componenti connesse sono anche compatte;
4) sui restanti casi di spazi LCH non mi viene nulla in mente
per cui lascio stare!
Fin'ora sono state fornite delle condizioni sufficienti affinché una permutazione continua di uno spazio topologica sia un omeomorfismo, cercando delle condizioni necessarie vengono naturalmente in mente (a me personalmente) le successioni e le componenti connesse!
Componenti connesse!
Siano \((S;\mathcal{T})\) uno spazio topologico ed \(f\) un suo automeomorfismo, allora esso è una permutazione dell'insieme delle componenti connesse di \(S\); ma in più, \(f\) ristretta ad ogni componente connessa è un omeomorfismo tra essa è la sua immagine!
Nello specifico si hanno solo \(2\) casi:
1) \(f\) fissa la componente connesse;
2) \(f\) trasforma una componente connessa \(X\) in una componente connessa \(Y\), quindi tali devono essere (con la topologia indotta da \(\mathcal{T}\)) omeomorfe.
In definitiva: gli spazi topologici non connessi le cui componenti connesse non sono omeomorfe sono candidati ad avere permutazioni continue che non sono automeomorfismi.
Successioni!
Siano \((S;\mathcal{T})\) uno spazio topologico ed \(f\) un suo automeomorfismo, allora esso trasforma: le successioni convergenti in medesime, le chiusure per successioni di un insieme in medesime!
Sia \(\emptyset\neq X\subset S\), indicate con \(cl(X)\) la sua chiusura per successione e \(\overline{X}\) la sua chiusura di aderenza, è banalmente \(cl(X)\subseteq\overline{X}\Rightarrow f(\overline{X})=\overline{f(X)}\supseteq f(cl(X))=cl(f(X))\).
In quest'ultimo caso non trovo nessuna restrizione.
---
Esempio!
Considerato lo spazio topologico Fortissimo, esso è così definito: sia \(S\) un insieme più che numerabile, scelto un suo punto \(\omega\), un sottoinsieme \(A\) di \(S\) sarebbe aperto se e solo se:
1) fosse il vuoto \(\emptyset\) od \(S\);
2) \(\omega\not\in A\) oppure \(A\) è conumerabile.
In questo post ho dimostrato alcune sue proprietà topologiche, tra cui segnalo che è uno spazio di Hausdorff non localmente compatto e quindi non localmente finito per compatti, inoltre, \(S\setminus\{\omega\}\) è un insieme aperto!
Non è difficile costruire permutazioni continue che non sono automeomorfismi, basta non fissare \(\omega\).
OUT OF SELF Dato che è da un pò che non ci penso...
insomma ci siamo capiti!
Componenti connesse!
Siano \((S;\mathcal{T})\) uno spazio topologico ed \(f\) un suo automeomorfismo, allora esso è una permutazione dell'insieme delle componenti connesse di \(S\); ma in più, \(f\) ristretta ad ogni componente connessa è un omeomorfismo tra essa è la sua immagine!
Nello specifico si hanno solo \(2\) casi:
1) \(f\) fissa la componente connesse;
2) \(f\) trasforma una componente connessa \(X\) in una componente connessa \(Y\), quindi tali devono essere (con la topologia indotta da \(\mathcal{T}\)) omeomorfe.
In definitiva: gli spazi topologici non connessi le cui componenti connesse non sono omeomorfe sono candidati ad avere permutazioni continue che non sono automeomorfismi.
Successioni!
Siano \((S;\mathcal{T})\) uno spazio topologico ed \(f\) un suo automeomorfismo, allora esso trasforma: le successioni convergenti in medesime, le chiusure per successioni di un insieme in medesime!
Sia \(\emptyset\neq X\subset S\), indicate con \(cl(X)\) la sua chiusura per successione e \(\overline{X}\) la sua chiusura di aderenza, è banalmente \(cl(X)\subseteq\overline{X}\Rightarrow f(\overline{X})=\overline{f(X)}\supseteq f(cl(X))=cl(f(X))\).
In quest'ultimo caso non trovo nessuna restrizione.
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Esempio!
Considerato lo spazio topologico Fortissimo, esso è così definito: sia \(S\) un insieme più che numerabile, scelto un suo punto \(\omega\), un sottoinsieme \(A\) di \(S\) sarebbe aperto se e solo se:
1) fosse il vuoto \(\emptyset\) od \(S\);
2) \(\omega\not\in A\) oppure \(A\) è conumerabile.
In questo post ho dimostrato alcune sue proprietà topologiche, tra cui segnalo che è uno spazio di Hausdorff non localmente compatto e quindi non localmente finito per compatti, inoltre, \(S\setminus\{\omega\}\) è un insieme aperto!
Non è difficile costruire permutazioni continue che non sono automeomorfismi, basta non fissare \(\omega\).
OUT OF SELF Dato che è da un pò che non ci penso...
insomma ci siamo capiti!
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