Maratona di problemi

[TomSawyer1]

Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.

Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.

[Eredir]

Soluzione molto avanzata.

La soluzione che conosco è molto più semplice. Voglio dimostrare che $Rv=v$, ovvero $det(R-I)=0$.
Ricordando che $det(R)=det(R^T)=1$ abbiamo $det(R-I)=det(R^T)det(R-I)=det(R^T(R-I))=det(I-R^T)=det(I-R)=(-1)^ndet(R-I)=-det(R-I)$.
Quindi $det(R-I)=-det(R-I)=0$, ovvero $R$ ha autovalore $\lambda=1$.

A te il prossimo problema.

[elgiovo]

[size=150]Problema[/size]

Due stecche di legno della stessa lunghezza $AB$ e $BC$ sono unite nel vertice $C$, e formano tra loro
un angolo $beta$.
Una pallina da biliardo arriva in $C$ con angolo di incidenza $alpha$ e continua il suo tragitto, secondo
la regola "angolo di incidenza = angolo di riflessione". Determinare il numero di rimbalzi della pallina
(assunta puntiforme) sulle stecche in funzione di $alpha$ e $beta$.

(per evitare malintesi, si immagini $BC$ orizzontale. Se la pallina arriva da un punto $D$ esterno e se
$E$ giace sul prolungamento di $BC$ allora l'angolo $alpha$ è $DhatCE$).

[elgiovo]

Hint:

Prolungare $DC$ e sfruttare... le simmetrie.

[giacor86]

potrebbe essere $N=2((90-alpha)/beta)+1$ arrotondato per difetto? Poi se è giusto posto il ragionamento. ah, $0

Cita

Segnala

[elgiovo]

Il mio risultato è $[(pi-2alpha)/(2beta)]$, con $[cdot]$ parte intera, quindi è inferiore di $1$ rispetto al tuo. Siccome sono abbastanza sicuro, ricontrolla il tuo ragionamento.
Ah, una cosa: il $90$ è sicuramente sbagliato, casomai è $pi/2$ (magari hai usato qualche funzione trigonometrica inversa definita in radianti).

[giacor86]

premetto che la mia formula conta i rimbalzi compreso il primo contro C. sinceramente non capisco che differenza c'è fra $90$ e $pi/2$... e poi la tua formula non mi torna... se prendiamo ad esempio il caso di una sponda rettangola (stile biliardo vero) e quindi $beta=pi/2$ e prendiamo $alpha=pi/4$ abbiamo che la palla rimbalza su $C$, poi va in $A$ e poi se ne va. quindi $2$ rimbalzi. mettendo i dati da te viene $(180-90)/180$ che fa $0,5$ la cui parte intera è $0$. Prendiamo $pi/6$ che magari il rimbalzo in $A$ è poco credibile. Anche $pi/6$ dovrebbe produrre $2$ rimbalzi ma con la tua formula viene $0,66$ che ancora ha parte intera $0$.... con la mia funzionano. io ti dico il ragionamento che ho fatto. La palla continuerà a rimbalzare nella "buca" finchè l'angolo di incidenza traiettoria-sponda dalla parte verso l'esterno è maggiore o tutt'alpiù uguale a $90$ gradi. se è proprio $90$ allora torna indietro seguendo la stessa identica strada dell'andata. se invece è maggiore di $90$ fa una strada diversa ma ad ogni modo torna indietro. ora al primo rimbalzo lcontro $C$ l'angolo è ovviamente $alpha$. al secondo rimbalzo, con un po' di geometria, l'angolo incriminato è $alpha+beta$. al terzo rimbalzo è $(alpha+beta)+beta$... e ad ogni rimbalzo si aggiunge $beta$. quindi $alpha + n*beta$ sarà il valore dell'angolo che ci interessa dopo $n+1$ rimbalzi (gli $n$ interni e quello in $C$). uguagliamo ciò a $90$ gradi e esplicitiamo $n = (90-alpha)/beta$. fatto ciò notiamo che in questo caso la palla tornerà esattamente sugli stessi punti dell'andata. quindi il punto C viene toccato $2$ volte, $n-1$ punti vengono toccati $2$ volte e l'ennesimo viene toccato una volta sola. quindi $N = 2+2(n-1)+ 1 = 2n + 1$ e quindi sostituendo $n$ si torna alla mia formula di prima. ora di siuro funziona per quando ad un certo punto l'angolo è esattamente $90$ gradi e quindi la formula da un numero intero. ho provato a farlo anche per alcuni casi spuri in cui la somma degli angoli scavalca $90$ gradi (caso dell'inversione su tragitto diverso) e ho visto che funzionava e quindi senza formalizzarmi troppo l'ho data buona...
Dove sbaglio?

[elgiovo]

Hai ragione. Ho sbagliato a discretizzare la quantità $(pi-2alpha)/(2beta)$, in quanto ne va presa la parte intera superiore;
la risposta è quindi $|~(pi-2alpha)/(2beta)~|$, che è uguale alla tua. Riguardo agli angoli, pensavo che esprimessi $alpha$ e $beta$ in radianti,
forse perchè non uso mai i gradi. Ora sta a te postare un problema.

[giacor86]

waz waz... eh dovete aspettare un po', io non conosco molti giochi di questo tipo!! mo ci penso e fra un po' ne posterò 1.

[giacor86]

allora, io ci ho pensato un po'.. vi propongo un problemino che girava tempo fa fra i miei compagni di classe. Premetto che non so la soluzione. Mi dispiace davvero di dovre fare il diverso, ma vi ripeto: problemi interessanti di questo tipo non ne conosco.

Siete con una barchetta in mare ad 1 km dalla riva (che è supposta retta e infinita). Il problema è che c'è una nebbia fittissima e non si vede nulla, riva inclusa). qual'è la traiettoria più breve che si deve seguire per essere certi di arrivare alla riva?

Noi eravamo giunti ad una soluzione (2 anni fa ormai) ma non so se quella mia e dei amici era la traiettoria + breve possibile.

[giacor86]

la soluzione "1 Km in linea retta in una direzione a caso + circnferenza" non è la soluzione migliore

[MaMo2]

"giacor86":
Siete con una barchetta in mare ad 1 km dalla riva (che è supposta retta e infinita). Il problema è che c'è una nebbia fittissima e non si vede nulla, riva inclusa). qual'è la traiettoria più breve che si deve seguire per essere certi di arrivare alla riva?

Dal punto O percorriamo in linea retta un tratto x (x > 1 km) fino al punto A e poi torniamo indietro percorrendo il tratto di tangente al cerchio di raggio 1 km e centro O.
Seguiamo un tratto di arco di circonferenza e poi percorriamo il segmento di lunghezza 1 km tangente alla circonferenza e perpendicolare alla tangente alla circonferenza passante per il punto A.
La lunghezza totale del percorso è data dalla funzione:

$L=x+sqrt(x^2-1)+(3pi)/2-2arccos(1/x)+1$

Derivando questa funzione si trova che il suo valore minimo corrisponde ad $x = 2/sqrt3$.

Questo valore implica una lunghezza minima del tracciato data da: $L_(min)=1+sqrt3+(7pi)/6=6,397$ km.

[giacor86]

Eh ma come si fa a dimostrare che quella che tu hai ottimizzato è effettivamente la tipologia di percorso + breve?

[MaMo2]

"giacor86":Eh ma come si fa a dimostrare che quella che tu hai ottimizzato è effettivamente la tipologia di percorso + breve?

Per questo tipo di problemi di ottimizzazione la dimostrazione non è affatto semplice.
Se vuoi maggiori dettagli vedi:

www.mathcad.com/library/LibraryContent/ ... 45/scy.pdf

Altro problema:
Trovare il volume di un tetraedro il cui sviluppo sul piano è un pentagono regolare di lato 1 cm.

[giacor86]

ah ok, non era una cosa scontata... bene bene... te sei sicuro che la tua è la strada migliore allora?

[MaMo2]

"giacor86":ah ok, non era una cosa scontata... bene bene... te sei sicuro che la tua è la strada migliore allora?

Io direi di si. (A conferma di ciò leggi le ultime due righe dell'articolo)

[elgiovo]

Io avrei detto che il tragitto minimo è una spirale. Ad esempio, se prendiamo in considerazione
la spirale logaritmica $rho=exp(theta/5)$, nel momento in cui la barca raggiunge la costa si deve
avere $rho_c cos(3/2 pi -theta)=exp(theta_c/5)cos(3/2 pi - theta_c)=1$, dove $theta_c$ e $rho_c$ sono modulo e fase del vettore
che descrive la spirale nel momento in cui la barca raggiunge la costa.
L'equazione si può risolvere in modo approssimato, e si ottiene $theta_c=3,644ldots$
Ora la distanza percorsa è $int_0^(3,644) sqrt(exp(2/5 theta) + theta^2/25 exp(2/5 theta))d theta$, che è circa $5,88 km$.
Probabilmente mi sbaglio. Comunque credo che per decretare un tragitto minimo sia necessaria la
minimizzazione di un funzionale, che si può ottenere riconducendo il problema di minimo ad
un'equazione alle derivate parziali...

[MaMo2]

@ Elgiovo. Secondo me hai interpretato male il problema. Al termine della spirale infatti ti troverai in un punto della circonferenza di raggio 1 km ma non è detto che la costa sia in quel punto.

[elgiovo]

@ MaMo: sapevo di aver "barato" un pò, mettendo la costa in una posizione ben particolare.
I miei conti sono ben lungi dall'essere una soluzione, muoversi su una spirale era solo la prima cosa
venutami in mente. Per mostrare che un cammino è più breve bisogna affrontare le problematiche
di cui parlavo prima, che non è cosa da poco... Forse il tragitto da te suggerito è stato trovato proprio
con le EDP.

[giacor86]

beh elgiovo se metti la costa in un punto ben particolare allora la strada + semplice è andare in linea retta dal centro alla costa e la strada è 1 km :D cmq qualcuno saprebbe dimostrare bene analiticamente che è la strada migliore? ne sono molto curioso!!! (intendo la storia col funzionale e le derivate parziali) se no non importa, Momo ha già postato un altro problema...

[_luca.barletta]

"MaMo":
Altro problema:
Trovare il volume di un tetraedro il cui sviluppo sul piano è un pentagono regolare di lato 1 cm.

Ho trovato $(sqrt(5)+1)/48$, è giusto?