Esercizi di topologia

[perplesso1]

1) Sia $ X $ uno spazio topologico e siano $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ X $ e $ A_n $ una successione di parti di $ X $. Indichiamo con $ \bar A $ la chiusura di $ A $ in $ X $. Confutare con un controesempio le seguenti uguaglianze:

a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $

b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $

c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $


Svolgimento

a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $

b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $

c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $

Fatto bene? Grazie!

[yellow2]

Per definizione di mappa quoziente (o come si dice), gli aperti di $X$ sono esattamente le controimmagini degli aperti di $Y$. Dunque se $p^(-1)({y})$ è unione di due aperti disgiunti...

[perplesso1]

"yellow":Dunque se $p^(-1)({y})$ è unione di due aperti disgiunti...

Ma $p^{-1}({y})$ è connesso per ipotesi... devo provare negando le ipotesi? E poi dove vado a finire? Perdonami se non ho ben capito

[yellow2]

Tranquillo, avevo letto male io, mi ero perso il primo "if"! Ma il fatto che $p^(-1)({y})$ sia connesso non segue direttamente dal ragionamento che stavo facendo? In ogni caso poi è simile, se $X=f^(-1)(Y)$ è unione di due aperti disgiunti non vuoti $f^(-1)(A)$ e $f^(-1)(B)$ con $A$ e $B$ aperti di $Y$, allora $A$ e $B$ sconnettono $Y$. Ma scorre tutto così liscio che ho paura di star dando per scontato qualcosa che non lo è.

[perplesso1]

Dai per scontato che $A$ e $B$ siano disgiunti, invece secondo me quello che possiamo dire è che

$ \emptyset = f( \emptyset ) = f(f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) ) \subseteq f(f^{-1}(A)) \cap f(f^{-1}(B) ) = A \cap B $

cioe $A \cap B$ contiene il vuoto... mi è sfuggito qualche cosa? Grazie!

[yellow2]

Sì perché $f$ è suriettiva e quindi quella è un'uguaglianza!

[perplesso1]

Ah gia scusa hai ragione te Però ho un ' altra obiezione, sei sicuro che ogni aperto di $X$ sia controimmagine di qualche aperto di $Y$? Perchè la definizione di quotient map nel mio libro dice solo $f^{-1}(A)$ è aperto in $X$ se e solo se $A$ è aperto $Y$. Questo esclude che in $X$ ci siano aperti che non siano controimmagini di aperti di $Y$ ??

[yellow2]

Verissimo, mi ricordavo male io la definizione, quelli che consideravo io si chiamano "aperti saturi". Chiedo scusa.
Adesso ci penso.

[perplesso1]

Comunque secondo me la strategia è quella che hai detto tu, solo che devo farci entrare anche quel $p^{-1}({y})$ connesso. Ora ci penso un pò ...

[yellow2]

La strada è proprio mostrare che se $X$ è unione disgiunta di due aperti $A$ e $B$, questi due sono saturi.

Se ad esempio $A$ non è saturo, esiste $yinf(A)$ tale che $f^(-1)({y})$ non sia contenuto in $A$. Allora abbiamo una sconnessione di $f^(-1)({y})$ intersecandolo con $A$ e $B$.

[perplesso1]

Chiarissimo! Grazie 1000.

[perplesso1]

9) let $X$ be an ordered set in the order topology. Show that if $X$ is connected then it is a linear continuum.

Devo dimostrare le due proprietà

1) Se $x 2) Ogni sottonsieme di $X$ che ammette maggioranti, possiede un estremo superiore.

La prima è facile. Se fra $x$ e $y$ non c'è nessun altro elemento allora $X=(- \infty,y) \cup (x,+ \infty)$ è disconnesso contro le ipotesi. Per la seconda devo dimostrare che se $A \subset X$ ammette maggioranti, esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ . Ora se $A$ ammette massimo, tutto ok. Altrimenti non lo so. Ho provato a costruire una successione di elementi di $X$ che converge verso l'estremo superiore sfruttando la proprietà 1) ma non viene un granchè bene...

[yellow2]

Suggerimento: la proprietà 1) da sola non basta perché altrimenti varrebbe anche per i razionali, bisogna (come sempre) lavorare per assurdo e cercare di sconnettere . Non ho usato successioni.

Sia $A$ un sottoinsieme non vuoto di $X$ e $M$ l'insieme dei suoi maggioranti, anch'esso non vuoto. Se $M$ non ammette minimo e $X-M$ non ammette massimo, questi due insiemi risultano aperti e quindi sconnettono $X$. Mostriamo dunque che $X-M$ non può ammettere massimo. Se $x$ è un elemento di $X-M$, possiamo prendere $y in A$ tale che $y>x$. Per il punto 1) esiste $z$ tale che $x

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[perplesso1]

Tutto chiaro. Ancora grazie!

[perplesso1]

10) Let $W$ be a well ordered set in the order topology. Show that $W xx [0,1)$ (in the dictionary order topology ) is a linear continuum.

Prima proprietà
Dati due punti $m xx x < n xx y \in W xx [0,1)$ distinguamo due casi. Se $m
Proprietà dell'estremo superiore
Sia $AxxB$ un sottoinsieme di $W xx [0,1)$ che ammetta maggiorante. Poichè $W$ è ben ordinato esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ in $W$ che indichiamo con $ s up A$. Se $ s up A \notin A$ allora $s up (A xx B)=s upA xx 0$. Se $s upA \in A$ distinguiamo due sottocasi. Se $s up B < 1$ allora $s up (A xx B)=s upA xx s upB$, se invece $s upB=1$ allora (per il buon ordine) esiste $N=min(s upA, + \infty)$ e risulta $s up (A xx B)=N xx 0$

Che ne dite?

[yellow2]

Ciao. La prima proprietà va sicuramente bene, nella seconda forse non mi è chiarissimo cio' che devi dimostrare perché non ho mai visto queste cose, ma di sicuro non tutti i sottoinsiemi dello spazio sono della forma $AxxB$!

[perplesso1]

Umh hai ragione allora facciamo così... consideriamo un sottinsieme $S \subset W xx [0,1)$ e sia $A $ l'insieme delle prime coordinate degli elementi di $S$. Poichè $W$ è ben ordinato esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ in $W$ che indichiamo con $ s up A$. Se $ s up A \notin A$ allora $s up (S)=s upA xx 0$. Se $s upA \in A$ distinguiamo due sottocasi. Sia ${s upA} xx B$ l'insieme dei punti di $S$ che hanno come prima coordinata $s upA$. Se $s up B < 1$ allora $s up (S)=s upA xx s upB$, se invece $s upB=1$ allora (per il buon ordine) esiste $N=min(s upA, + \infty)$ e risulta $s up (S)=N xx 0$

P.S. devo dimostrare che ogni sottinsieme di $ W xx [0,1) $ che ammette maggiorante ha un estremo superiore.

P.S.S. quali sono le cose che non hai mai visto? il dictionary order? il buon ordine? Se vuoi posso fornire una breve spiegazione.

[yellow2]

In realtà nemmeno la topologia dell'ordine ma non c'è problema, le definizioni che non capisco me le cerco (e riguardo a quello che bisognava dimostrare ci avevo preso!). Anzi ti ringrazio visto che sto imparando qualcosa e vedendo questi esercizi che sono interessanti, io di mio sono troppo pigro per mettermici da solo!
Più tardi mi leggo con calma la tua ultima soluzione.

[perplesso1]

"yellow":Anzi ti ringrazio visto che sto imparando qualcosa e vedendo questi esercizi che sono interessanti

Prego. Sono io che ringrazio te. Anche io sono abbastanza pigro, però dipende da quello che studio. Per esempio è un bel pò che ho iniziato a leggere un testo di logica ma non riesco a finirlo perchè è troppo tedioso Invece la topologia mi sembra più divertente... e infatti ecco un altro quesito.

11) If $A \subset X$ is path connected, is $\bar A$ necessarily path connected?

In generale credo di no, infatti dovrebbe esserci il famoso esempio del grafico della funzione $sin(1/x)$, però credo di poter dimostrare che se $X$ è metrizzabile allora la risposta è affermativa.


Edit: quanto segue è sbagliato causa una errata applicazione del pasting lemma.
Consideriamo un punto $x_0 \in A$ e un punto di accumulazione $x \in \bar A$. Se $X$ è metrizzabile esiste una successione $x_0,x_1,x_2,...$ di punti di $A$ che tende a $x$. Poichè $A$ è path connected l'idea è quella di unire i percorsi fra $x_n$ e $x_{n+1}$. Esisteno quindi le funzioni continue $f_n: [n/{n+1},{n+1}/{n+2}] \rightarrow \bar A$ tali che $f_n(n/{n+1})=x_n$ e $f_n({n+1}/{n+2})=x_{n+1}$. Notiamo che laddove i domini di queste funzioni si sovrappongono le funzioni coincidono infatti $f_{n-1}(n/{n+1})=x_n=f_n(n/{n+1})$ per ogni $n$ e che l'unione dei domini è $[0,1)$. Consideriamo infine la funzione continua $f_x:{1} \rightarrow \bar A$ tale che $f_x(1)=x$. Siccome gli intervalli $[n/{n+1},{n+1}/{n+2}]$ e ${1}$ sono chiusi, per il "pasting lemma" possiamo incollare le funzioni $f_n$ e la funzione $f_x$ ed ottenere una funzione continua $f:[0,1] \rightarrow \bar A$ tale che $f(0)=f_0(0)=x_0$ e $f(1)=f_x(1)=x$. Pertanto la chiusura di $A$ è path connected.

In realtà credo che non serva neanche la metrizzabilità, è sufficiente che $X$ soddisfi il "first axiom of countability" Come sempre i commenti sono graditi.

[yellow2]

"perplesso":Umh hai ragione allora facciamo così... consideriamo un sottinsieme $S \subset W xx [0,1)$ e sia $A $ l'insieme delle prime coordinate degli elementi di $S$. Poichè $W$ è ben ordinato esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ in $W$ che indichiamo con $ s up A$. Se $ s up A \notin A$ allora $s up (S)=s upA xx 0$. Se $s upA \in A$ distinguiamo due sottocasi. Sia ${s upA} xx B$ l'insieme dei punti di $S$ che hanno come prima coordinata $s upA$. Se $s up B < 1$ allora $s up (S)=s upA xx s upB$, se invece $s upB=1$ allora (per il buon ordine) esiste $N=min(s upA, + \infty)$ e risulta $s up (S)=N xx 0$

Mi sembra vada bene. Mi ero un po' impappinato sulla notazione $min(s up A, + \infty)$, l'ho capita solo pensando a come avrei cercato di risolvere io il problema (si' in teoria mi sa che andrebbe fatto sempre quando si legge una dimostrazione ). Forse usare le parentesi quadre al contrario è meglio anche se sono bruttine .

Riguardo l'ultimo problema: da quando $RR^2$ non è metrizzabile? Il pasting lemma che era stato citato vale solo per un numero finito di chiusi!

Curiosità: stai studiando la matematica da autodidatta?

[perplesso1]

"yellow":da quando R2 non è metrizzabile? Il pasting lemma che era stato citato vale solo per un numero finito di chiusi!

Chiedo umilmente perdono! xD Mi sembrava così bella l'idea di "unire i puntini" che ho scritto senza ragionare

"yellow":Curiosità: stai studiando la matematica da autodidatta?

Si evince dalle sciocchezze che dico ?