Antenna. Esercizio risolto

Ahi1 · 2007-01-18CET14:57:08+01:00

"\r\n\r\nSenza piano conduttore, determinare il campo elettrico, magnetico, il vettore di Poynting incidente, la tensione a vuoto sull'antenna ricevente e la potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento (in potenza $(Z_g)=(Z_A)^c $). In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed \u00e8 massimo in modulo?\r\n(dove la frequenza f \u00e8 $f=800MHz$)\r\n\r\nLa mia soluzione.\r\nCalcoliamo la lunghezza d'onda come il rapporto tra la velocit\u00e0 di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poich\u00e9 ci troviamo nel vuoto $u_p=c=(3*10^8)m\//s$ (rappresenta la velocit\u00e0 della luce:\r\n\r\n$lambda=(u_p\//f)=(c\//f)=((3*10^8)(m\//s))\//((800*10^6)(1\//s))=0.375m$ ($37.5 cm$)\r\n\r\ndall'analisi dimensionale effettuata il risultato \u00e8 potenzialmente corretto.\r\nIl campo elettrico \u00e8 rappresentato dalla seguente relazione:\r\n\r\n$E=j*((eta*I_0)\//(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)$\r\n\r\n($E$ \u00e8 un vettore e $u_(theta)$ un versore)\r\n\r\n$eta=377Omega$ ed \u00e8 l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $k=(2*pi)\//lambda$ e rappresenta in questo caso il numero d'onda e $h(theta,phi)$ \u00e8 l'altezza efficace.\r\nBisogna ricavare $I_0$ (la corrente) e $h(theta,phi)$\r\nValutiamo il rapporto\r\n\r\n$(l_1\//lambda)=(0.013m)\//(0.375)=0.034$ (\u00e8 adimensionale questo rapporto)\r\n\r\nessendo $(l_1\//lambda) < < 1$ \u00e8 possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:\r\n\r\n$h(theta,phi)=(l_1)*sin(theta)*u_(theta)=(0.013m\//2)*sin(55\u00b0)*u_(theta)=0.0053m*u_(theta)$\r\n\r\nConsideriamo il circuito equivalente per l'antenna $T_x$\r\n\r\n\r\n\r\n$(Z_g)=(Z_A^c)$ $=>$ $(Z_g)=Re(Z_A)$ e $Im(Z_A) = 0$\r\n\r\ninoltre\r\n\r\n$Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_rad+R_(loss)$ -> $Z_A=Z_R$\r\n\r\npossiamo non considerare $jX_A$ in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna. Poich\u00e9 c'\u00e8 adattamento, la tessione che cade sull'antenna (supposta senza perdita) \u00e8 met\u00e0 di quella del generatore ($R_A$ \u00e8 pari a $R_g$)\r\n\r\nInoltre essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta):\r\n\r\n$R_A=(pi\//6)*eta*(l\//lambda)^2=(3.14\//6)*377Omega*(0.012m\//0.375m)^2=0.202Omega$\r\n\r\ndall'analisi dimensionale effettuata il risultato \u00e8 potenzialmente corretto.\r\nDunque ora \u00e8 possibile calcolare la corrente, il campo elettrico, magnetico e il vettore di Poynting:\r\n\r\nCorrente:\r\n$I_0=(V_g)\//(2*R_A)=(8V)\//(2*0.202Omega)=19.80A$\r\n\r\nCampo elettrico:\r\n$E=j*((eta*I_0)\//(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)=j*((377Omega*19.80A)\//2*0.375m*3000m)*(e^(-j(180\//0.375)*2000))*0.0053m*u_(theta)=j*0.0176V\//m$\r\n\r\nCampo magnetico:\r\n$h=-(1\//eta)*E_0*u_(theta)xu_r=(E_(theta)\//eta)*u_(phi)=(j0.0176V\//m\//377Omega)=4,67*10^-5A\//m$\r\n\r\nVettore di Poynting:\r\n\r\n$S=|E|^2\//2*eta*u_r=sqrt((3.3176^2)(V^2\//m^2))=0.015W\//m^2$\r\n\r\ndalle analisi dimensionali effettuate il risultato \u00e8 potenzialmente corretto.\r\nConsideriamo ora il circuito equivalente per l'antenna $R_x$ (in ricezione)\r\n\r\n\r\n\r\n(al posto di $Z_A$ ovviamente c'\u00e8 $Z_L$)\r\n\r\nvalutiamo il seguente rapporto\r\n\r\n$(l_2\//lambda)=(0.010m)\//(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)\r\n\r\n$(l_2\//lambda) < < 1$ per cui \u00e8 possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta\r\n\r\n$h_Rx=(l_2\//2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m\//2)*sin(-80\u00b0)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$\r\n\r\ndove $theta'=theta+phi=55\u00b0+25\u00b0=80\u00b0$\r\n\r\nfatto ci\u00f2 \u00e8 possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:\r\n\r\n$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V\//m)=jj8.624*10^-5V$\r\n\r\nanche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato \u00e8 potenzialmente corretto.\r\nLa potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ \u00e8\r\n\r\n$P_T=(1\//2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$\r\n\r\nOra vorrei sapere se tutto ci\u00f2 che ho fatto e i ragionamenti sono decenti e corretti.\r\nInoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?\r\n\r\nGRAZIE."

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Ahi1

18 gen 2007, 14:57

Senza piano conduttore, determinare il campo elettrico, magnetico, il vettore di Poynting incidente, la tensione a vuoto sull'antenna ricevente e la potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento (in potenza $(Z_g)=(Z_A)^c $). In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed è massimo in modulo?
(dove la frequenza f è $f=800MHz$)

La mia soluzione.
Calcoliamo la lunghezza d'onda come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché ci troviamo nel vuoto $u_p=c=(3*10^8)m/s$ (rappresenta la velocità della luce:

$lambda=(u_p/f)=(c/f)=((3*10^8)(m/s))/((800*10^6)(1/s))=0.375m$ ($37.5 cm$)

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Il campo elettrico è rappresentato dalla seguente relazione:

$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)$

($E$ è un vettore e $u_(theta)$ un versore)

$eta=377Omega$ ed è l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $k=(2*pi)/lambda$ e rappresenta in questo caso il numero d'onda e $h(theta,phi)$ è l'altezza efficace.
Bisogna ricavare $I_0$ (la corrente) e $h(theta,phi)$
Valutiamo il rapporto

$(l_1/lambda)=(0.013m)/(0.375)=0.034$ (è adimensionale questo rapporto)

essendo $(l_1/lambda) < < 1$ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:

$h(theta,phi)=(l_1)*sin(theta)*u_(theta)=(0.013m/2)*sin(55°)*u_(theta)=0.0053m*u_(theta)$

Consideriamo il circuito equivalente per l'antenna $T_x$

$(Z_g)=(Z_A^c)$ $=>$ $(Z_g)=Re(Z_A)$ e $Im(Z_A) = 0$

inoltre

$Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_rad+R_(loss)$ -> $Z_A=Z_R$

possiamo non considerare $jX_A$ in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna. Poiché c'è adattamento, la tessione che cade sull'antenna (supposta senza perdita) è metà di quella del generatore ($R_A$ è pari a $R_g$)

Inoltre essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta):

$R_A=(pi/6)*eta*(l/lambda)^2=(3.14/6)*377Omega*(0.012m/0.375m)^2=0.202Omega$

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Dunque ora è possibile calcolare la corrente, il campo elettrico, magnetico e il vettore di Poynting:

Corrente:
$I_0=(V_g)/(2*R_A)=(8V)/(2*0.202Omega)=19.80A$

Campo elettrico:
$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)=j*((377Omega*19.80A)/2*0.375m*3000m)*(e^(-j(180/0.375)*2000))*0.0053m*u_(theta)=j*0.0176V/m$

Campo magnetico:
$h=-(1/eta)*E_0*u_(theta)xu_r=(E_(theta)/eta)*u_(phi)=(j0.0176V/m/377Omega)=4,67*10^-5A/m$

Vettore di Poynting:

$S=|E|^2/2*eta*u_r=sqrt((3.3176^2)(V^2/m^2))=0.015W/m^2$

dalle analisi dimensionali effettuate il risultato è potenzialmente corretto.
Consideriamo ora il circuito equivalente per l'antenna $R_x$ (in ricezione)

(al posto di $Z_A$ ovviamente c'è $Z_L$)

valutiamo il seguente rapporto

$(l_2/lambda)=(0.010m)/(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)

$(l_2/lambda) < < 1$ per cui è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta

$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m/2)*sin(-80°)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$

fatto ciò è possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:

$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V/m)=jj8.624*10^-5V$

anche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
La potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ è

$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$

Ora vorrei sapere se tutto ciò che ho fatto e i ragionamenti sono decenti e corretti.
Inoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?

GRAZIE.

Risposte

_luca.barletta

20 gen 2007, 10:47

una cosa: l'antenna rx giace su un piano parallelo a xy ?

Ahi1

20 gen 2007, 10:53

Molto probabilmente sì, perché?

_luca.barletta

20 gen 2007, 10:57

ok, niente volevo una conferma; devi calcolare la componente di campo elettrico parallela alla direzione dell'antenna filiforme di ricezione, perchè come sai l'antenna filiforme è sensibile solo alle componenti di campo ad esse parallele

Ahi1

20 gen 2007, 11:02

E se l'antenna rx non giace su un piano parallelo a xy ?

_luca.barletta

20 gen 2007, 11:07

il discorso è sempre lo stesso, indipendentemente come sia posta rx

Ahi1

20 gen 2007, 11:11

(sono di coccio)

Quando hai visto lo svolgimento dell'esercizio, come ti sei accorto che 25° era inutile prenderlo?

_luca.barletta

20 gen 2007, 11:19

prova a calcolare la componente di campo lungo la direzione dall'antenna rx; io faccio troppe semplificazioni a mente perchè ormai sono abituato, tu invece devi cominciare a prendere confidenza facendo conti

Ahi1

21 gen 2007, 13:04

Le componenti sono:

$E_z=E*sin35°$ e $E_x=E*cos55°$

ora per capire che devo fare?

_luca.barletta

21 gen 2007, 15:16

sarebbe $E_z=Ecos35°$, comunque dovevi calcolare la componente di campo lungo l'antenna rx

Ahi1

21 gen 2007, 19:23

https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=14903

ma in questo esercizio che avevo postato l'altra volta????

Quì il professore lo calcolò come $theta'=theta+phi$

mi puoi scrivere i passaggi che dovrei fare perfavore, perché non mi ci sto capendo più nulla.

Grazie.

_luca.barletta

21 gen 2007, 19:36

allora, se così fosse l'antenna rx non giace su un piano parallelo a xy... se giacesse su questo fantomatico piano le due antenne sarebbero ortogonali e quindi rx non riceverebbe nulla!
invece da quel che ha fatto il tuo prof capisco che in realtà rx è posta in verticale e successivamente ruotata

Ahi1

21 gen 2007, 20:49

Quell'angolo mi sta rovinando la vita.

Si effettivamente ho sbagliato io a dirti tutto, completamente tutto, non ho fatto molta attenzione e mi sono complicato stupidamente la vita...

GRAZIE...

_luca.barletta

21 gen 2007, 21:02

i soliti trompe l'oeil prospettici

fa niente, almeno abbiamo discusso anche del caso di antenne ortogonali

Ahi1

21 gen 2007, 21:59

Avrei preferito non discuterne!!!

Quell'angolo per me sarà sempre la somma di $theta+phi$ non posso rovinarmi la vita per un angolo!!

Ora vedo come risolvere l'ultimo punto...

Ahi1

22 gen 2007, 20:55

Ok...ormai lo avevo capito, non faremo mai esercizi così difficili...saranno semplici...ecco spiegato $theta'=theta+phi$ dunque nessun calcolo assurdo, fortunatamente, a saperlo prima...

Per quanto riguarda l'ultimo punto il campo elettrico in modulo è strettamente dipende dall'altezza efficace per cui uso la seguente relazione...

$V=(h_r)*(|E|)$

Sto procedendo per la via giusta?

Ma poi come devo procedere?

_luca.barletta

23 gen 2007, 08:29

sì, la via è giusta, per calcolare la potenza trasferita al carico ricorda che sei in condizioni di adattamento

Ahi1

23 gen 2007, 10:22

Stiamo parlando entrambi di questo punto:

In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed è massimo in modulo?

Quindi calcolo la tensione a vuoto

$V=(h_r)*|E|$

ma considerando l'altezza efficce dell'antenna trasmittente giusto?