Antenna. Esercizio risolto

[Ahi1]

Senza piano conduttore, determinare il campo elettrico, magnetico, il vettore di Poynting incidente, la tensione a vuoto sull'antenna ricevente e la potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento (in potenza $(Z_g)=(Z_A)^c $). In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed è massimo in modulo?
(dove la frequenza f è $f=800MHz$)

La mia soluzione.
Calcoliamo la lunghezza d'onda come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché ci troviamo nel vuoto $u_p=c=(3*10^8)m/s$ (rappresenta la velocità della luce:

$lambda=(u_p/f)=(c/f)=((3*10^8)(m/s))/((800*10^6)(1/s))=0.375m$ ($37.5 cm$)

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Il campo elettrico è rappresentato dalla seguente relazione:

$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)$

($E$ è un vettore e $u_(theta)$ un versore)

$eta=377Omega$ ed è l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $k=(2*pi)/lambda$ e rappresenta in questo caso il numero d'onda e $h(theta,phi)$ è l'altezza efficace.
Bisogna ricavare $I_0$ (la corrente) e $h(theta,phi)$
Valutiamo il rapporto

$(l_1/lambda)=(0.013m)/(0.375)=0.034$ (è adimensionale questo rapporto)

essendo $(l_1/lambda) < < 1$ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:

$h(theta,phi)=(l_1)*sin(theta)*u_(theta)=(0.013m/2)*sin(55°)*u_(theta)=0.0053m*u_(theta)$

Consideriamo il circuito equivalente per l'antenna $T_x$



$(Z_g)=(Z_A^c)$ $=>$ $(Z_g)=Re(Z_A)$ e $Im(Z_A) = 0$

inoltre

$Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_rad+R_(loss)$ -> $Z_A=Z_R$

possiamo non considerare $jX_A$ in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna. Poiché c'è adattamento, la tessione che cade sull'antenna (supposta senza perdita) è metà di quella del generatore ($R_A$ è pari a $R_g$)

Inoltre essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta):

$R_A=(pi/6)*eta*(l/lambda)^2=(3.14/6)*377Omega*(0.012m/0.375m)^2=0.202Omega$

dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Dunque ora è possibile calcolare la corrente, il campo elettrico, magnetico e il vettore di Poynting:

Corrente:
$I_0=(V_g)/(2*R_A)=(8V)/(2*0.202Omega)=19.80A$

Campo elettrico:
$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)=j*((377Omega*19.80A)/2*0.375m*3000m)*(e^(-j(180/0.375)*2000))*0.0053m*u_(theta)=j*0.0176V/m$

Campo magnetico:
$h=-(1/eta)*E_0*u_(theta)xu_r=(E_(theta)/eta)*u_(phi)=(j0.0176V/m/377Omega)=4,67*10^-5A/m$

Vettore di Poynting:

$S=|E|^2/2*eta*u_r=sqrt((3.3176^2)(V^2/m^2))=0.015W/m^2$

dalle analisi dimensionali effettuate il risultato è potenzialmente corretto.
Consideriamo ora il circuito equivalente per l'antenna $R_x$ (in ricezione)



(al posto di $Z_A$ ovviamente c'è $Z_L$)

valutiamo il seguente rapporto

$(l_2/lambda)=(0.010m)/(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)

$(l_2/lambda) < < 1$ per cui è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta

$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m/2)*sin(-80°)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$

dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$

fatto ciò è possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:

$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V/m)=jj8.624*10^-5V$

anche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
La potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ è

$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$

Ora vorrei sapere se tutto ciò che ho fatto e i ragionamenti sono decenti e corretti.
Inoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?

GRAZIE.

[Ahi1]

Ma pensandoci, per risolvere l'ultimo punto non devo utilizzare le condizioni di direttività e la formula di Friis?

quindi devo calcolarmi la direttività per l'antenna trasmittente e ricevente, la potenza consegnata al carico poi la potenza trasmessa con le direttività attraverso la formula di Friis ...

[_luca.barletta]

i ragionamenti si possono fare sia sul campo che sulla densità di potenza, il risultato è sempre quello

[Ahi1]

Ma la potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento è quella che ho calcolato o ho sbagliato?

$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=(1/8)*(|V_0|/R_A)=39.60Watt$

[_luca.barletta]

manca un quadrato su $|V_0|$, per il resto è giusto

[Ahi1]

si è così $P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=(1/8)*(|V_0|^2/R_A)=39.60Watt$

però un mio amico mi ha fatto venire un dubbio, dicendo che $R_A$ non sarà più lo stesso, ma lo devo ricalcolare usando la lunghezza dell'antenna ricevente.

Chi sbaglia? E perché?

[_luca.barletta]

$R_A=(pi/6)*eta*(l/lambda)^2$

quindi devi considerare la lunghezza dell'antenna ricevente

[Ahi1]

Quindi sbagliavo io...e devo considerare in quella formula $l_2=10mm$ giusto?

[_luca.barletta]

giusto

[Ahi1]

In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed è massimo in modulo?

Poi per quest'ultimo punto pensavo (ragionando su quello che mi hai detto) che il campo si annulla per $theta=0+2k*pi$...mentre è massimo per $90°+2*k*pi$
O il ragionamento è un altro?

[_luca.barletta]

il campo si annulla per $theta=0$ e $theta=pi$, è massimo per $theta=pi/2$. Non mettere i multipli dell'angolo giro, di solito con le coordinate spaziali si ragiona da 0 a 2pi

[Ahi1]

Ma siamo sicuri sia una cosa così semplice?
Comunque basta per completare l'ultimo punto o dovrei aggiungere qualcos'altro come commento?

[_luca.barletta]

sì, come vedi le cose sono molto semplici; per completare l'ultimo punto devi anche dire che $0<=phi<2pi$, per mettere in evidenza che l'antenna è omnidirezionale sull'azimuth

[Ahi1]

Ma sbaglio, o stamattina quì c'era un post con un link che non avevo capito a che serviva..

Comunque ma con il piano conduttore devo applicare il teorema delle immagini, come? A cosa devo stare accorto nell'applicarlo?

Devo costruire un antenna identica a quella trasmittente e
quindi devo calcolarmi un fattore $Q=1+e^(-2jkdcos(theta))$ se l'antenna è verticale a distanza $d$ dal suolo, altrimenti si utilizza un'altra formula...

[_luca.barletta]

ho provveduto a far rimuovere lo spam...

nell'applicare il teorema delle immagini devi stare attento al verso in cui scorre la corrente.
Se ipotizzi un dipolo hertziano diretto verso l'alto a distanza d dal piano, la sua immagine sarà ancora un dipolo hertziano diretto verso l'alto a distanza d dal piano di massa. Se il contributo del dipolo reale è 1, allora il dipolo immagine dà un contributo di fase pari a $k*2dcostheta$, basta fare un disegnino della situazione, infatti l'onda tem che parte dal dipolo immagine percorre un tratto di strada in più pari a $2dcostheta$

[Ahi1]

Per non incasinare ancora di più questo post, mi sposto ed ho inserito un nuovo esercizio in https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=15444...

[Erme6]

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[Bandit1]

mi iscrivo, per piacere non cancellatelo