Spazi quoziente di Hausdorff
Buongiorno a tutti! ho un dubbio sugli spazi di Hausdorff: dato uno spazio X di Hausdorff e un suo sottospazio S chiuso, lo spazio quoziente X/S è di Hausdorff? Io direi di no in quanto se prendo due elementi x e y appartenenti a S la loro classe di equivalenza in X/S è la stessa e coincide con tutto S. Quindi non è possibile avere due aperti disgiunti U e U' t.c U contenga x, U' contenga y e la loro intersezione sia disgiunta.
L'unica possibilità affinchè questo sia vero è che S sia costituito da un unico punto e in tal caso X/S verrebbe a coincidere con X.
Cosa ne pensate? Grazie in anticipo!
L'unica possibilità affinchè questo sia vero è che S sia costituito da un unico punto e in tal caso X/S verrebbe a coincidere con X.
Cosa ne pensate? Grazie in anticipo!
Risposte
Vi ringrazio veramente tanto per le accuratissime risposte.
@dissonance: ho capito molto bene quello che vuoi dire, l'esempio di $ RRk $ che hai utilizzato tu è proprio quello che la mia prof ha utilizzato per dimostrare che il fatto che uno spazio sia di Hausdorff non implica che sia regolare, ovvero $ T2 $ non implica $ T3 $.
Quindi nel caso di $ RRk $ non si possono avere due aperti $ U $ e $ V $ t.c $ 0 in U $, $ k in V $ con intersezione vuota poichè, essendo $ U $ aperto, $ EE a>0 t.c (0-a, 0+a) sub U $ ed esisterà per forza $ n in NN t.c 1/n in U $. Di conseguenza $ U nn V != O/ $. Può andare come spiegazione?
@j18eos: purtroppo non conosco ancora gli spazi di Fréchet! :(
@dissonance: ho capito molto bene quello che vuoi dire, l'esempio di $ RRk $ che hai utilizzato tu è proprio quello che la mia prof ha utilizzato per dimostrare che il fatto che uno spazio sia di Hausdorff non implica che sia regolare, ovvero $ T2 $ non implica $ T3 $.
Quindi nel caso di $ RRk $ non si possono avere due aperti $ U $ e $ V $ t.c $ 0 in U $, $ k in V $ con intersezione vuota poichè, essendo $ U $ aperto, $ EE a>0 t.c (0-a, 0+a) sub U $ ed esisterà per forza $ n in NN t.c 1/n in U $. Di conseguenza $ U nn V != O/ $. Può andare come spiegazione?
@j18eos: purtroppo non conosco ancora gli spazi di Fréchet! :(
"G.G":Sono gli spazi [tex]$T_1$[/tex] o di Fréchet!
...@j18eos: purtroppo non conosco ancora gli spazi di Fréchet!
Eccoti la definizione (click!), ed aggiungo che [tex]$T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$[/tex]. L'importante è dimostrare che non sia [tex]$T_2$[/tex] o di Hausdorff.
"dissonance":
Supponiamo che [tex]X[/tex] sia uno spazio topologico di Hausdorff ma non regolare (o [tex]T3[/tex]), ovvero che esistano un chiuso [tex]K \subset X[/tex] e un punto [tex]x \in X[/tex] che non possono essere separati con aperti:
Allora [tex]X / K[/tex] non è uno spazio di Hausdorff.
Questo mi fa venire in mente un esercizio del Manetti di sapore analogo: se [tex]X[/tex] è di Hausdorff, e [tex]K[/tex] è compatto, allora [tex]X/K[/tex] è di Hausdorff.
Magari può tornare utile
@j18eos: Oooops... allora li conosco eccome! solo che non li avevo chiamati così... 
"alvinlee88":
Questo mi fa venire in mente un esercizio del Manetti di sapore analogo: se [tex]X[/tex] è di Hausdorff, e [tex]K[/tex] è compatto, allora [tex]X/K[/tex] è di Hausdorff.
Magari può tornare utile
Ciao alvin
Ti ringrazio per il tuo intervento, l'esercizio del Manetti è proprio molto utile. Mi piacerebbe dimostrarlo, tu hai qualche idea su come procedere?
Ho letto le pagine relative sul Manetti, ma sono abbastanza ermetiche
Se qualcuno ha qualche hint da dare è il benvenuto
Grazie.
@Paolo: Una proprietà molto utile degli spazi di Hausdorff è che essi separano i punti dai compatti. Ovvero, se [tex]X[/tex] è uno spazio di Hausdorff, [tex]p[/tex] è un punto e [tex]K[/tex] è un compatto di [tex]X[/tex] allora esistono aperti [tex]U, V \subset X[/tex] tali che [tex]p \in U, K \subset V[/tex] e [tex]U \cap V = \varnothing[/tex].
Hai mai dimostrato che ogni spazio compatto e di Hausdorff è regolare? Se si, hai usato proprio questa proprietà.
Hai mai dimostrato che ogni spazio compatto e di Hausdorff è regolare? Se si, hai usato proprio questa proprietà.
Grazie della risposta, dissonance.
Non conoscevo questa proprietà degli spazi $T2$. Me la segno, immagino sia utile per l'esercizio in questione (che - confesso - non mi pare alla mia portata: mi sa che mi mancano un po' di cose...).
Appunto, non ho visto gli spazi regolari, non so che cosa siano.
Continuo a pensarci, speriamo di riuscire a tirare fuori qualcosa di sensato.
Grazie
P.S. Per la cronaca, questa proprietà risolve comunque il problema che mi ero posto qualche post fa: se prendiamo $X=[0,2]$ e identifichiamo $0,1,2$, il quoziente è di Hausdorff perchè $X$ è di Hausdorff e ${0,1,2}$ è finito, e dunque compatto.
"dissonance":
@Paolo: Una proprietà molto utile degli spazi di Hausdorff è che essi separano i punti dai compatti. Ovvero, se [tex]X[/tex] è uno spazio di Hausdorff, [tex]p[/tex] è un punto e [tex]K[/tex] è un compatto di [tex]X[/tex] allora esistono aperti [tex]U, V \subset X[/tex] tali che [tex]p \in U, K \subset V[/tex] e [tex]U \cap V = \varnothing[/tex].
Non conoscevo questa proprietà degli spazi $T2$. Me la segno, immagino sia utile per l'esercizio in questione (che - confesso - non mi pare alla mia portata: mi sa che mi mancano un po' di cose...).
"dissonance":
Hai mai dimostrato che ogni spazio compatto e di Hausdorff è regolare? Se si, hai usato proprio questa proprietà.
Appunto, non ho visto gli spazi regolari, non so che cosa siano.
Continuo a pensarci, speriamo di riuscire a tirare fuori qualcosa di sensato.
Grazie
P.S. Per la cronaca, questa proprietà risolve comunque il problema che mi ero posto qualche post fa: se prendiamo $X=[0,2]$ e identifichiamo $0,1,2$, il quoziente è di Hausdorff perchè $X$ è di Hausdorff e ${0,1,2}$ è finito, e dunque compatto.
"Paolo90":Si? E che altro?
immagino sia utile per l'esercizio in questione (che - confesso - non mi pare alla mia portata: mi sa che mi mancano un po' di cose...).
Dai, che adesso hai proprio tutto. Visualizzati il quoziente $X // K$: è fatto dai punti di $X - K$ e poi da $K$ che adesso è diventato un unico punto, diciamo $[K]$. Allora, se $p, q \ne [K]$, si possono separare con... mentre se $q=[K]$ invece... "dissonance":Lo vedrai più avanti allora, alla voce "assiomi di separazione".
Appunto, non ho visto gli spazi regolari, non so che cosa siano.
P.S. Per la cronaca, questa proprietà risolve comunque il problema che mi ero posto qualche post fa: se prendiamo $X=[0,2]$ e identifichiamo $0,1,2$, il quoziente è di Hausdorff perchè $X$ è di Hausdorff e ${0,1,2}$ è finito, e dunque compatto.Yes.
"dissonance":Si? E che altro?
[quote="Paolo90"]immagino sia utile per l'esercizio in questione (che - confesso - non mi pare alla mia portata: mi sa che mi mancano un po' di cose...).
Dai, che adesso hai proprio tutto. Visualizzati il quoziente $X // K$: è fatto dai punti di $X - K$ e poi da $K$ che adesso è diventato un unico punto, diciamo $[K]$. Allora, se $p, q \ne [K]$, si possono separare con... mentre se $q=[K]$ invece... [/quote]Ohoh
Tanto per cambiare, annegavo in una pozzanghera.
Mmm, sì, forse ci sono. Se $p$ e $q$ sono punti distinti del quoziente, si possono avere due casi:
[*:28yu3m0s] se $p!=[K]$ e $q!=[K]$, allora $p,q$ sono la proiezione di due punti distinti $p' !=q' in X-K subset X$; poichè $X$ è Hausdorff, esistono aperti saturi disgiunti che separano $p$ e $q$; essendo saturi, la loro proiezione sul quoziente è aperta, quindi ho trovato due aperti di $X//K$ che separano i punti $p,q$. [/*:m:28yu3m0s]
[*:28yu3m0s] se uno dei due punti del quoziente è $[K]$ (mettiamo $q=[K]$), $p$ e $q$ si possono comunque separare per la proprietà che hai citato tu. Infatti, esistono due aperti $U$ e $V$ tali che $p in U$ e $K subset V$, con $U nn V = emptyset$. Da osservare che gli aperti $U$ e $V$ sono saturi, quindi la loro proiezione è aperta (che è proprio quanto si voleva!). [/*:m:28yu3m0s][/list:u:28yu3m0s]
Ok?
Mamma mia, avevo proprio il salame davanti agli occhi: sarà che sono ancora un po' rintronato dalle feste
"dissonance":Lo vedrai più avanti allora, alla voce "assiomi di separazione".[/quote]
[quote="Paolo90"]Appunto, non ho visto gli spazi regolari, non so che cosa siano.
Capito.
Ah, GRAZIE mille, dissonance, come al solito.
Si, è giusto, solo una piccolissima precisazione:
Perché? Per ipotesi esistono due aperti disgiunti che separano $p$ e $q$, chi ti dice che puoi prenderli saturi? (La risposta è facilissima).
[se $p, q \notin K$]esistono aperti saturi disgiunti che separano p e q
Perché? Per ipotesi esistono due aperti disgiunti che separano $p$ e $q$, chi ti dice che puoi prenderli saturi? (La risposta è facilissima).
E dato che ci siamo, prova anche a dimostrare che in un T2 puoi effettivamente separare i punti dai compatti ( prova a ripensare alla dimostrazione che un comptatto in un T2 è chiuso...)
"dissonance":
Si, è giusto, solo una piccolissima precisazione:
[se $p, q \notin K$]esistono aperti saturi disgiunti che separano p e q
Perché? Per ipotesi esistono due aperti disgiunti che separano $p$ e $q$, chi ti dice che puoi prenderli saturi? (La risposta è facilissima).
Pensandola in termini di relazione di equivalenza, un aperto $U subset X$ si dice saturo se, qualora $x in U$, allora $[x] subseteq U$ (cioè, l'aperto è saturo se quando contiene un punto allora contiene tutta la classe di equivalenza di quel punto).
Se $p$ e $q$ non stanno in $K$, sono in relazione solo con sé stessi, vale a dire: $
={p}$ e $[q]={q}$. Da ciò segue che due aperti qualsiasi che contengono l'uno $p$ e l'altro $q$ sono necessariamente saturi.
In definitiva, possiamo affermare che gli aperti saturi di $X$ sono tutti e soli gli aperti che o sono disgiunti da $K$ oppure lo contengono (mamma mia, non è che sia il massimo della chiarezza, ma spero si sia capito).
________________________________________________
"alvinlee88":
E dato che ci siamo, prova anche a dimostrare che in un T2 puoi effettivamente separare i punti dai compatti ( prova a ripensare alla dimostrazione che un comptatto in un T2 è chiuso...)
Sì, anche a me è venuta in mente la dimostrazione di cui tu parli.
Vediamo un po'.
Sia $X$ uno spazio T2, $K subset X$ un sottoinsieme compatto. L'idea base è questa: prendiamo un $p in X setminus K$ e osserviamo che per ogni $x in K$ si ha $x != p$; essendo X uno spazio T2, esistono $U_x$, $V_p$ aperti disgiunti (con $x in U_x$ e $p in V_p$).
Adesso si tratta di iterare opportunamente questa osservazione.
Noto che la famiglia ${U_x}_{x in K}$ costituisce un ricoprimento di $K$: $K subseteq uuu_(x in K) U_x$. $K$ è compatto, quindi posso estrarre un sottoricoprimento finito, chiamamolo $U_(x_1), ... , U_(x_n)$. Per ognuno di questi $x_i$, esiste (per quanto detto sopra) un aperto che contiene $p$ e che è disgiunto da $U_(x_i)$: chiamiamo questi aperti $V_i$. Allora, $V : = nnn_i V_i$ è aperto perchè intersezione finita di aperti e contiene $p$; d'altra parte, per come è stato costruito, $V$ è disgiunto da tutti gli $U_x_i$ e quindi anche dalla unione $uuu_(i=1)^(n) U_(x_i)$ (se per assurdo, esiste un $k$ tale per cui $V nn U_x_k != emptyset$ ho che tutti i $V_i$ intersecano $U_x_k$, in particolare $U_x_k nn V_k != emptyset$, che è assurdo).
Quindi V è disgiunto dall'unione degli $U_i$ che è aperta e ricopre $K$. Ma allora abbiamo finito: abbiamo trovato un aperto ($V$) che contiene $p$ e un aperto ($U=uuu_(i=1)^(n) U_(x_i)$ che contiene $K$) e $U nn V = emptyset$, come volevamo.
Ok?
Grazie mille per l'aiuto, siete stati davvero molto gentili, come sempre.
"Paolo90":Ma si, esatto, è sufficiente dire questa frase. Non credo sia il caso di scendere troppo nel dettaglio. E quindi se $p, q \notin K$, presi due aperti separanti $U, V$, i due aperti $U-K, V-K$ sono ancora separanti e disgiunti da $K$ quindi saturi.
In definitiva, possiamo affermare che gli aperti saturi di $X$ sono tutti e soli gli aperti che o sono disgiunti da $K$ oppure lo contengono (mamma mia, non è che sia il massimo della chiarezza, ma spero si sia capito).
Sia $X$ uno spazio T2, $K subset X$ un sottoinsieme compatto. L'idea base è questa: prendiamo un $p in X setminus K$ e osserviamo che per ogni $x in K$ si ha $x != p$; essendo X uno spazio T2, esistono $U_x$, $V_p$ aperti disgiunti (con $x in U_x$ e $p in V_p$). [...]Esatto.
"dissonance":
Ma si, esatto, è sufficiente dire questa frase. Non credo sia il caso di scendere troppo nel dettaglio. E quindi se $p, q \notin K$, presi due aperti separanti $U, V$, i due aperti $U-K, V-K$ sono ancora separanti e disgiunti da $K$ quindi saturi.
Magari qui è necessario dire che [tex]K[/tex] è un chiuso (ovviamente non lo dico per te, dissonance, ma per paolo
)
Si si, ho capito e vi ringrazio molto per l'aiuto.
Comunque permettetemi di dire che quella è una proprietà davvero forte
E poi discuterne con voi, così... Fighissimo, davvero
Grazie ancora.
Comunque permettetemi di dire che quella è una proprietà davvero forte
E poi discuterne con voi, così... Fighissimo, davvero
Grazie ancora.
Riesumo questo topic perchè vorrei capire a fondo questo argomento. Ho letto tutta la discussione e ho cercato di risolvere un esercizio per verificare di aver compreso bene.
Il testo dell'esercizio e' il seguente:
Sono dati in $R$ lo spazio topologico $X=[-3,-1)uu(1,3]$ e il sottospazio $A={x in R | -2<=x<=2}$, con topologia euclidea. Sia $Y=X/A$. Devo dire se Y e' connesso, compatto, di Hausdorff.
Ora, intuitivamente quozientando X ottengo $[-3,-2)uu{P}uu(2,3]$ dove P contiene tutti i punti compresi tra -2 e 2 (estremi compresi). Dunque, posso dire che Y non e' connesso, in quanto "formato da tre pezzi", non e' compatto, in quanto [-3,-2) e (2,3] non sono chiusi e, quindi, non sono compatti.
Infine, io direi che non e' nemmeno spazio di Hausdorff perche' se prendo due punti qualsiasi della classe di equivalenza definita da A non esistono due intorni di tali punti che siano disgiunti: infatti tutti questi punti "collassano" in P (e quindi gli intorni andrebbero a coincidere).
Il ragionamento che ho seguito e' corretto?
Grazie!
Edit: edito il messaggio, perche' mi sono accorta di aver detto una grande castroneria: riguardo all'essere spazio di Hausdorff, ovviamente, non posso ragionare prendendo come punti nello spazio quoziente due punti della stessa classe di equivalenza, perche' non ha assolutamente senso. Provo a ricapitolare:
Il quoziente rispetto all'insieme A fa in modo che tutti i punti esterni rimangano come sono, mentre quelli interni vengono identificati ad un punto.
Uno spazio è di hausdorff se presi due punti x,y esistono due intorni U e V dei due punti la cui intersezione è vuota.
Nel caso in cui, per esempio, i punti -2 e 2 fossero esclusi da A, questo non funzionerebbe se in X/A prendessi come x un punto sulla frontiera di A (-2 oppure 2) e come y il punto immagine di A.
Infatti, per definizione di topologia quoziente, ogni controimmagine di un intorno aperto del punto di frontiera in X/A è un intorno aperto in X che contiene x.
Ma per definizione di punto di frontiera in ogni suo intorno aperto è contenuto almeno un punto di A, e quindi nello spazio quoziente in un intorno di x si troverà sempre y, ovvero lo spazio non sarebbe di Hausdorff.
Nel mio caso, pero', i punti -2 e 2 sono inclusi in A, quindi posso sempre trovare due intorni disgiunti di x e y presi nello spazio quoziente. Gli unici punti che potrebbero essere problematici, a questo punto, sono -3 e 3.
Sono sulla strada giusta? Qualcuno puo' darmi una dritta?
Il testo dell'esercizio e' il seguente:
Sono dati in $R$ lo spazio topologico $X=[-3,-1)uu(1,3]$ e il sottospazio $A={x in R | -2<=x<=2}$, con topologia euclidea. Sia $Y=X/A$. Devo dire se Y e' connesso, compatto, di Hausdorff.
Ora, intuitivamente quozientando X ottengo $[-3,-2)uu{P}uu(2,3]$ dove P contiene tutti i punti compresi tra -2 e 2 (estremi compresi). Dunque, posso dire che Y non e' connesso, in quanto "formato da tre pezzi", non e' compatto, in quanto [-3,-2) e (2,3] non sono chiusi e, quindi, non sono compatti.
Infine, io direi che non e' nemmeno spazio di Hausdorff perche' se prendo due punti qualsiasi della classe di equivalenza definita da A non esistono due intorni di tali punti che siano disgiunti: infatti tutti questi punti "collassano" in P (e quindi gli intorni andrebbero a coincidere).
Il ragionamento che ho seguito e' corretto?
Grazie!
Edit: edito il messaggio, perche' mi sono accorta di aver detto una grande castroneria: riguardo all'essere spazio di Hausdorff, ovviamente, non posso ragionare prendendo come punti nello spazio quoziente due punti della stessa classe di equivalenza, perche' non ha assolutamente senso. Provo a ricapitolare:
Il quoziente rispetto all'insieme A fa in modo che tutti i punti esterni rimangano come sono, mentre quelli interni vengono identificati ad un punto.
Uno spazio è di hausdorff se presi due punti x,y esistono due intorni U e V dei due punti la cui intersezione è vuota.
Nel caso in cui, per esempio, i punti -2 e 2 fossero esclusi da A, questo non funzionerebbe se in X/A prendessi come x un punto sulla frontiera di A (-2 oppure 2) e come y il punto immagine di A.
Infatti, per definizione di topologia quoziente, ogni controimmagine di un intorno aperto del punto di frontiera in X/A è un intorno aperto in X che contiene x.
Ma per definizione di punto di frontiera in ogni suo intorno aperto è contenuto almeno un punto di A, e quindi nello spazio quoziente in un intorno di x si troverà sempre y, ovvero lo spazio non sarebbe di Hausdorff.
Nel mio caso, pero', i punti -2 e 2 sono inclusi in A, quindi posso sempre trovare due intorni disgiunti di x e y presi nello spazio quoziente. Gli unici punti che potrebbero essere problematici, a questo punto, sono -3 e 3.
Sono sulla strada giusta? Qualcuno puo' darmi una dritta?
Sì, il quoziente è formato da "3 pezzi", ma non hai giustificato appieno il fatto che non sia connesso; ammesso che non lo sia! 
Hai perfettamente ragione, j18eos. In effetti, ripensandoci, sembrerebbe proprio che sia connesso.
Uno spazio topologico non vuoto X si dice connesso se l'unica coppia di sottoinsiemi aperti disgiunti la cui unione sia X è {Ø,X}.
Ora, lo spazio quoziente è connesso in quanto non esistono due aperti disgiunti, diversi da Ø e Y, la cui unione dà tutto l'insieme Y. Gli unici casi possibili si avrebbero, infatti, considerando Y=[−3,−2)∪[2,3] (prendendo, quindi, 2 come punto rappresentante di A) oppure Y=[−3,−2]∪(2,3] (prendendo, quindi, -2 come punto rappresentante di A), ma in entrambi i casi Y e' l'unione di un semiaperto con un chiuso, dunque non va bene.
Giusto? Il resto dell'esercizio, invece, come ti sembra?
Uno spazio topologico non vuoto X si dice connesso se l'unica coppia di sottoinsiemi aperti disgiunti la cui unione sia X è {Ø,X}.
Ora, lo spazio quoziente è connesso in quanto non esistono due aperti disgiunti, diversi da Ø e Y, la cui unione dà tutto l'insieme Y. Gli unici casi possibili si avrebbero, infatti, considerando Y=[−3,−2)∪[2,3] (prendendo, quindi, 2 come punto rappresentante di A) oppure Y=[−3,−2]∪(2,3] (prendendo, quindi, -2 come punto rappresentante di A), ma in entrambi i casi Y e' l'unione di un semiaperto con un chiuso, dunque non va bene.
Giusto? Il resto dell'esercizio, invece, come ti sembra?
Sì il quoziente è connesso, se vuoi ragionare in modo "pulito" basta ragionare per assurdo e con la proiezione canonica \(\pi\)!
Stesso discorso per la compattezza(*), altrimenti non saprei come risolvere questo punto.
(*)[ot]Tra l'altro, questa tecnica è un ingrediente per risolvere questo mio perfido esercizio![/ot]
Stesso discorso per la compattezza(*), altrimenti non saprei come risolvere questo punto.
(*)[ot]Tra l'altro, questa tecnica è un ingrediente per risolvere questo mio perfido esercizio![/ot]
Per completezza, prova a dimostrare che lo spazio quoziente è omeomorfo a [0,2] (come avevamo fatto nell'altro esercizio ma la funzione in questo caso è molto più semplice)
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