Matematica finanziaria, help su diversi quesiti!

[carlo911]

Salve a tutti ragazzi, purtroppo ho incontrato una difficoltà non indifferente nello svolgere il seguente compito di matematica finanziaria, spero che possiate risolvere i miei dubbi:
Il signor Rossi ha concesso un prestito per 350,000 euro al 2% annuo, rimborsabili con 8 rate semestrali costanti. Dopo due anni e mezzo il signor Rossi cede il prestito, che gli viene valutato al 2,5% annuo convertibile semestralmente. Per costituire un capitale di 700,000 euro dopo dieci anni dalla cessione del prestito, impiega subito la somma riscossa a interesse composto dell'1% trimestrale e si impegna a versare presso una banca 5 rate semestrali, la prima delle quali 6 mesi dopo la cessione del prestito, al 2% annuo.
A) presentare il piano del prestito di 350.000 euro.
B) calcolare il valore al quale viene ceduto il prestito.
C) presentare il piano di costituzione relativo alle 5 rate semestrali versate in banca.
Io ho già svolto il punto A e B, in questa maniera:
1) converto il tasso annuale in semestrale, con la formula: $(1+0,02)^(0,5)-1=0,0099504938362$
2) calcolo la rata costante francese, con la formula: $350.000/[(1-(1+0,00995049383621)^-(8)]/(0,00995049383621))=45731,63056345228$
3) redigo il piano di ammortamento per calcolare il prestito
4) converto il tasso J a semestrale: $(2,5)/2=1,25$
4) valuto il prestito in questo modo: $A(t;j)=A(2,5;1,25)=45731,63⋅(1,0125)^(−1)+45731,63⋅(1,0125)^(−2)+45731,63⋅(1,0125)^(−3)$
Come si svolge il punto C?
Inoltre:
In data 1 Gennaio 2015 sul mercato vige il tasso spot a un anno dell'1.2%, mentre il tasso forwad dal 1 gennaio 2016 al 1 gennaio 2018 è dell'1.8%. Qual è il prezzo al 1 gennaio 2015 degli zero coupon del 1 gennaio 2016 e 1 gennaio 2018?
Grazie a tutti per il possibile aiuto! sto diventando pazzo con questa materia

[Lo_zio_Tom]

"carlo91":è riferito al testo: in data 1 gennaio 2015 sono disponibili sul mercato i seguenti ZC: ZC 31 dicembre 2015 quotato 99,6, ZC 31 dicembre 2017 quotato 97,4, ZC 31 dicembre 2020 quotato 94,7. Questo è il testo "mancante"! Comunque per verificare se ho capito, ti mostro il procedimento per calcolare i tassi spot e il tasso forward tra la scadenza del primo e del secondo titolo:
Tassi Spot: $i(t;t1)=i(0,1)= [(100/(99,6))^(1)] -1 = 0,401%$
$i(t;t2)=i(0,3)=[(100/(97,4))^(1/3)] -1 = 0,881%$
$i(t;t3)=i(0,6)=[(100/(94,7))^(1/6)] -1 = 0,911%$
Tasso Forward: $f(1,3)= [(1+0,000881)^(3)/(1+0,000401)^(1)]^(1/2) -1$

il calcolo dei tassi è giusto

[carlo911]

"tommik":[quote="carlo91"]E' proprio quello che ho intenzione di fare.. stesso discorso vale anche per questo punto, allora:
Determinate il TIR di un portafoglio formato da nominali 10.000 euro del secondo ZC e da nominali 15.000 del terzo ZC (impostare l'equivalenza finanziaria, la risoluzione può essere analitica o per successive approssimazioni).
in questo modo: $-25.000 + 10.000*(1+i)^(-3) + 15.000*(1+i)^(-6)=0$ e risolvo al solito con la posizione!

l'intenzione è giusta ma c'è un ERRORE davvero banale.....io non ho nemmeno risolto la tua equazione....ma si vede bene un erroraccio!!!! qual è???

dunque cerchiamo di leggerla....

tizio paga ora 25.000 € per ricevere 10.000€ fra 3 anni e 15.000€ fra cinque anni....quanto ha guadagnato?[/quote]
in effetti non guadagna un bel niente.. quindi presumo che bisogna correggere gli investimenti in base ai valori degli ZC?

[Lo_zio_Tom]

devi mettere il valore di acquisto dei titoli....mica il valore nominale (quello è il montante)

quindi non sarà $-25.000$ che acquista ma $-,974xx10.000-,947xx15.000$...o no?

[carlo911]

ok magnifico
allora diventa: $ -23945 + 10000*(1+i)^(-3) + 15000*(1+i)^(-6)=0$
faccio la posizione e ricavo la i!
ma se dovesse capitare ad esempio un esponente che non consente la posizione, tipo -3 e -7 non si può risolvere? e un'altra cosa rapida al volo: per fare quadrare meglio il piano di ammortamento e avvicinarlo allo 0 quante cifre dopo la virgola conviene considerare del tasso di interesse dopo la conversione?

[Lo_zio_Tom]

"carlo91":ok magnifico
allora diventa: $ -23945 + 10000*(1+i)^(-3) + 15000*(1+i)^(-6)=0$
faccio la posizione e ricavo la i!
ma se dovesse capitare ad esempio un esponente che non consente la posizione, tipo -3 e -7 non si può risolvere? e un'altra cosa rapida al volo: per fare quadrare meglio il piano di ammortamento e avvicinarlo allo 0 quante cifre dopo la virgola conviene considerare del tasso di interesse dopo la conversione?

nei casi generali non è così agevole risolvere l'equazione, si usano metodi di approssimazione (che dovresti conoscere). I principali sono:

metodo delle bisezioni

metodo delle tangenti (o di Newton)

metodo delle secanti.


in genere, si può approssimare un tasso di interesse con due cifre decimali, quindi direi che bastano 4 cifre dopo la virgola....

[Lo_zio_Tom]

c'è un esercizio appena postato in questa sezione del forum che potrebbe interessarti...io ho dato un suggerimento; tu dovresti risolverlo anche senza il mio suggerimento.

[carlo911]

quello dell'ammortamento? gli ho dato un'occhiata ma ci sono elementi aggiuntivi tipo la spesa aggiuntiva e il TAEG e non ci ho capito molto mi concentro sulle mie tipologie così magari facendole tutte (me ne manca solo una) riesco a togliermi questa materia fastidiosa..
Questa è l'ultima tipologia rimasta dei compiti finora somministrati:
Il signor Rossi il 3 luglio 2015 ha in portafoglio nominali 50.000 euro del BTP 1/08/2017, tasso nominale 5.25%, godimento 1 febbraio- 1 agosto. Il titolo è quotato in un mercato con struttura dei tassi piatta all'1,5%. Determinare:
a) quotazione e duration del titolo
b) volatilità (duration modificata) e convessità del titolo.
Io la farei così:
a) Per quanto riguarda la quotazione: $50.000*(1+0,015)^(-?)$ non capisco la data da inserire, 3 luglio - 1 agosto?
la duration dovrebbe essere invece la somma dei periodi fratto il prezzo totale;
il punto b non saprei completamente ( non so manco di cosa parla)

[Lo_zio_Tom]

"carlo91": riesco a togliermi questa materia fastidiosa..

pensa quanto sarà fastidioso dopo che sarai laureato non riuscire a trovare lavoro se non sei nemmeno in grado di calcolare il rendimento di un BTP

[Lo_zio_Tom]

"carlo91":
a) Per quanto riguarda la quotazione: $50.000*(1+0,015)^(-?)$ non capisco la data da inserire, 3 luglio - 1 agosto?

certo, perfetto!

ah e le cedole????

[Lo_zio_Tom]

Premesso che sto cercando MOLTO FATICOSAMENTE di non esprimere le mie opinioni sul fatto di quanto sia fastidioso per me rispondere ad un utente che, pure essendo volontariamente iscritto in un forum di matematica, definisce "fastidiosa" la materia sulla quale ci passiamo notti insonni a pensare come risolvere questo o quel problema, la soluzione è banale ed ancora una volta è sufficiente utilizzare l'unica formuletta di Matematica Finanziaria che ti ho spiegato, opportunamente modificata per la fattispecie in questione:

La quotazione del BTP è la seguente (utilizzando per comodità l'anno commerciale)

Valore della cedola semestrale pagata l'1/8 e l'1/2 di ogni anno:

$50.000 xx (5,25)/2 xx 100= 1.312,5$

La quotazione è:

$Q=1312,5\cdot1,015^(-27/360)+1312,5\cdot1,015^(-207/360)+1312,5\cdot1,015^(-387/360)+1312,5\cdot1,015^(-567/360)+51312,5\cdot1,015^(-747/360)$

$Q=1311,04+1301,31+1291,66+1282,08+49751,50=54937,58$

e la Duration:

$D=(1311,04\cdot(27/360)+1301,66\cdot(207/360)+1291,66\cdot(387/360)+1282,08\cdot(567/360)+49751,50\cdot(747/360))/(54937,58)=1,96$

[Lo_zio_Tom]

"carlo91":
b) volatilità (duration modificata) e convessità del titolo.
il punto b non saprei completamente ( non so manco di cosa parla)

Nel caso continuo la Duration coincide con la volatilità di un titolo.
Passando al caso discreto la volatilità non coincide più con la Duration ma occorre effettuare la seguente correzione (duration modificata).

Posto $V(i)$ il valore di un titolo abbiamo:

$d/(di)V(i)=-sum_(k=1)^(n)s_(k)R_(s_(k))(1+i)^(-(s_(k)+1))=-1/(1+i)sum_(k=1)^(n)s_(k)R_(s_(k))(1+i)^(-s_(k))$


e quindi dividendo per $V(i)$ otteniamo:

$(d/(di)V(i))/(V(i))=-1/(1+i)(sum_(k=1)^(n)s_(k)R_(s_(k))(1+i)^(-s_(k)))/(sum_(k=1)^(n)R_(s_(k))(1+i)^(-s_(k)))$

e quindi

$vol=-1/(1+i)D(i)$

[Lo_zio_Tom]

Come immaginabile, la Convexity si ottiene calcolando la derivata seconda della duration. A conti fatti otteniamo:

$conv=1/(1+i)^2(sum_(k=1)^(n)(s_(k)+s_(k)^2)R_(s_(k))(1+i)^(-s_(k)))/(sum_(k=1)^(n)R_(s_(k))(1+i)^(-s_(k)))=D^2(i)1/(1+i)^2$

[carlo911]

Ovviamente non volevo offendere nessuno non te la prendere ma non questa materia per una serie di motivi non la sto prendendo come una cosa da capire e perderci tempo ma come obiettivo da superare a tutti i costi. Quindi non posso fare a meno di ringraziarti per tutto il supporto fornito che sicuramente mi aiuterà tantissimo per l'esame. Per quanto riguarda il lavoro poi si Vede , magari faccio qualcosa dove non ci sia un BTP

[carlo911]

rieccomi, post esame non so se ho fatto giusto, il compito era molto semplice ed era il seguente:
Per una transazione commerciale il signor Rossi deve versare 300.000 euro tra 2 anni al signor Bianchi. A tal fine, il signor Rossi decide di costituire per la scadenza del pagamento un capitale di 200.000 euro mediante versamento di rate semestrali, la prima delle quali subito, presso una banca che capitalizza al tasso del 2.4% annuo. Inoltre, per saldare il signor Bianchi, il Signor Rossi negozia con una società finanziaria un prestito di 100.000 euro che gli saranno erogati fra due anni. Tale debito sarà estinto con il versamento di quattro rate trimestrali la prima delle quali tre mesi dopo aver ricevuto l'importo. Il tasso praticato dalla società finanziaria è il 3.2% annuale convertibile trimestralmente.
A) piano di costituzione
B) ammortamento francese
C) ammortamento italiano
Io ho operato nel seguente modo:
A)Conversione del tasso, $(1+0,024)^(0,5)-1=0,01192$, ho calcolato la rata del piano di costituzione: $200.000=R*((1+0,01192)^(4)-1)/(0,01192)=49114,82$ e su questo ho realizzato il piano di costituzione che dopo 4 semestri si è chiuso a 200.000 euro
B) per quanto riguarda l'ammortamento, ho utilizzato la classica formula per la rata ma ho moltiplicato per un trimestre. Prima ho convertito il tasso in trimestrale facendo $(3,2)/4= 0,8%$, dopodiché: $100.000=R*(1-(1+0,008)^(-4))/(0,008) *(1,008)^(-1)$ e ho costruito il piano di ammortamento francese che si è chiuso a zero.
C) per quello italiano ho calcolato il montante: $200.000*(1+0,008)^(-1)$ e diviso per 4.
Nel prossimo post la parte DUE

[carlo911]

Parte DUE:
In data 1 gennai 2015 sono disponibili sul mercato i seguenti ZC: ZC 31 dicembre 2015 quotato 94, ZC 31 dicembre 2017 quotato 86,5 e ZC 31 dicembre 2020 quotato 81.
d)Determinate i tassi spot dei tre titoli ed i tassi forward per i periodi compresi tra le scadenze del primo e del secondo titolo e tra le scadenze del secondo e del terzo titolo.
Il signor Bianchi ha l'opportunità di effettuare il seguente investimenti: a fronte del versamento di 100.000 euro, si prevedono un incasso di 38.000 euro alla fine del primo anno, 30.000 alla fine del terzo e di 35.000 alla fine del sesto anno.
E)Determinare il Valore Attuale Netto dell'investimento ai tassi corrispondenti alla struttura a termine di cui sopra.
Ho operato così:
d)Tassi Spot: $i(0,1)=(100/94)-1=6,38%$, $i(0,3)=(100/86,5)^(1/3)-1=4,95%$, $i(0,6)= (100/81)^(1/6)-1=3,57%$
Tassi Forward: $f(1,3)= [(1+0,0495)^(3)/(1+0,0638)]^(1/2)$ e idem per l'altro!
e) $-100.000 + 38.000*(1+0,0638)^(-1)+ 30.000*(1+0,0495)^(-3)+ 35.000*(1+0,0357)^(-6)$
Mi è venuto negativo il VAN, e ora che ci rifletto forse dovevo usare i tassi forward al posto degli spot per quanto riguarda gli ultimi due investimenti...

[Lo_zio_Tom]

Ciao. Il secondo esercizio va bene. Si possono usare indipendentemente tassi spot o forward che il risultato non deve cambiare. Infatti i tassi spot e forward sono calcolati sotto ipotesi di assenza di arbitraggio.

Purtoppo il primo esercizio non va bene.

Punto a) La costituzione di capitale dice " rate semestrali e la prima subito" -> è una costituzione di capitale con rata anticipata; tu invece hai applicato la formula relativa alla costituzione di capitale con rata posticipata. Il problema poteva essere aggirato non utilizzando le formule di "s-figurato n " ma capitalizzando le singole quote di capitale, tanto erano solo 4.

Nel punto b) hai sbagliato la formula $ S=R (1-v^n)/i $. Qui è il contrario del punto a). Il testo dice ammortamento in rate trimestrali, la prima 3 mesi dopo aver ricevuto il prestito....quindi è un ammortamento con rata posticipata.


Punto c) Questo è proprio sbagliato in quanto l' ammortamento italiano è un particolare tipo di ammortamento a capitale costante, quindi a rata decrescente.
oggi sonoq senza PC e quindi non ti posso mettere le soluzioni corrette.

[Lo_zio_Tom]

trovato il PC (della morosa) ecco le soluzioni:

costituzione di 200.000 di capitale in 4 rate semestrali anticipate

$S=Cu(u^4-1)/i rarr C=48.535,21$

e il corrispondente piano di costituzione:

[Lo_zio_Tom]

piano di ammortamento francese in 4 rate posticipate al $i=0,8%$

$R=100.000i/(1-1,08^(-4))=25.501,99$

ed il relativo piano di ammortamento:

[Lo_zio_Tom]

Per quanto riguarda l'ammortamento italiano ti ricordo che esso è strutturato con rate di capitale costante.

Per stendere un piano di ammortamento italiano il modo più semplice ed intuitivo è il seguente:

1) inizi a compilare il prospetto dalle quote di capitale, che si trovano facilemente facendo $S/n=(100.000)/4=25.000$
2) compili i campi "debito estinto" che è pari alla somma delle quote di capitale versate e "debito residuo" che è il complemento del debito estinto al totale dell'importo mutuato.
3) calcoli le quote di interesse moltiplicando il tasso periodico per il debito residuo al periodo precedente
4) calcoli la rata del piano di ammortamento sommando Capitale e Interesse.


Ecco il piano redatto:

[Lo_zio_Tom]

"carlo91":
B) per quanto riguarda l'ammortamento, ho utilizzato la classica formula per la rata ma ho moltiplicato per un trimestre. Prima ho convertito il tasso in trimestrale facendo $(3,2)/4= 0,8%$, dopodiché: $100.000=R*(1-(1+0,008)^(-4))/(0,008) *(1,008)^(-1)$ e ho costruito il piano di ammortamento francese che si è chiuso a zero.

sarei curioso di vedere il piano....perché con quella rata e quel tasso non è possibile chiuderlo a zero

E poi non capisco perché "moltiplicato per un trimestre"