Signal Theory
Sia dato un segnale aleatorio stazionario $X(t)$ la cui densità spettrale di potenza è
$S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$
Il segnale $Z(t)$ si ottiene moltiplicando $X(t)$ per il segnale $cos(2pit+Phi)$,ove $Phi$ è una v.a. uniformemente distribuita in $[0,2pi]$.
Infine sia $Y(t)$ il segnale che si ottiene facendo passare $Z(t)$ attraverso il filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=3*rect(f/F).
Calcolare la densità spettrale di potenza del segnale $Z(t)$;
Calcolare il valore di $F$ tale che la potenza del segnale $Y(t)$ sia uguale a quella del segnale $X(t)$.
$S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$
Il segnale $Z(t)$ si ottiene moltiplicando $X(t)$ per il segnale $cos(2pit+Phi)$,ove $Phi$ è una v.a. uniformemente distribuita in $[0,2pi]$.
Infine sia $Y(t)$ il segnale che si ottiene facendo passare $Z(t)$ attraverso il filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=3*rect(f/F).
Calcolare la densità spettrale di potenza del segnale $Z(t)$;
Calcolare il valore di $F$ tale che la potenza del segnale $Y(t)$ sia uguale a quella del segnale $X(t)$.
Risposte
$X(t)$ lo ottengo antitrasformando e poi?Che si fa?
Se antitrasformi trovi l'autocorrelazione di $X(t)$.
"Tipper":
Se antitrasformi trovi l'autocorrelazione di $X(t)$.
E da essa come ricavo $X(t)$?
Sono a digiuno di processi stocastici ormai da mesi, ma direi che l'espressione di $X(t)$ non vada ricavata, ma credo che si debba lavorare solo su autocorrelazioni e densità spettrali di potenza. Tant'è che alla fine non ti chiedono l'espressione analitica di $Z(t)$, ma la sua densità spettrale di potenza media.
Non è che per caso $X(t)$ e $\cos(2 \pi t + \Phi)$ siano indipendenti (o almeno scorrelati)?
Non lo so.
è la prima volta che mi appresto a fare un esercizio del genere.
Ho copiato il testo così com'era.
è la prima volta che mi appresto a fare un esercizio del genere.
Ho copiato il testo così com'era.
Se fossero scorrelati, l'autocorrelazione di $Z(t)$ sarebbe
$E[Z(t + \tau) Z(t)] = E[X(t + \tau) \cos(2 \pi (t + \tau) + \Phi) X(t) \cos(2 \pi t + \Phi)] = E[X(t + \tau) X(t)] E[\cos(2 \pi (t + \tau) + \Phi) \cos(2 \pi t + \Phi)]$
A questo punto, il primo fattore sarebbe l'autocorrelazione di $X(t)$, ed è nota, il secondo sarebbe l'autocorrelazione di $\cos(2 \pi t + \Phi)$, e si potrebbe calcolare, visto che la distribuzione di $\Phi$ è nota, ma se non sono scorrelati io non saprei come fare...
$E[Z(t + \tau) Z(t)] = E[X(t + \tau) \cos(2 \pi (t + \tau) + \Phi) X(t) \cos(2 \pi t + \Phi)] = E[X(t + \tau) X(t)] E[\cos(2 \pi (t + \tau) + \Phi) \cos(2 \pi t + \Phi)]$
A questo punto, il primo fattore sarebbe l'autocorrelazione di $X(t)$, ed è nota, il secondo sarebbe l'autocorrelazione di $\cos(2 \pi t + \Phi)$, e si potrebbe calcolare, visto che la distribuzione di $\Phi$ è nota, ma se non sono scorrelati io non saprei come fare...
"Tipper":
Se fossero scorrelati, l'autocorrelazione di $Z(t)$ sarebbe
$E[Z(t + \tau) Z(t)] = E[X(t + \tau) \cos(2 \pi (t + \tau) + \Phi) X(t) \cos(2 \pi t + \Phi)] = E[X(t + \tau) X(t)] E[\cos(2 \pi (t + \tau) + \Phi) \cos(2 \pi t + \Phi)]$
A questo punto, il primo fattore sarebbe l'autocorrelazione di $X(t)$, ed è nota, il secondo sarebbe l'autocorrelazione di $\cos(2 \pi t + \Phi)$, e si potrebbe calcolare, visto che la distribuzione di $\Phi$ è nota, ma se non sono scorrelati io non saprei come fare...
Proviamo a proseguire su questa strada.
Per calcolare l'autocorrelazione del coseno devo utilizzare il teorema della modulazione?
Usa le formule di Werner.
Usandole si ottiene:
$1/2cos[2pi(t+tau)+Phi+2pit+Phi]+1/2cos[2pi(t+tau)+Phi-2pit-Phi]=1/2cos[4pit+2pitau+2Phi]+1/2cos[2pitau]$
and now?
$1/2cos[2pi(t+tau)+Phi+2pit+Phi]+1/2cos[2pi(t+tau)+Phi-2pit-Phi]=1/2cos[4pit+2pitau+2Phi]+1/2cos[2pitau]$
and now?
Ora ne calcoli il valor medio. Dovrebbe venire $\frac{1}{2} \cos(2 \pi \tau)$.
tra gli appunti ho trovato un esercizio uguale a questo di cui posto la soluzione:
$S_z(f)=1/4[S_x(f-f_0)+S_x(f+f_0)]$ essendo $f_0=1$. $1/4$ non so da dove spunti
$P_x=int_(-infty)^(+infty)S_x(f)*|H(f)|^2df=5$
$P_y=int_(-infty)^(+infty)S_z(f)*|H(f)|^2df=9int_(-infty)^(+infty)S_z(f)*rect(f/F)df$
$=> 9int_(-F/2)^(F/2)S_z(f)df=5 => int_0^(F/2)S_z(f)df=5/18=0.27$
$F/2 in [0,1] => F/2*1/2=5/18 => F=10/9$. perchè $F/2 in [0,1]$?
$S_x(f)$ si può riscrivere come:
$S_x(f)=3tr(f/3)-2tr(f/2)$ per cui: $R_x(tau)=9sinc^2(3tau)-4sinc^2(2tau)$ il che è giusto in quanto $R_x(0)=9-4=5=P_x$
$S_z(f)=1/4[S_x(f-f_0)+S_x(f+f_0)]$ essendo $f_0=1$. $1/4$ non so da dove spunti
$P_x=int_(-infty)^(+infty)S_x(f)*|H(f)|^2df=5$
$P_y=int_(-infty)^(+infty)S_z(f)*|H(f)|^2df=9int_(-infty)^(+infty)S_z(f)*rect(f/F)df$
$=> 9int_(-F/2)^(F/2)S_z(f)df=5 => int_0^(F/2)S_z(f)df=5/18=0.27$
$F/2 in [0,1] => F/2*1/2=5/18 => F=10/9$. perchè $F/2 in [0,1]$?
$S_x(f)$ si può riscrivere come:
$S_x(f)=3tr(f/3)-2tr(f/2)$ per cui: $R_x(tau)=9sinc^2(3tau)-4sinc^2(2tau)$ il che è giusto in quanto $R_x(0)=9-4=5=P_x$
"Aeneas":
Sia dato un segnale aleatorio stazionario $X(t)$ la cui densità spettrale di potenza è
$S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$
Il segnale $Z(t)$ si ottiene moltiplicando $X(t)$ per il segnale $cos(2pit+Phi)$,ove $Phi$ è una v.a. uniformemente distribuita in $[0,2pi]$.
Infine sia $Y(t)$ il segnale che si ottiene facendo passare $Z(t)$ attraverso il filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=3*rect(f/F).
Calcolare la densità spettrale di potenza del segnale $Z(t)$;
Calcolare il valore di $F$ tale che la potenza del segnale $Y(t)$ sia uguale a quella del segnale $X(t)$.
$Z(t)=X(t)*cos(2pit+phi)$
$R_Z(t,tau)=E[Z(t)Z(t+tau)]=E[X(t)X(t+tau)cos(2pit+phi)cos(2pi(t+tau)+phi)]$
Ora
$cos(2pit+phi)cos(2pi(t+tau)+phi)=1/2[cos(2pi(2t+tau)+2phi)+cos(2pitau)]$
per cui
$R_Z(t,tau)=1/2E[X(t)X(t+tau)(cos(2pi(2t+tau)+2phi)+cos(2pitau))]=1/2E[X(t)X(t+tau)cos(2pi(2t+tau)+2phi)]+1/2cos(2pitau)E[X(t)X(t+tau)]$
Ora supponendo l'indipendenza tra $X(t)$ e la variabile aleatoria $phi$ si ha:
$R_Z(t,tau)=1/2E[X(t)X(t+tau)(cos(2pi(2t+tau)+2phi)+cos(2pitau))]=1/2E[X(t)X(t+tau)cos(2pi(2t+tau)+2phi)]+1/2cos(2pitau)E[X(t)X(t+tau)]$=
$1/2E[X(t)X(t+tau)]E[cos(2pi(2t+tau)+2phi)]+1/2cos(2pitau)=1/2cos(2pitau)R_X(tau)$ perchè $E[cos(2pi(2t+tau)+2phi)]=int_0^{2pi}(cos(2pi(2t+tau)+2phi)]dphi=0$
Per cui
$R_Z(tau)=1/2R_X(tau)cos(2pitau)->S_Z(f)=1/2F[R_X(tau)cos(2pitau)]$ che per la proprietà della modulazione diventa:
$S_Z(f)=1/4[S_X(f-f_0)+S_X(f+f_0)]$ con $f_0=1$ per cui
$S_Z(f)=1/4[S_X(f-1)+S_X(f+1)]$
Ora
$P_X=int_{-infty}^{+infty}S_X(f)df=R_X(0)$
$P_Y=int_{-infty}^{+infty}S_Y(f)df=int_{-infty}^{+infty}S_Z(f)|H(f)|^2df=9int_{-F/2}^{F/2}S_Z(f)df=18int_{0}^{F/2}S_Z(f)df$ per la parità della PSD (proprietà caratterizzante le PSD)
ed ora devi fare solo i calcoli.
Spero di non aver fatto qualche errore vista l'ora tardi
"nicola de rosa":
$R_Z(tau)=1/2R_X(tau)cos(2pitau)->S_Z(f)=1/2F[R_X(tau)cos(2pitau)]$ che per la proprietà della modulazione diventa:
$S_Z(f)=1/4[S_X(f-f_0)+S_X(f+f_0)]$ con $f_0=1$ per cui
$S_Z(f)=1/4[S_X(f-1)+S_X(f+1)]$
da dove deduci che $F=1/2$?
"Aeneas":
[quote="nicola de rosa"]$R_Z(tau)=1/2R_X(tau)cos(2pitau)->S_Z(f)=1/2F[R_X(tau)cos(2pitau)]$ che per la proprietà della modulazione diventa:
$S_Z(f)=1/4[S_X(f-f_0)+S_X(f+f_0)]$ con $f_0=1$ per cui
$S_Z(f)=1/4[S_X(f-1)+S_X(f+1)]$
da dove deduci che $F=1/2$?[/quote]
Nell'espressione $R_Z(tau)=1/2R_X(tau)cos(2pitau)->S_Z(f)=1/2F[R_X(tau)cos(2pitau)]$ per $F$ intendo la trasformata di Fourier non la $F$ intesa come larghezza di banda della $H(f)=3rect(f/F)$
Sia $X(t)$ un segnale aleaorio stazionario in senso lato avente $S_x(f)=|f|rect(f/10)+2*delta(f)$.
Si supponga che $X(t)$ attraversi un filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=rect(f/F)$.Calcolare $F$ tale che la potenza del segnale in uscita sia la metà della potenza di $X(t)$.
Si supponga che $X(t)$ attraversi un filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=rect(f/F)$.Calcolare $F$ tale che la potenza del segnale in uscita sia la metà della potenza di $X(t)$.
il seganle in uscita dal filtro avrà densita spettrale
$Sy(f)=Sx(f)|H(f)|^2$
$Sy(f)=Sx(f)|H(f)|^2$
"Aeneas":
Sia $X(t)$ un segnale aleaorio stazionario in senso lato avente $S_x(f)=|f|rect(f/10)+2*delta(f)$.
Si supponga che $X(t)$ attraversi un filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=rect(f/F)$.Calcolare $F$ tale che la potenza del segnale in uscita sia la metà della potenza di $X(t)$.
Innanzitutto mi farebbe piacere sapere se l'esercizio precedente l'hai capito come l'ho svolto e se ci sono dubbi.
Passiamo a questo:
$P_X=int_{-infty}^{+infty}S_X(f)df=int_{-5}^{5}|f|df+int_{-infty}^{+infty}2*delta(f)df=2int_{0}^{5}fdf+2int_{-infty}^{+infty}delta(f)df$=
$2[f^2/2]_0^{5}+2=2*25/2+2=27$
$P_Y=int_{-infty}^{+infty}S_X(f)|H(f)|^2df$
Ovviamente si noterà che deve essere $0
Per cui
$P_Y=int_{-F/2}^{F/2} S_X(f)df=2int_{0}^{F/2}fdf+2int_{-F/2}^{F/2}delta(f)df=2[f^2/2]_0^{F/2}+2=F^2/4+2$
Ora $P_Y=(P_X)/2->F^2/4+2=27/2->F^2=4(27/2-2)=46->F=sqrt(46)$
Spero di non aver commesso errori nei calcoli
"nicola de rosa":
Innanzitutto mi farebbe piacere sapere se l'esercizio precedente l'hai capito come l'ho svolto e se ci sono dubbi.
Si,l'unica cosa era quella $F$.
Negli appunti ho trovato che $S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)=3tr(f/3)-2tr(f/2)$.
L'espressione ottenuta è più semplice di quella di partenza ed in questo modo si può anche calcolare in modo più agevole la sua trasformata di Fourier per ottenere $R_x(tau)$.
Il problema è ....come si arriva a quell'espressione in triangoli?
"Aeneas":
[quote="nicola de rosa"]Innanzitutto mi farebbe piacere sapere se l'esercizio precedente l'hai capito come l'ho svolto e se ci sono dubbi.
Si,l'unica cosa era quella $F$.
Negli appunti ho trovato che $S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)=3tr(f/3)-2tr(f/2)$.
L'espressione ottenuta è più semplice di quella di partenza ed in questo modo si può anche calcolare in modo più agevole la sua trasformata di Fourier per ottenere $R_x(tau)$.
Il problema è ....come si arriva a quell'espressione in triangoli?
[/quote]Rappresentati le funzioni $3*(1-|f|/3)*rect(f/6)$ e $2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$ e ti accorgerai che sono due triangoli. Provaci e fammi sapere altrimenti te lo spiego io
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