Signal Theory

[Sk_Anonymous]

Sia dato un segnale aleatorio stazionario $X(t)$ la cui densità spettrale di potenza è

$S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$

Il segnale $Z(t)$ si ottiene moltiplicando $X(t)$ per il segnale $cos(2pit+Phi)$,ove $Phi$ è una v.a. uniformemente distribuita in $[0,2pi]$.
Infine sia $Y(t)$ il segnale che si ottiene facendo passare $Z(t)$ attraverso il filtro la cui funzione di trasferimento è $H(f)=3*rect(f/F).

Calcolare la densità spettrale di potenza del segnale $Z(t)$;
Calcolare il valore di $F$ tale che la potenza del segnale $Y(t)$ sia uguale a quella del segnale $X(t)$.

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"][quote="nicola de rosa"]Innanzitutto mi farebbe piacere sapere se l'esercizio precedente l'hai capito come l'ho svolto e se ci sono dubbi.

Si,l'unica cosa era quella $F$.
Negli appunti ho trovato che $S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)=3tr(f/3)-2tr(f/2)$.
L'espressione ottenuta è più semplice di quella di partenza ed in questo modo si può anche calcolare in modo più agevole la sua trasformata di Fourier per ottenere $R_x(tau)$.
Il problema è ....come si arriva a quell'espressione in triangoli? [/quote]

Rappresentati le funzioni $3*(1-|f|/3)*rect(f/6)$ e $2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$ e ti accorgerai che sono due triangoli. Provaci e fammi sapere altrimenti te lo spiego io[/quote]

Si può generalizzare scrivendo che $a*b*rect(f/F)=a*tr(f/((F/2)))$?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"][quote="nicola de rosa"]Innanzitutto mi farebbe piacere sapere se l'esercizio precedente l'hai capito come l'ho svolto e se ci sono dubbi.

Si,l'unica cosa era quella $F$.
Negli appunti ho trovato che $S_x(f)=3*(1-|f|/3)*rect(f/6)-2*(1-|f|/2)*rect(f/4)=3tr(f/3)-2tr(f/2)$.
L'espressione ottenuta è più semplice di quella di partenza ed in questo modo si può anche calcolare in modo più agevole la sua trasformata di Fourier per ottenere $R_x(tau)$.
Il problema è ....come si arriva a quell'espressione in triangoli? [/quote]

Rappresentati le funzioni $3*(1-|f|/3)*rect(f/6)$ e $2*(1-|f|/2)*rect(f/4)$ e ti accorgerai che sono due triangoli. Provaci e fammi sapere altrimenti te lo spiego io[/quote]

Si può generalizzare scrivendo che $a*b*rect(f/F)=a*tr(f/((F/2)))$?[/quote]

Il tutto è generalizzabile

Ricorda che

$tri(x)={(1-|x|,|x|<=1),(0,else):}$ per cui $tri(x)=(1-|x|)rect(x/2)$

[Sk_Anonymous]

Finalmente ho detto una cosa buona....

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Finalmente ho detto una cosa buona....

$a*b*rect(f/F)=a*tr(f/((F/2)))$

Questa però non è una cosa buona, perchè è sbagliata

[Sk_Anonymous]

Sia $X(t)$ un segnale aleatorio stazionario in senso lato la cui funzione di autocorrelazione è $R_X(tau)=1/2exp(-|tau|)$.

supposto che $X(t)$ vada in ingresso a un sistema lineare la cui $H(f)=sqrt|f|*rect(f/2)$ e che sia $Y(t)$ il processo in uscita,calcolare media e potenza di $Y(t)$.

[Sk_Anonymous]

Ho fatto così:

$S_x(f)=F{R_X(tau)}=1/2[int_(-infty)^0e^((-2pijf+1)*tau)d(tau)+int_0^(+infty)e^(-(2pijf+1)*tau)d(tau)]=1/2*(1+2pijf+1-2pijf)/((1-2pijf)*(1+2pijf))=1/(1+4pi^2f^2)$
$P_Y=int_(-infty)^(+infty)S_X(f)*|H(f)|^2df=int_(-infty)^(+infty)1/(1+4pi^2f^2)*|sqrt|f|*rect(f/2)|^2df=
$=int_(-infty)^(+infty)1/(1+4pi^2f^2)*|f|rect(f/2)df=int_(-1)^1|f|/(1+4pi^2f^2)df=
$=2int_0^1f/(1+4pi^2f^2)df=2/(8pi^2)int_0^1(8pi^2f)/(1+4pi^2f^2)df=
$=1/(4pi^2)[ln(1+4pi^2f^2)]_0^1=1/(4pi^2)*ln(1+4pi^2)=P_Y.

[Sk_Anonymous]

Ho i seguenti dati:

$S_X(f)=rect(f/12)-rect(f/4),y(t)=x(t)*cos(8pit+Phi),Phi=x[0,2pi]$
$Y(t)=X(t)*cos(8pit+Phi),H(f)=Krect(f/10)$

determinare $k$ in modo tale che $P_z=P_x$.

[Sk_Anonymous]

Sia $X(t)$ il segnale la cui densità spettrale di potenza è rappresentata in figura.
Inoltre sia $Y(t)=X(t)*cos(10pit+Phi)$,ove $Phi$ è distribuito uniformemente in $[0,2pi]$.Calcolare la potenza di $X(t)$ e la densità spettrale di potenza e la potenza di $Y(t)$.
Sia inoltre $Z(t)=X(t)+Y(t)$;calcolare la densità spettrale di potenza e potenza di $Z(t)$.

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Ho fatto così:

$S_x(f)=F{R_X(tau)}=1/2[int_(-infty)^0e^((-2pijf+1)*tau)d(tau)+int_0^(+infty)e^(-(2pijf+1)*tau)d(tau)]=1/2*(1+2pijf+1-2pijf)/((1-2pijf)*(1+2pijf))=1/(1+4pi^2f^2)$
$P_Y=int_(-infty)^(+infty)S_X(f)*|H(f)|^2df=int_(-infty)^(+infty)1/(1+4pi^2f^2)*|sqrt|f|*rect(f/2)|^2df=
$=int_(-infty)^(+infty)1/(1+4pi^2f^2)*|f|rect(f/2)df=int_(-1)^1|f|/(1+4pi^2f^2)df=
$=2int_0^1f/(1+4pi^2f^2)df=2/(8pi^2)int_0^1(8pi^2f)/(1+4pi^2f^2)df=
$=1/(4pi^2)[ln(1+4pi^2f^2)]_0^1=1/(4pi^2)*ln(1+4pi^2)=P_Y.

sembra vada bene

[_nicola de rosa]

"Aeneas":Ho i seguenti dati:

$S_X(f)=rect(f/12)-rect(f/4),y(t)=x(t)*cos(8pit+Phi),Phi=x[0,2pi]$
$Y(t)=X(t)*cos(8pit+Phi),H(f)=Krect(f/10)$

determinare $k$ in modo tale che $P_z=P_x$.

chi è $Z(t)$?
Peova a postare i tuoi calcoli come fatto prima e se sbagli qualcosa ti aiuterò io

[_nicola de rosa]

"Aeneas":

Sia $X(t)$ il segnale la cui densità spettrale di potenza è rappresentata in figura.
Inoltre sia $Y(t)=X(t)*cos(10pit+Phi)$,ove $Phi$ è distribuito uniformemente in $[0,2pi]$.Calcolare la potenza di $X(t)$ e la densità spettrale di potenza e la potenza di $Y(t)$.
Sia inoltre $Z(t)=X(t)+Y(t)$;calcolare la densità spettrale di potenza e potenza di $Z(t)$.

i passi sono i seguenti
1)Calcolo $R_Y(tau)$
2)Calcolo $S_Y(f)$ trasformando $R_Y(tau)$ dopo aver calcolato $S_X(f)$
3)Poi discuti il segnale somma

fai i calcoli, postali e vedremo dove hai sbagliato nell'eventualità

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]

Sia $X(t)$ il segnale la cui densità spettrale di potenza è rappresentata in figura.
Inoltre sia $Y(t)=X(t)*cos(10pit+Phi)$,ove $Phi$ è distribuito uniformemente in $[0,2pi]$.Calcolare la potenza di $X(t)$ e la densità spettrale di potenza e la potenza di $Y(t)$.
Sia inoltre $Z(t)=X(t)+Y(t)$;calcolare la densità spettrale di potenza e potenza di $Z(t)$.

i passi sono i seguenti
1)Calcolo $R_Y(tau)$
2)Calcolo $S_Y(f)$ trasformando $R_Y(tau)$ dopo aver calcolato $S_X(f)$
3)Poi discuti il segnale somma

fai i calcoli, postali e vedremo dove hai sbagliato nell'eventualità[/quote]

$S_X(f)$ come la calcolo?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]

Sia $X(t)$ il segnale la cui densità spettrale di potenza è rappresentata in figura.
Inoltre sia $Y(t)=X(t)*cos(10pit+Phi)$,ove $Phi$ è distribuito uniformemente in $[0,2pi]$.Calcolare la potenza di $X(t)$ e la densità spettrale di potenza e la potenza di $Y(t)$.
Sia inoltre $Z(t)=X(t)+Y(t)$;calcolare la densità spettrale di potenza e potenza di $Z(t)$.

i passi sono i seguenti
1)Calcolo $R_Y(tau)$
2)Calcolo $S_Y(f)$ trasformando $R_Y(tau)$ dopo aver calcolato $S_X(f)$
3)Poi discuti il segnale somma

fai i calcoli, postali e vedremo dove hai sbagliato nell'eventualità[/quote]

$S_X(f)$ come la calcolo?[/quote]

quella in figura secondo te che cosa è?

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"][quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]

Sia $X(t)$ il segnale la cui densità spettrale di potenza è rappresentata in figura.
Inoltre sia $Y(t)=X(t)*cos(10pit+Phi)$,ove $Phi$ è distribuito uniformemente in $[0,2pi]$.Calcolare la potenza di $X(t)$ e la densità spettrale di potenza e la potenza di $Y(t)$.
Sia inoltre $Z(t)=X(t)+Y(t)$;calcolare la densità spettrale di potenza e potenza di $Z(t)$.

i passi sono i seguenti
1)Calcolo $R_Y(tau)$
2)Calcolo $S_Y(f)$ trasformando $R_Y(tau)$ dopo aver calcolato $S_X(f)$
3)Poi discuti il segnale somma

fai i calcoli, postali e vedremo dove hai sbagliato nell'eventualità[/quote]

$S_X(f)$ come la calcolo?[/quote]

quella in figura secondo te che cosa è?[/quote]

Devo vedere la figura come un rettangolo a cui togliamo un triangolo e sommiamo la punta,oppure per ogni coppia di punti vedere qual è la retta passante?

[_nicola de rosa]

"Aeneas":[quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"][quote="nicola de rosa"][quote="Aeneas"]

Sia $X(t)$ il segnale la cui densità spettrale di potenza è rappresentata in figura.
Inoltre sia $Y(t)=X(t)*cos(10pit+Phi)$,ove $Phi$ è distribuito uniformemente in $[0,2pi]$.Calcolare la potenza di $X(t)$ e la densità spettrale di potenza e la potenza di $Y(t)$.
Sia inoltre $Z(t)=X(t)+Y(t)$;calcolare la densità spettrale di potenza e potenza di $Z(t)$.

i passi sono i seguenti
1)Calcolo $R_Y(tau)$
2)Calcolo $S_Y(f)$ trasformando $R_Y(tau)$ dopo aver calcolato $S_X(f)$
3)Poi discuti il segnale somma

fai i calcoli, postali e vedremo dove hai sbagliato nell'eventualità[/quote]

$S_X(f)$ come la calcolo?[/quote]

quella in figura secondo te che cosa è?[/quote]

Devo vedere la figura come un rettangolo a cui togliamo un triangolo e sommiamo la punta,oppure per ogni coppia di punti vedere qual è la retta passante?[/quote]

devi scriverla considerando intervallo per intervallo

[Sk_Anonymous]

$S_Y(f)=1/2F[R_x(tau)*cos(10pi*tau)]=1/4[S_x(f-5)+S_x(f+5)]

[Sk_Anonymous]

$S_X(f)=4$ in $-3<=f<-2 uu 2<=f<=3$
$S_X(f)=-3f+2$ in $-2<=f<1$
$S_X(f)=1$ in $-1<=f<1$
$S_X(f)=3f-2$ in $1<=f<2$

Pertanto $S_Y(f)=1/4*[9+2-3*(f-5)+3*(f-5)+2+2-3*(f+5)+3*(f+5)-2]=13/4

[_nicola de rosa]

"Aeneas":$S_Y(f)=1/2F[R_x(tau)*cos(10pi*tau)]=1/4[S_x(f-5)+S_x(f+5)]

non postarmi solo il risultato ma i calcoli principali altrimenti dovrei daccapo farlo io

[_nicola de rosa]

"Aeneas":$S_X(f)=4$ in $-3<=f<-2 uu 2<=f<=3$
$S_X(f)=-3f+2$ in $-2<=f<1$
$S_X(f)=1$ in $-1<=f<1$
$S_X(f)=3f-2$ in $1<=f<2$

Pertanto $S_Y(f)=1/4*[9+2-3*(f-5)+3*(f-5)+2+2-3*(f+5)+3*(f+5)-2]=13/4

$S_X(f)=4$ in $-3<=f<-2 uu 2<=f<=3$
$S_X(f)=-3f-2$ in $-2<=f<-1$
$S_X(f)=1$ in $-1<=f<1$
$S_X(f)=3f-2$ in $1<=f<2$

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="Aeneas"]$S_Y(f)=1/2F[R_x(tau)*cos(10pi*tau)]=1/4[S_x(f-5)+S_x(f+5)]

non postarmi solo il risultato ma i calcoli principali altrimenti dovrei daccapo farlo io[/quote]
ok



$R_Y(t,tau)=E{Y(t)*Y(t+tau)}=E{Y(t)*(Y(t+tau)*cos(10pit+Phi)*cos[(10pit+Phi)+Phi]="applicando le formule di Werner"=
$=1/2E{Y(t)*Y(t+tau)*cos[(10pitau)+cos[10pi(2t+tau)+2Phi)]}=
$=1/2E{Y(t)Y(t+tau)*cos[10pi(2t+tau)+2Phi)]}+1/2cos(10pitau)=1/2cos(10pitau)*R_X(tau)$