[Elettrotecnica] Induttori Accoppiati
Ciao, sto cercando di risolvere una parte di un esercizio in cui entrano in gioco degli induttori accoppiati, che nella parte prima non lo erano (che ho già risolto). Con l'introduzione di questi elementi non riesco ad impostare le equazioni. Come le devo impostare e perché? Grazie.
Risposte
Beh, non so che metodo risolutivo hai utilizzato nella prima parte, ad ogni modo, tanto per cominciare, dovresti scrivere le due equazioni costitutive Vi(I1,I2) adattate alle convenzioni prefissate nello schema al fine di poter poi modificare le tue equazioni, se vuoi postarle, controllo.
La cosa che vorrei capire è se posso utilizzare il metodo che ho usato per gli induttori disaccoppiati, cioè calcolo la $Zeq$ e con $E$ calcolo $Ig$, per $I1$ faccio $(E-(R1*Ig))/(ZL1)$. Poi $I2=Ig-I1$...e così via...
$Zeq$ $->$ impedenza totale
Posso fare così? Con gli induttori accoppiati, cambia solo il calcolo dell'impedenza?
$Zeq$ $->$ impedenza totale
Posso fare così? Con gli induttori accoppiati, cambia solo il calcolo dell'impedenza?
"Frank98":
La cosa che vorrei capire è se posso utilizzare il metodo che ho usato per gli induttori disaccoppiati, ... Con gli induttori accoppiati, cambia solo il calcolo dell'impedenza?
Anch'io vorrei capire una cosa: secondo te perché ti ho chiesto di postare le due equazioni costitutive? ... che sia forse per spiegarti cosa "cambia" nel caso di accoppiamento mutuo?
Se non ti va di farlo, non ci sono problemi, ovviamente.
Non le so impostare, quello che so è che:
$V1=jwL1*I1 - jwM*I2$
$V2=jwL2*I2 - jwM*I1$
$V1=jwL1*I1 - jwM*I2$
$V2=jwL2*I2 - jwM*I1$
Diciamo che, scegliendo le tensioni V1 e V2 con il positivo sui "puntini" (come è stato già scelto nello schema) e con le due correnti scelte entranti nei "puntini" (chiamiamole Ix e Iy per non confonderle con la I1 e la I2 dello schema), le equazioni costitutive sarebbero le seguenti
$V_1=jwL_1 I_x + jwM I_y$
$V_2=jwL_2 I_y + jwM I_x$
Nel tuo caso particolare, mantenendo le convenzioni indicate nello schema, dato che $I_x=I_1$ ma $I_y=-I_2$, avrai che andranno invece scritte nel seguente modo
$V_1=jwL_1 I_1 + jwM (-I_2)$
$V_2=jwL_2 (-I_2) + jwM I_1$
ne segue che queste due equazioni associate alle due KVL della rete:
$E_1-R_1I_g-V_1=0$
$V_1+V_2-(Z_C+R_2)I_2=0$
(e alla KCL al nodo) ti permetteranno di risolvere il problema.
Chiaramente con un po' di pratica, potresti andare a scrivere direttamente le due KVL andando ad aggiungere le due tensioni dovute alla mutua induzione (segno compreso), ma è davvero una scorciatoia molto pericolosa, in quanto è facilissimo sbagliare.
NB Nessuno ti vieta comunque di scegliere una tua corrente I2 con verso opposto a quello scelto nello schema, e poi cambiare di segno il risultato ottenuto.
$V_1=jwL_1 I_x + jwM I_y$
$V_2=jwL_2 I_y + jwM I_x$
Nel tuo caso particolare, mantenendo le convenzioni indicate nello schema, dato che $I_x=I_1$ ma $I_y=-I_2$, avrai che andranno invece scritte nel seguente modo
$V_1=jwL_1 I_1 + jwM (-I_2)$
$V_2=jwL_2 (-I_2) + jwM I_1$
ne segue che queste due equazioni associate alle due KVL della rete:
$E_1-R_1I_g-V_1=0$
$V_1+V_2-(Z_C+R_2)I_2=0$
(e alla KCL al nodo) ti permetteranno di risolvere il problema.
Chiaramente con un po' di pratica, potresti andare a scrivere direttamente le due KVL andando ad aggiungere le due tensioni dovute alla mutua induzione (segno compreso), ma è davvero una scorciatoia molto pericolosa, in quanto è facilissimo sbagliare.
NB Nessuno ti vieta comunque di scegliere una tua corrente I2 con verso opposto a quello scelto nello schema, e poi cambiare di segno il risultato ottenuto.
Visto che ci siamo, potresti spiegarmi la convenzione dei "pallini" che non l'ho afferrata bene...
Come ti dicevo servono solo per indicare quali convenzioni portano a poter usare quelle due equazioni costitutive, con il coefficiente di mutua induzione M indicato.
Mi sembra di capire che $I2$ entri nel pallino e $I1$ esca dall'altro pallino. Quindi essendo opposti risultano le equazioni costitutive che tu hai scritto, giusto? Se sono uguali invece ci sono le prime due che hai scritto...?
"Frank98":
Mi sembra di capire che $I2$ entri nel pallino e $I1$ esca dall'altro pallino.
Volevi forse dire che I1 entra nel pallino di L1, mentre I2 esce dal pallino di L2, e di conseguenza nelle equazioni costitutive devi usare (-I2).
Ok, quindi se entrambi escono o entrano ho le equazioni positive. Mentre se sono opposti metto il meno alla corrente che esce?
Se le correnti entrano le metti positive, se escono negative, sempre nel caso che entrambe le tensioni siano prese con il positivo sui puntini.
Se invece cambi anche le convenzioni delle tensioni, anche quelle andanno messe con il segno negativo nelle equazioni costitutive; è chiaro che se (per esempio) cambiamo entrambi i versi sia delle tensioni, sia delle correnti, le equazioni costitutive potranno essere scritte con tutti segni positivi.
Proprio per questo, per "vincere facile", potresti sempre usare tensioni positive e correnti entranti sui puntini, anche nel caso lo schema riporti diverse convenzioni, che potranno essere tenute in conto successivamente, nel fornire le soluzioni finali.
Se invece cambi anche le convenzioni delle tensioni, anche quelle andanno messe con il segno negativo nelle equazioni costitutive; è chiaro che se (per esempio) cambiamo entrambi i versi sia delle tensioni, sia delle correnti, le equazioni costitutive potranno essere scritte con tutti segni positivi.
Proprio per questo, per "vincere facile", potresti sempre usare tensioni positive e correnti entranti sui puntini, anche nel caso lo schema riporti diverse convenzioni, che potranno essere tenute in conto successivamente, nel fornire le soluzioni finali.
Ok grazie. Comunque per l'esercizio ho aggiunto le KCL cioè:
$Ig-I1-I2=0$
Ora? Ho un sistema così:
$I2=Ig-I1$
$E1=R1*Ig+V1$
$V1+V2=(Zc+R2)I2$
$Ig-I1-I2=0$
Ora? Ho un sistema così:
$I2=Ig-I1$
$E1=R1*Ig+V1$
$V1+V2=(Zc+R2)I2$
Esatto, che insieme alle due equazioni costitutive porterà, dopo la riduzione, ad un sistema in tre equazioni e tre incognite (Ig,I1,I2) e quindi alla soluzione.
Sto avendo difficoltà nei calcoli, mi ritrovo a dover separare la $I1$ ma è una roba molto laboriosa. In pratica ho che:
$I2=Ig-I1$
$Ig=(E-(jwL1*I1-jwM))/(R1)$
$jwL1*I1 - jwM*I2 + jwL2*I2 + jwM*I1 = (1/(jwc)+R2)I2$
Poi sostituisco $I2$ e quindi $Ig$ nella terza equazione, e così dovrei trovare $I1$. E' corretto?
$I2=Ig-I1$
$Ig=(E-(jwL1*I1-jwM))/(R1)$
$jwL1*I1 - jwM*I2 + jwL2*I2 + jwM*I1 = (1/(jwc)+R2)I2$
Poi sostituisco $I2$ e quindi $Ig$ nella terza equazione, e così dovrei trovare $I1$. E' corretto?
Direi che nessuno ti chieda una soluzione simbolica, una volta sostituita la Ig con la somma I1+I2 nella prima KVL avrai due equazioni in due incognite a coefficienti complessi che, scritto in forma numerica, sarà semplice da risolvere. 
BTW Da dove arrivano queste "strane" prove?
BTW Da dove arrivano queste "strane" prove?
Perché strane?!? Ahaahahah, sono esami di elettrotecnica di appelli passati...
"Frank98":
Perché strane?!? Ahaahahah, sono esami di elettrotecnica di appelli passati...
Strane perché se, come sembra, fosse sufficiente indicare qual'è la soluzione corretta fra le quattro alternative, in alcuni casi (come questo), la soluzione potrebbe essere fornita senza risolvere realmente il problema.
In meno di 5 minuti.
Ho provato a fare quello che hai detto ma sono più dubbioso di prima...
Ora ho:
1)$E-R1(I1+I2)=V1$
2)$E-R1(I1+I2)+V2-(1/(jwC)+R2)*I2=0$ $->$
$->$ 2) $E-R1(I1+I2)+jwL2*I2+jwM*I1-(1/(jwC)+R2)*I2$
Ora ho:
1)$E-R1(I1+I2)=V1$
2)$E-R1(I1+I2)+V2-(1/(jwC)+R2)*I2=0$ $->$
$->$ 2) $E-R1(I1+I2)+jwL2*I2+jwM*I1-(1/(jwC)+R2)*I2$
Non proprio, io ti ho detto che
Visto che hai mantenuto le convenzioni del testo,
$E-R_1(I_1+I_2)+j\omega L_2(-I_2)+j\omegaMI_1-(1/(j\omegaC)+R_2) I_2=0$
che, insieme alla prima equazione,
$E-R_1(I_1+I_2)-j\omega L_1 I_1 -j\omega M(-I_2)=0$
costituirà il sistema nelle due incognite $I_1$ e $I_2$ che, scritto in forma numerica, potrà essere facilmente risolto.
BTW Stamattina, visto che non hai risposto alla mia domanda sulla sua provenienza, sono riuscito a capire che queste prove d'esame dovrebbero essere caratteristiche dell'università di Pavia, per le quali basta solo barrare il risultato [nota]E, non inserirlo fra le parentesi quadre come supponevo, che servono solo per indicare le unità di misura; un'altra errata consuetudine H-demica.
[/nota] corretto, senza necessità di svolgimento. 
"RenzoDF":
... una volta sostituita la Ig con la somma I1+I2 nella prima KVL avrai due equazioni in due incognite a coefficienti complessi che, scritto in forma numerica, sarà semplice da risolvere.
"Frank98":
...
2)$E-R1(I1+I2)+V2-(1/(jwC)+R2)*I2=0$ $->$
$->$ 2) $E-R1(I1+I2)+jwL2*I2+jwM*I1-(1/(jwC)+R2)*I2$
Visto che hai mantenuto le convenzioni del testo,
$E-R_1(I_1+I_2)+j\omega L_2(-I_2)+j\omegaMI_1-(1/(j\omegaC)+R_2) I_2=0$
che, insieme alla prima equazione,
$E-R_1(I_1+I_2)-j\omega L_1 I_1 -j\omega M(-I_2)=0$
costituirà il sistema nelle due incognite $I_1$ e $I_2$ che, scritto in forma numerica, potrà essere facilmente risolto.
BTW Stamattina, visto che non hai risposto alla mia domanda sulla sua provenienza, sono riuscito a capire che queste prove d'esame dovrebbero essere caratteristiche dell'università di Pavia, per le quali basta solo barrare il risultato [nota]E, non inserirlo fra le parentesi quadre come supponevo, che servono solo per indicare le unità di misura; un'altra errata consuetudine H-demica.
[/nota] corretto, senza necessità di svolgimento.
"RenzoDF":
sono riuscito a capire che queste prove d'esame dovrebbero essere caratteristiche dell'università di Pavia
Esattamente.
"RenzoDF":
per le quali basta solo barrare il risultato [...] corretto, senza necessità di svolgimento.
Quale sarebbe questo metodo che impiega meno di 5 minuti?
Perché ho provato a fare qualche calcolo e $I2$ mi viene $-2,47-1,48j$, il che è sbagliato. Forse dovrei usare il modo che dici e non fare qualche errore di calcolo che mi porti a sbagliare tutto...
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