Signal Theory

[Sk_Anonymous]

Sia dato un segnale aleatorio stazionario $X(t)$ la cui densità spettrale di potenza è

$S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$

Il segnale $Z(t)$ si ottiene moltiplicando $X(t)$ per il segnale $cos(2pit+Phi)$,ove $Phi$ è una v.a. uniformemente distribuita in $[0,2pi]$.
Infine sia $Y(t)$ il segnale che si ottiene facendo passare $Z(t)$ attraverso il filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=3*rect(f/F).

Calcolare la densità spettrale di potenza del segnale $Z(t)$;
Calcolare il valore di $F$ tale che la potenza del segnale $Y(t)$ sia uguale a quella del segnale $X(t)$.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]$S_Y(f)=1/2F[R_x(tau)*cos(10pi*tau)]=1/4[S_x(f-5)+S_x(f+5)]

non postarmi solo il risultato ma i calcoli principali altrimenti dovrei daccapo farlo io[/quote]
ok



$R_Y(t,tau)=E{Y(t)*Y(t+tau)}=E{Y(t)*(Y(t+tau)*cos(10pit+Phi)*cos[(10pit+Phi)+Phi]="applicando le formule di Werner"=
$=1/2E{Y(t)*Y(t+tau)*cos[(10pitau)+cos[10pi(2t+tau)+2Phi)]}=
$=1/2E{Y(t)Y(t+tau)*cos[10pi(2t+tau)+2Phi)]}+1/2cos(10pitau)=1/2cos(10pitau)*R_X(tau)$[/quote]

OK

[Sk_Anonymous]

Quindi $S_Y(f)=-29/4$

Ed ora?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Quindi $S_Y(f)=-29/4$

Ed ora?

$S_Y(f)=1/4*{(4,-8<=f<-7),(-3f-17,-7<=f<-6),(1,-6<=f<-4),(3f+13,-4

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]$S_X(f)=4$ in $-3<=f<-2 uu 2<=f<=3$
$S_X(f)=-3f+2$ in $-2<=f<1$
$S_X(f)=1$ in $-1<=f<1$
$S_X(f)=3f-2$ in $1<=f<2$

Pertanto $S_Y(f)=1/4*[9+2-3*(f-5)+3*(f-5)+2+2-3*(f+5)+3*(f+5)-2]=13/4

$S_X(f)=4$ in $-3<=f<-2 uu 2<=f<=3$
$S_X(f)=-3f-2$ in $-2<=f<-1$
$S_X(f)=1$ in $-1<=f<1$
$S_X(f)=3f-2$ in $1<=f<2$[/quote]

Pertanto:

$P_X=int_(-infty)^(+infty)S_X(f)df=4int_-3^-2df-int_-2^-1(3f+2)df+int_-1^1df+int_1^2(3f-2)df+4int_1^2df$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]Quindi $S_Y(f)=-29/4$

Ed ora?

$S_Y(f)=1/4*{(4,-8<=f<-7),(-3f-17,-7<=f<-6),(1,-6<=f<-4),(3f+13,-4


Da dove spuntano sti numeri?!

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]Quindi $S_Y(f)=-29/4$

Ed ora?

$S_Y(f)=1/4*{(4,-8<=f<-7),(-3f-17,-7<=f<-6),(1,-6<=f<-4),(3f+13,-4


Da dove spuntano sti numeri?![/quote]

derivano dal fatto che $S_Y(f)=1/4[S_X(f-5)+S_X(f+5)]$ per cui devi calcolare $S_X(f-5),S_X(f+5)$

Con questi calcoli $P_Y=15/2$

[Sk_Anonymous]

Ma già non l'avevo calcolato $S_Y$?

mi era venuto $-29/4$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Ma già non l'avevo calcolato $S_Y$?

mi era venuto $-29/4$

non puoi sommare cose che appartengono ad intervalli differenti
$S_X(f)$ è esprimibile,e lo hai fatto' come somma di contributi in intervalli mutuamente esclusivi e lo stesso dicasi per $S_Y(f)$. Quindi il tuo procedimento è errato

[Sk_Anonymous]

$S_X(f)=4,-3<=f<2 => S_X(f-5)=4,2<=f<7$

come mai questa espressione non figura nella tua?
Sto sbagliando?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":$S_X(f)=4,-3<=f<2 => S_X(f-5)=4,2<=f<7$

come mai questa espressione non figura nella tua?
Sto sbagliando?

$S_X(f)=4,-3<=f<-2->S_X(f-5)=4,-3<=f-5<-2<=>2<=f<3$

Poi ti rispondo pure per l'altro punto:

$Z(t)=X(t)+Y(t)=X(t)(1+cos(10pit+Phi))$

$R_Z(tau)=E{X(t)X(t+tau)(1+cos(10pit+Phi))(1+cos(10pi(t+tau)+Phi))}$=
$E{X(t)X(t+tau)[1+cos(10pit+Phi)+cos(10pi(t+tau)+Phi))+cos(10pit+Phi)cos(10pi(t+tau)+Phi))]}$=
$E{X(t)X(t+tau)[1+cos(10pit+Phi)+cos(10pi(t+tau)+Phi)+1/2cos(10pitau)+1/2cos(10pi(2t+tau)+2Phi)]}$=
$R_X(tau)[1+1/2cos(10pitau)]$ poichè $int_{0}^{2pi}cos(10pit+Phi)dPhi=int_{0}^{2pi}cos(10pi(t+tau)+Phi)dPhi=int_{0}^{2pi}cos(10pi(2t+tau)+Phi)dPhi=0$

Per cui

$S_Z(f)=S_X(f)+1/4S_X(f-5)+1/4S_X(f+5)=S_X(f)+S_Y(f)$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Ho i seguenti dati:

$S_X(f)=rect(f/12)-rect(f/4),y(t)=x(t)*cos(8pit+Phi),Phi=x[0,2pi]$
$Y(t)=X(t)*cos(8pit+Phi),H(f)=Krect(f/10)$

determinare $k$ in modo tale che $P_z=P_x$.

Credo che $Z(t)$ sia il segnale $Y(t)$ filtrato da $H(f)$

Innanzitutto $P_X=int_{-infty}^{+infty}S_X(f)df=int_{-6}^{+6}df-int_{-2}^{2}df=12-4=8$

Con i soliti calcoli si ricava $R_Y(tau)=1/2R_X(tau)cos(8pi*tau)->S_Y(f)=1/4[S_X(f-4)+S_X(f+4)]=1/4{Pi[(f-4)/12]+Pi[(f+4)/12]-Pi[(f-4)/4]-Pi[(f+4)/4]}$
=${(1/4,-10<=f<=-6),(0,-6<=f<=-2),(1/2,-2<=f<=2),(0,2<=f<=6),(1/4,6<=f<=10):}$

Ora $P_Z=int_{-infty}^{+infty}S_Y(f)|H(f)|^2df=k^2int_{-2}^{2}1/2df=2k^2$

Ora $P_Z=P_X<=>2k^2=8->k^2=4->|k|=2$

[Sk_Anonymous]

Sia dato il segnale
$x(t)=6*sinc(6t)-4*sinc(4t)-2*sinc(2t)$
e sia $F_C$ la frequenza minima a cui campionare il segnale per poterlo ricostruire fedelmente dalla serie di campioni.
Il segnale $x(t)$ viene inviato in ingresso ad un filtro lineare tempo invariante la cui funzione di trasferimento è $H(f)=k*rect((2F)/F_C)$ e sia $y(t)$ il segnale in uscita.Determinare $k$ tale che i due segnali abbiano all'uscita la stessa energia.

Sia dato un segnale aleatorio $X(t)$ la cui funzione di autocorrelazione è
$R_X(tau)=16*sinc(4tau)-4*sinc(2tau)+8*sinc(4tau)$.
Sia $Z(t)=2X(t)*cos(4pit+Phi)$ ove $Phiu[0,2pi]$.
Supponiamo che $Z(t)$ entri in un filtro avente $H(f)=A*rect(f/8)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z(f)$ e il valore di $A$ affinchè $P_X=P_Y$.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Sia dato il segnale
$x(t)=6*sinc(6t)-4*sinc(4t)-2*sinc(2t)$
e sia $F_C$ la frequenza minima a cui campionare il segnale per poterlo ricostruire fedelmente dalla serie di campioni.
Il segnale $x(t)$ viene inviato in ingresso ad un filtro lineare tempo invariante la cui funzione di trasferimento è $H(f)=k*rect((2F)/F_C)$ e sia $y(t)$ il segnale in uscita.Determinare $k$ tale che i due segnali abbiano all'uscita la stessa energia.

Sia dato un segnale aleatorio $X(t)$ la cui funzione di autocorrelazione è
$R_X(tau)=16*sinc(4tau)-4*sinc(2tau)+8*sinc(4tau)$.
Sia $Z(t)=2X(t)*cos(4pit+Phi)$ ove $Phiu[0,2pi]$.
Supponiamo che $Z(t)$ entri in un filtro avente $H(f)=A*rect(f/8)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z(f)$ e il valore di $A$ affinchè $P_X=P_Y$.

2)$S_X(f)=F[R_X(tau)]=4Pi[f/4]-2Pi[f/2]+2Pi[f/4]$
$P_X=R_X(0)=20$
$R_Z(tau)=2R_X(tau)cos(4pi*tau)->S_Z(f)=[S_X(f-2)+S_X(f+2)]$
$S_Y(f)=S_Z(f)|H(f)|^2$
$P_Y=A^2int_{-4}^{4}S_Z(f)df=20$ e cos' trovi $A$

[Sk_Anonymous]

Se disegno i vari rettangoli e li sommo deduco i vari intervalli su cui integrare.
una volta determinato $A$, come trovo $S_z$ e $P_Z$?

[Sk_Anonymous]

Sia $X(t)$ un segnale aleatorio avente $R_X(tau)=16*sinc(4tau)-6*sinc(2tau)+9$.
Sia $Z(t)=X(t)+1$ il segnale che entra in un filtro avente $H(f)=rect(f/6)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z,S_Y(f),P_Y$.
Infine calcolare la potenza del segnale $W(t)=X(t)+Z(t)$.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Se disegno i vari rettangoli e li sommo deduco i vari intervalli su cui integrare.
una volta determinato $A$, come trovo $S_z$ e $P_Z$?

$S_Z(f)=S_X(f-2)+S_X(f+2)$
$P_Z=int_{-infty}^{+infty}S_Z(f)df$

nota che $P_Z,S_Z(f)$ sono indipendente da $A$. Semmai $P_Y,S_Y(f)$ dipendono strettamente da $A$ per come è la traccia

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Sia $X(t)$ un segnale aleatorio avente $R_X(tau)=16*sinc(4tau)-6*sinc(2tau)+9$.
Sia $Z(t)=X(t)+1$ il segnale che entra in un filtro avente $H(f)=rect(f/6)$ e sia $Y(t)$ il segnale in uscita.
Calcolare $S_Z(f),P_Z,S_Y(f),P_Y$.
Infine calcolare la potenza del segnale $W(t)=X(t)+Z(t)$.

ti dice qualè è la media di $X(t)$? è fondamentale in questo caso. non so se si può ricavare dall'autocorrelazione. ma non credo

Infatti $R_Z(tau)=R_X(tau)+1+E[X(t)]+E[X(t+tau)]=R_X(tau)+1+2E[X(t)]$ perchè $X(t)$ è SSL per cui $E[X(t)]=E[X(t+tau)]$.

Quindi $S_Z(f)=S_X(f)+(1+2E[X(t)])delta(f)$
$P_Z= (1+2E[X(t)])+R_Z(0)= (1+2E[X(t)])+int_{-infty}^{+infty}S_X(f)df$

$S_Y(f)=S_Z(f)|H(f)|^2->P_Y=int_{-3}^{3}S_Z(f)df$

$W(t)=2X(t)+1->R_W(tau)=4R_X(tau)+1+4E[X(t)]->P_W=4R_X(0)+1+4E[X(t)]$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":ti dice qualè è la media di $X(t)$? è fondamentale in questo caso. non so se si può ricavare dall'autocorrelazione. ma non credo

No,non mi dà la media.

[Sk_Anonymous]

Ho trovato la formula:

$eta_x=lim_(tau->+infty)sqrt(R_X(tau))

Pertanto la media dovrebbe venire $sqrt9=3$

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Ho trovato la formula:

$eta_x=lim_(tau->+infty)sqrt(R_X(tau))

Pertanto la media dovrebbe venire $sqrt9=3$

mi ricordavo e non di una formula esistente. Quindi il tutto è fatto, devi solo sostituire