Antenna. Esercizio risolto

Ahi1


Senza piano conduttore, determinare il campo elettrico, magnetico, il vettore di Poynting incidente, la tensione a vuoto sull'antenna ricevente e la potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento (in potenza $(Z_g)=(Z_A)^c $). In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed è massimo in modulo?
(dove la frequenza f è $f=800MHz$)

La mia soluzione.
Calcoliamo la lunghezza d'onda come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché ci troviamo nel vuoto $u_p=c=(3*10^8)m/s$ (rappresenta la velocità della luce:

$lambda=(u_p/f)=(c/f)=((3*10^8)(m/s))/((800*10^6)(1/s))=0.375m$ ($37.5 cm$)

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Il campo elettrico è rappresentato dalla seguente relazione:

$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)$

($E$ è un vettore e $u_(theta)$ un versore)

$eta=377Omega$ ed è l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $k=(2*pi)/lambda$ e rappresenta in questo caso il numero d'onda e $h(theta,phi)$ è l'altezza efficace.
Bisogna ricavare $I_0$ (la corrente) e $h(theta,phi)$
Valutiamo il rapporto

$(l_1/lambda)=(0.013m)/(0.375)=0.034$ (è adimensionale questo rapporto)

essendo $(l_1/lambda) < < 1$ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:

$h(theta,phi)=(l_1)*sin(theta)*u_(theta)=(0.013m/2)*sin(55°)*u_(theta)=0.0053m*u_(theta)$

Consideriamo il circuito equivalente per l'antenna $T_x$



$(Z_g)=(Z_A^c)$ $=>$ $(Z_g)=Re(Z_A)$ e $Im(Z_A) = 0$

inoltre

$Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_rad+R_(loss)$ -> $Z_A=Z_R$

possiamo non considerare $jX_A$ in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna. Poiché c'è adattamento, la tessione che cade sull'antenna (supposta senza perdita) è metà di quella del generatore ($R_A$ è pari a $R_g$)

Inoltre essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta):

$R_A=(pi/6)*eta*(l/lambda)^2=(3.14/6)*377Omega*(0.012m/0.375m)^2=0.202Omega$

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Dunque ora è possibile calcolare la corrente, il campo elettrico, magnetico e il vettore di Poynting:

Corrente:
$I_0=(V_g)/(2*R_A)=(8V)/(2*0.202Omega)=19.80A$

Campo elettrico:
$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)=j*((377Omega*19.80A)/2*0.375m*3000m)*(e^(-j(180/0.375)*2000))*0.0053m*u_(theta)=j*0.0176V/m$

Campo magnetico:
$h=-(1/eta)*E_0*u_(theta)xu_r=(E_(theta)/eta)*u_(phi)=(j0.0176V/m/377Omega)=4,67*10^-5A/m$

Vettore di Poynting:

$S=|E|^2/2*eta*u_r=sqrt((3.3176^2)(V^2/m^2))=0.015W/m^2$

dalle analisi dimensionali effettuate il risultato è potenzialmente corretto.
Consideriamo ora il circuito equivalente per l'antenna $R_x$ (in ricezione)



(al posto di $Z_A$ ovviamente c'è $Z_L$)

valutiamo il seguente rapporto

$(l_2/lambda)=(0.010m)/(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)

$(l_2/lambda) < < 1$ per cui è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta

$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m/2)*sin(-80°)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$

fatto ciò è possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:

$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V/m)=jj8.624*10^-5V$

anche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
La potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ è

$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$

Ora vorrei sapere se tutto ciò che ho fatto e i ragionamenti sono decenti e corretti.
Inoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?

GRAZIE.

Risposte
_luca.barletta
"Ahi":
Corrente:
$I_0=V_g/2*R_A=8V/(2*0.202Omega)=19.80A$


ricontrolla il conto, e dunque tutti i successivi


$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m/2)*sin(-80°)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$


non va bene come hai ricavato quell'angolo, riconsidera la geometria del problema; immaginati il vettore E



Inoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?


il campo irradiato, in modulo, è strettamente dipendente da $h(theta,phi)$, quindi...

Ahi1
Ho ricontrollato i calcoli. L'errore l'avevo commesso nel determinare $R_A$, perché ho considerato $l_1=0.012$ al posto di $l_1=0.013$ dunque la corrente è $I_0=16.88A$
corretto?

_luca.barletta
ok

Ahi1
Inoltre...

il campo elettrico è
$E=j0.015V/m$

magnetico
$H=j3.97*10^-5V/m$

Poynting:

$S=2.98*10^-7W/m^2$

rifacendo i calcoli con la corrente calcolata nel modo giusto.

_luca.barletta
"Ahi":
I
magnetico
$H=j3.97*10^-5V/m$


Ampere / metro

Ahi1
Quell'angolo lo ricavo usando un po' di geometria (o almeno così mi è stato detto che si fa)
Allora $theta=55°$ anche l'altro angolo vicino l'antenna ricevente è $55°$ poiché angoli alterno interni, dunque $theta'=theta+phi$

Comunque deduco che sia sbagliato il ragionamento...sbagliatissimo.

Il vettore E potrei immaginarlo perpendicolarmente all'antenna $Tx$....?

Ahi1
si $A/m$ ho fatto copia incolla per risparmiare tempo :oops: sul quaderno sta fatto bene...fortunatamente...per evitare questi errori cerco di fare sempre l'analisi dimensionale...(sperando di non sbagliare)

_luca.barletta
"Ahi":
Quell'angolo lo ricavo usando un po' di geometria (o almeno così mi è stato detto che si fa)
Allora $theta=55°$ anche l'altro angolo vicino l'antenna ricevente è $55°$ poiché angoli alterno interni, dunque $theta'=theta+phi$

Comunque deduco che sia sbagliato il ragionamento...sbagliatissimo.

Il vettore E potrei immaginarlo perpendicolarmente all'antenna $Tx$....?


Il vettore E è diretto come $u_(theta)$, quindi..

Ahi1
E' molto probabile che ciò che ho fatto sia completamente sbagliato, visto che sto dormendo e di solito mi alzo sempre alle 6 del mattino e sto facendo esercizi dalle 8. Ma la posterò comunque.
Allora io ho realizzato una cosa del genere...




Domani la correggo...per il momento puoi anche sgridarmi!! :oops:

Ciao e grazie per l'enorme pazienza!

_luca.barletta
un piccolo richiamo: perchè hai puntato così E?

Ahi1
Si infatti già sapevo di avere sbagliato.
Rivedendo stamani e rifacendo il disegno, il campo elettrico è perpendicolare alla direzione di propagazione.
Ovvero quello che ho rappresentato io chiamandolo $E$.

Ahi1
Ragionando e rivedendo...mi sono reso conto che il versore sarà $-u_(theta')$. E non è l'angolo ad essere $-80°$, e a questo ragionamento che mi volevi far giungere? (o sto sbagliando come sempre!!! :oops: )

_luca.barletta
eh sì, l'angolo di incidenza su rx non è 80°, se ho capito bene la figura

Ahi1
Ecco questa (forse visto che è fatta da me) dovrebbe essere la figura giusta.
Ma sei sicuro che non si sommino semplicemente gli angoli?


_luca.barletta
dimmi bene la rotazione di 25° rispetto a che asse si fa

Ahi1
Se tutto ciò che ho fatto è corretto...l'angolo $phi$ si dovrebbe trovare tra l'asse delle $y$ e quello delle $x$, le coordinate sono sferiche...e la rotazione va da x verso y...

_luca.barletta
bene, come immaginavo, allora quell'angolo di 25° non ti dà problemi, perchè l'antenna filiforme irradia la stessa densità di potenza su tutto l'azimuth

Ahi1
Ma quindi tutto questo che ho fatto? Non va nulla bene?



valutiamo il seguente rapporto

$(l_2/lambda)=(0.010m)/(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)

$(l_2/lambda) < < 1$ per cui è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta

$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*(-u_(theta'))=(0.01m/2)*sin(80°)*(-u_(theta'))=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$

fatto ciò è possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:

$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V/m)=jj8.624*10^-5V$

anche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
La potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ è

$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$

_luca.barletta
in $h_(rx)$ l'angolo che devi considerare è di 25°

Ahi1
Mi puoi spiegare o meglio far capire come si sceglie l'angolo per l'antenna $R_x$ cosa devo andare a guardare?

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