Spazi quoziente di Hausdorff
Buongiorno a tutti! ho un dubbio sugli spazi di Hausdorff: dato uno spazio X di Hausdorff e un suo sottospazio S chiuso, lo spazio quoziente X/S è di Hausdorff? Io direi di no in quanto se prendo due elementi x e y appartenenti a S la loro classe di equivalenza in X/S è la stessa e coincide con tutto S. Quindi non è possibile avere due aperti disgiunti U e U' t.c U contenga x, U' contenga y e la loro intersezione sia disgiunta.
L'unica possibilità affinchè questo sia vero è che S sia costituito da un unico punto e in tal caso X/S verrebbe a coincidere con X.
Cosa ne pensate? Grazie in anticipo!
L'unica possibilità affinchè questo sia vero è che S sia costituito da un unico punto e in tal caso X/S verrebbe a coincidere con X.
Cosa ne pensate? Grazie in anticipo!
Risposte
Considerando l'omeomorfismo che manda: $t -> (t-1)$ se $t in (2,3]$, $t -> 1$ se $t in [-2,2]$ e $t -> (t+3)$ se $t in [-3,-2)$ puo' andare?
Comunque, dimostrato questo punto, l'esercizio e' di semplice svolgimento considerando che due spazi omeomorfi godono delle stesse proprietà topologiche (tra cui connessione, compattezza, separabilita'): dunque lo spazio quoziente risulta connesso, compatto e T2.
E' corretto?
P.s. pero', intuitivamente, mi rimane un piccolo dubbio sul fatto che lo spazio quoziente sia omeomorfo a [0,2]; riguardo al punto 1, in cui nello spazio omeomorfo al quoziente andrebbero a coincidere tutti i punti compresi tra -2 e 2: il fatto che 1 non sia incluso in X non da' problemi?
Il mio pensiero e' stato che, dato che 1 e' equivalente a punti interni ad X, allora 1 puo' essere incluso senza problemi nello spazio omeomorfo. Mi confermate? Non so se mi sono spiegata bene...per chiarirmi un po' il concetto mi sono immaginata che l'omeomorfismo agisca come se un filo di lana (che rappresenta R) venisse raggomitolato nel punto 1.
Comunque, dimostrato questo punto, l'esercizio e' di semplice svolgimento considerando che due spazi omeomorfi godono delle stesse proprietà topologiche (tra cui connessione, compattezza, separabilita'): dunque lo spazio quoziente risulta connesso, compatto e T2.
E' corretto?
P.s. pero', intuitivamente, mi rimane un piccolo dubbio sul fatto che lo spazio quoziente sia omeomorfo a [0,2]; riguardo al punto 1, in cui nello spazio omeomorfo al quoziente andrebbero a coincidere tutti i punti compresi tra -2 e 2: il fatto che 1 non sia incluso in X non da' problemi?
Il mio pensiero e' stato che, dato che 1 e' equivalente a punti interni ad X, allora 1 puo' essere incluso senza problemi nello spazio omeomorfo. Mi confermate? Non so se mi sono spiegata bene...per chiarirmi un po' il concetto mi sono immaginata che l'omeomorfismo agisca come se un filo di lana (che rappresenta R) venisse raggomitolato nel punto 1.
"_annina_":No! Però non ho capita la tua giustificazione; e se mi permetti, sarebbe più istruttivo per te se risolvessi l'esercizio senza rappresentare il quoziente (leggasi: senza trovare l'omeomorfismo scritto).
...il fatto che 1 non sia incluso in X non da' problemi?...
Ok, ho provato a fare la dimostrazione per assurdo, ma purtroppo non riesco ad arrivare ad un assurdo.
Questo il mio tentativo:
suppongo, per assurdo, che Y non sia connesso. Questo significa che esiste un aperto A', diverso dal vuoto e da Y, che e' contemporaneamente aperto e chiuso in Y. Ora, $pi^-1(A')$ e' aperto e chiuso di X perche' $pi$ e' continua e $pi^-1(A')$ e' diverso dal vuoto e da X perche' $pi$ suriettiva. Dunque X non e' connesso.
Ho provato anche altre strade, ma arrivo sempre alla conclusione che X non e' connesso, il che e' effettivamente corretto...
Questo il mio tentativo:
suppongo, per assurdo, che Y non sia connesso. Questo significa che esiste un aperto A', diverso dal vuoto e da Y, che e' contemporaneamente aperto e chiuso in Y. Ora, $pi^-1(A')$ e' aperto e chiuso di X perche' $pi$ e' continua e $pi^-1(A')$ e' diverso dal vuoto e da X perche' $pi$ suriettiva. Dunque X non e' connesso.
Ho provato anche altre strade, ma arrivo sempre alla conclusione che X non e' connesso, il che e' effettivamente corretto...
Io ragionerei direttamente sulla definizione di insieme connesso: non esiste una coppia di sottoinsiemi aperti, propri e disgiunti tali che l'unione è lo spazio ambiente!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo