Antenna. Esercizio risolto

[Ahi1]

Senza piano conduttore, determinare il campo elettrico, magnetico, il vettore di Poynting incidente, la tensione a vuoto sull'antenna ricevente e la potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento (in potenza $(Z_g)=(Z_A)^c $). In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed è massimo in modulo?
(dove la frequenza f è $f=800MHz$)

La mia soluzione.
Calcoliamo la lunghezza d'onda come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché ci troviamo nel vuoto $u_p=c=(3*10^8)m/s$ (rappresenta la velocità della luce:

$lambda=(u_p/f)=(c/f)=((3*10^8)(m/s))/((800*10^6)(1/s))=0.375m$ ($37.5 cm$)

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Il campo elettrico è rappresentato dalla seguente relazione:

$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)$

($E$ è un vettore e $u_(theta)$ un versore)

$eta=377Omega$ ed è l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $k=(2*pi)/lambda$ e rappresenta in questo caso il numero d'onda e $h(theta,phi)$ è l'altezza efficace.
Bisogna ricavare $I_0$ (la corrente) e $h(theta,phi)$
Valutiamo il rapporto

$(l_1/lambda)=(0.013m)/(0.375)=0.034$ (è adimensionale questo rapporto)

essendo $(l_1/lambda) < < 1$ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:

$h(theta,phi)=(l_1)*sin(theta)*u_(theta)=(0.013m/2)*sin(55°)*u_(theta)=0.0053m*u_(theta)$

Consideriamo il circuito equivalente per l'antenna $T_x$



$(Z_g)=(Z_A^c)$ $=>$ $(Z_g)=Re(Z_A)$ e $Im(Z_A) = 0$

inoltre

$Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_rad+R_(loss)$ -> $Z_A=Z_R$

possiamo non considerare $jX_A$ in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna. Poiché c'è adattamento, la tessione che cade sull'antenna (supposta senza perdita) è metà di quella del generatore ($R_A$ è pari a $R_g$)

Inoltre essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta):

$R_A=(pi/6)*eta*(l/lambda)^2=(3.14/6)*377Omega*(0.012m/0.375m)^2=0.202Omega$

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Dunque ora è possibile calcolare la corrente, il campo elettrico, magnetico e il vettore di Poynting:

Corrente:
$I_0=(V_g)/(2*R_A)=(8V)/(2*0.202Omega)=19.80A$

Campo elettrico:
$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)=j*((377Omega*19.80A)/2*0.375m*3000m)*(e^(-j(180/0.375)*2000))*0.0053m*u_(theta)=j*0.0176V/m$

Campo magnetico:
$h=-(1/eta)*E_0*u_(theta)xu_r=(E_(theta)/eta)*u_(phi)=(j0.0176V/m/377Omega)=4,67*10^-5A/m$

Vettore di Poynting:

$S=|E|^2/2*eta*u_r=sqrt((3.3176^2)(V^2/m^2))=0.015W/m^2$

dalle analisi dimensionali effettuate il risultato è potenzialmente corretto.
Consideriamo ora il circuito equivalente per l'antenna $R_x$ (in ricezione)



(al posto di $Z_A$ ovviamente c'è $Z_L$)

valutiamo il seguente rapporto

$(l_2/lambda)=(0.010m)/(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)

$(l_2/lambda) < < 1$ per cui è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta

$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m/2)*sin(-80°)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$

fatto ciò è possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:

$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V/m)=jj8.624*10^-5V$

anche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
La potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ è

$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$

Ora vorrei sapere se tutto ciò che ho fatto e i ragionamenti sono decenti e corretti.
Inoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?

GRAZIE.

[_luca.barletta]

"Ahi":Corrente:
$I_0=V_g/2*R_A=8V/(2*0.202Omega)=19.80A$

ricontrolla il conto, e dunque tutti i successivi

$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m/2)*sin(-80°)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$

non va bene come hai ricavato quell'angolo, riconsidera la geometria del problema; immaginati il vettore E

Inoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?

il campo irradiato, in modulo, è strettamente dipendente da $h(theta,phi)$, quindi...

[Ahi1]

Ho ricontrollato i calcoli. L'errore l'avevo commesso nel determinare $R_A$, perché ho considerato $l_1=0.012$ al posto di $l_1=0.013$ dunque la corrente è $I_0=16.88A$
corretto?

[_luca.barletta]

ok

[Ahi1]

Inoltre...

il campo elettrico è
$E=j0.015V/m$

magnetico
$H=j3.97*10^-5V/m$

Poynting:

$S=2.98*10^-7W/m^2$

rifacendo i calcoli con la corrente calcolata nel modo giusto.

[_luca.barletta]

"Ahi":I
magnetico
$H=j3.97*10^-5V/m$

Ampere / metro

[Ahi1]

Quell'angolo lo ricavo usando un po' di geometria (o almeno così mi è stato detto che si fa)
Allora $theta=55°$ anche l'altro angolo vicino l'antenna ricevente è $55°$ poiché angoli alterno interni, dunque $theta'=theta+phi$

Comunque deduco che sia sbagliato il ragionamento...sbagliatissimo.

Il vettore E potrei immaginarlo perpendicolarmente all'antenna $Tx$....?

[Ahi1]

si $A/m$ ho fatto copia incolla per risparmiare tempo sul quaderno sta fatto bene...fortunatamente...per evitare questi errori cerco di fare sempre l'analisi dimensionale...(sperando di non sbagliare)

[_luca.barletta]

"Ahi":Quell'angolo lo ricavo usando un po' di geometria (o almeno così mi è stato detto che si fa)
Allora $theta=55°$ anche l'altro angolo vicino l'antenna ricevente è $55°$ poiché angoli alterno interni, dunque $theta'=theta+phi$

Comunque deduco che sia sbagliato il ragionamento...sbagliatissimo.

Il vettore E potrei immaginarlo perpendicolarmente all'antenna $Tx$....?

Il vettore E è diretto come $u_(theta)$, quindi..

[Ahi1]

E' molto probabile che ciò che ho fatto sia completamente sbagliato, visto che sto dormendo e di solito mi alzo sempre alle 6 del mattino e sto facendo esercizi dalle 8. Ma la posterò comunque.
Allora io ho realizzato una cosa del genere...




Domani la correggo...per il momento puoi anche sgridarmi!!

Ciao e grazie per l'enorme pazienza!

[_luca.barletta]

un piccolo richiamo: perchè hai puntato così E?

[Ahi1]

Si infatti già sapevo di avere sbagliato.
Rivedendo stamani e rifacendo il disegno, il campo elettrico è perpendicolare alla direzione di propagazione.
Ovvero quello che ho rappresentato io chiamandolo $E$.

[Ahi1]

Ragionando e rivedendo...mi sono reso conto che il versore sarà $-u_(theta')$. E non è l'angolo ad essere $-80°$, e a questo ragionamento che mi volevi far giungere? (o sto sbagliando come sempre!!! )

[_luca.barletta]

eh sì, l'angolo di incidenza su rx non è 80°, se ho capito bene la figura

[Ahi1]

Ecco questa (forse visto che è fatta da me) dovrebbe essere la figura giusta.
Ma sei sicuro che non si sommino semplicemente gli angoli?

[_luca.barletta]

dimmi bene la rotazione di 25° rispetto a che asse si fa

[Ahi1]

Se tutto ciò che ho fatto è corretto...l'angolo $phi$ si dovrebbe trovare tra l'asse delle $y$ e quello delle $x$, le coordinate sono sferiche...e la rotazione va da x verso y...

[_luca.barletta]

bene, come immaginavo, allora quell'angolo di 25° non ti dà problemi, perchè l'antenna filiforme irradia la stessa densità di potenza su tutto l'azimuth

[Ahi1]

Ma quindi tutto questo che ho fatto? Non va nulla bene?



valutiamo il seguente rapporto

$(l_2/lambda)=(0.010m)/(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)

$(l_2/lambda) < < 1$ per cui è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta

$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*(-u_(theta'))=(0.01m/2)*sin(80°)*(-u_(theta'))=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$

fatto ciò è possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:

$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V/m)=jj8.624*10^-5V$

anche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
La potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ è

$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$

[_luca.barletta]

in $h_(rx)$ l'angolo che devi considerare è di 25°

[Ahi1]

Mi puoi spiegare o meglio far capire come si sceglie l'angolo per l'antenna $R_x$ cosa devo andare a guardare?