Esercizi di topologia
1) Sia $ X $ uno spazio topologico e siano $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ X $ e $ A_n $ una successione di parti di $ X $. Indichiamo con $ \bar A $ la chiusura di $ A $ in $ X $. Confutare con un controesempio le seguenti uguaglianze:
a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $
b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $
c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $
Svolgimento
a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $
b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $
c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $
Fatto bene? Grazie!
a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $
b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $
c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $
Svolgimento
a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $
b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $
c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $
Fatto bene? Grazie!
Risposte
Perchè $x=0$ è l'unico punto in cui puoi applicare la definizione "$\epsilon$ - $\delta$" di continuità. Prendi invece il punto $x=1$ e supponiamo di voler trovare un intorno $(1-\delta,1+\delta)$ del punto $1$ tale che per ogni punto $x_0$ di questo intorno $|f(1)-f(x_0)|=|1-f(x_0)|<1/2$. Qualunque sia $\delta > 0$ è chiaro che possiamo scegliere $x_0$ irrazionale e quindi avremo $|1-f(x_0)|=|1-0|=1>1/2$, ciò significa che è impossibile trovare un $\delta$ adatto allo scopo. Prova a fare la stessa cosa col punto $0$ e vedrai che invece quadra tutto.
Premetto due risultati (chi volesse divertisi un pò puo dimostrarli)
i) Let $f:A \rightarrow B$ e $g:C \rightarrow D$ be continuous functions. The function $(f xx g):(a,c) \in A xx C \rightarrow (f(a),g(c)) \in B xx D$ is continuous.
ii) Let $Y$ be compact. The projection $\pi: X xx Y \rightarrow X$ is a closed map. [Hint: Tube Lemma ]
Sono alle prese con questo
14) Let $f:X \rightarrow Y$ ; let $Y$ be compact Hausdorff.Then $f$ is continuous if and only if the graph $G_f = {x xx f(x) | x \in X}$ is closed in $X xx Y$ .
Supponiamo $f$ continua. Sia $id:Y \rightarrow Y$ la mappa identica su $Y$. Per il risultato i) la funzione $(f xx id): X xx Y \rightarrow Y^2$ è continua. Siccome $Y$ è Hausdorff la diagonale $diagY={y xx y | y \in Y}$ è chiusa (vedi esercizio $2$ pag 1 di questo topic) e tale è la sua controimmagine $(f xx id)^{-1}(diagY)=\bigcup_{y \in Y} (f^{-1}(y) xx y) = G_f$
Viceversa sia $G_f$ chiuso. Consideriamo un intorno $V$ di $f(x)$, allora $G_{f} \cap (X xx (Y-V))$ è chiuso in $X xx Y$. Poichè $Y$ è compatto tale è anche $(Y-V)$ e la sua intersezione con $G_f$. Allora usando il risultato ii) la proiezione $\pi (G_{f} \cap (X xx (Y-V)))=f^{-1}(Y-V)$ è chiusa in $X$. Pertanto il suo complemento $f^{-1}(V)$ è aperto, quindi $f$ è continua.
Non sono molto convinto, voi che dite?
i) Let $f:A \rightarrow B$ e $g:C \rightarrow D$ be continuous functions. The function $(f xx g):(a,c) \in A xx C \rightarrow (f(a),g(c)) \in B xx D$ is continuous.
ii) Let $Y$ be compact. The projection $\pi: X xx Y \rightarrow X$ is a closed map. [Hint: Tube Lemma ]
Sono alle prese con questo
14) Let $f:X \rightarrow Y$ ; let $Y$ be compact Hausdorff.Then $f$ is continuous if and only if the graph $G_f = {x xx f(x) | x \in X}$ is closed in $X xx Y$ .
Supponiamo $f$ continua. Sia $id:Y \rightarrow Y$ la mappa identica su $Y$. Per il risultato i) la funzione $(f xx id): X xx Y \rightarrow Y^2$ è continua. Siccome $Y$ è Hausdorff la diagonale $diagY={y xx y | y \in Y}$ è chiusa (vedi esercizio $2$ pag 1 di questo topic) e tale è la sua controimmagine $(f xx id)^{-1}(diagY)=\bigcup_{y \in Y} (f^{-1}(y) xx y) = G_f$
Viceversa sia $G_f$ chiuso. Consideriamo un intorno $V$ di $f(x)$, allora $G_{f} \cap (X xx (Y-V))$ è chiuso in $X xx Y$. Poichè $Y$ è compatto tale è anche $(Y-V)$ e la sua intersezione con $G_f$. Allora usando il risultato ii) la proiezione $\pi (G_{f} \cap (X xx (Y-V)))=f^{-1}(Y-V)$ è chiusa in $X$. Pertanto il suo complemento $f^{-1}(V)$ è aperto, quindi $f$ è continua.
Non sono molto convinto, voi che dite?
15) Let $f_n:X \rightarrow R$ be sequence of continuous functions with $f_n(x) \rightarrow f(x)$ for each $x \in X$. Suppose $f$ is continuous, $X$ is compact and $f_n(x) <= f_{n+1}(x)$ for all $n$ and $x$. Show that the convergence is uniform.
Edit: quanto segue è errato. Per una dimostrazione corretta vedi Lemma del Dini
Allora... siccome $X$ è compatto tali sono $f(X)$ e $f_n(X)$ e quindi sono anche chiusi e limitati in $R$. Allora l'insieme ${|f(x)-f_n(x)| | x \in X}$ è limitato (per esempio un suo maggiorante potrebbe essere $s upf(x)-i nff_n(x)$ ). Allora possiede un estremo superiore e siccome $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ipotesi concludiamo che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$.
Anche qui sono poco convinto mi sembra di non aver usato l'ipotesi $f_n(x) <= f_{n+1}(x)$ o forse non me ne sono accorto.
P.S. Ma quanto è brutta la compattezza.
La connessione mi piaceva di più, era più facile da "visualizzare"...
Edit: quanto segue è errato. Per una dimostrazione corretta vedi Lemma del Dini
Allora... siccome $X$ è compatto tali sono $f(X)$ e $f_n(X)$ e quindi sono anche chiusi e limitati in $R$. Allora l'insieme ${|f(x)-f_n(x)| | x \in X}$ è limitato (per esempio un suo maggiorante potrebbe essere $s upf(x)-i nff_n(x)$ ). Allora possiede un estremo superiore e siccome $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ipotesi concludiamo che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$.
Anche qui sono poco convinto mi sembra di non aver usato l'ipotesi $f_n(x) <= f_{n+1}(x)$ o forse non me ne sono accorto.
P.S. Ma quanto è brutta la compattezza.
La connessione mi piaceva di più, era più facile da "visualizzare"...
16) Let $X$ be an ordered set in the order topology. Suppose every closed interval of $X$ is compact. Show that $X$ has the least upper bound property.
Per assurdo sia $A$ un sottinsieme di $X$ che ammette maggioranti ma che non ha l'estremo superiore. Questo significa che l'insieme dei suoi maggioranti $B={b\in X |b>= a$ $ \forall a \in A }$ non ha il minimo ed equivalentemente $X-B$ non ha il massimo. Scegliamo un punto $a_0 \in (X-B)$ e un punto $b_0 \in B$ e consideriamo l'intervallo chiuso $[a_0,b_0]$. La collezione di insiemi ${(- \infty ,a)|a \in X-B} \cup {(b,+ \infty )|b \in B}$ costituisce un ricoprimento aperto di $[a_0,b_0]$ (mediante aperti di $X$) che evidentemente non ammette sottoricoprimenti finiti. Assurdo perchè $[a_0,b_0]$ per ipotesi è compatto.
Come sempre le correzioni son gradite. Grazie.
Per assurdo sia $A$ un sottinsieme di $X$ che ammette maggioranti ma che non ha l'estremo superiore. Questo significa che l'insieme dei suoi maggioranti $B={b\in X |b>= a$ $ \forall a \in A }$ non ha il minimo ed equivalentemente $X-B$ non ha il massimo. Scegliamo un punto $a_0 \in (X-B)$ e un punto $b_0 \in B$ e consideriamo l'intervallo chiuso $[a_0,b_0]$. La collezione di insiemi ${(- \infty ,a)|a \in X-B} \cup {(b,+ \infty )|b \in B}$ costituisce un ricoprimento aperto di $[a_0,b_0]$ (mediante aperti di $X$) che evidentemente non ammette sottoricoprimenti finiti. Assurdo perchè $[a_0,b_0]$ per ipotesi è compatto.
Come sempre le correzioni son gradite. Grazie.
"perplesso":
...Allora l'insieme ${|f(x)-f_n(x)| | x \in X}$ è limitato...
Anche qui sono poco convinto mi sembra di non aver usato l'ipotesi $f_n(x) <= f_{n+1}(x)$ o forse non me ne sono accorto...
Devi utilizzare esplicitamente ciò che non hai usato!
"perplesso":
15)Allora l'insieme ${|f(x)-f_n(x)| | x \in X}$ è limitato (per esempio un suo maggiorante potrebbe essere $s upf(x)-i nff_n(x)$ ). Allora possiede un estremo superiore e siccome $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ipotesi concludiamo che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$.
Controesempio in $RR->RR$:
$f_n(x)=\{(1,x=n),(0, x!=n):}$
Cambiandolo un po' puoi anche mettere l'insieme di partenza compatto e le funzioni continue.
Ho capito quello che dici, per esempio potrei restringere la tua funzione a $[0,1]$ e modificarla come in figura per renderla continua.
In questo caso la convergenza non è uniforme perchè al crescere di $n$ rimane sempre una "gobba". Questo perchè viene meno il requisito $f_n(x)<=f_{n+1}(x)$. Il problema è che non so bene come formalizzare... ci provo ditemi se va bene:
Da $f_n(x)<=f_{n+1}(x)$ segue $|f(x)-f_n(x)|>=|f(x)-f_{n+1}(x)|$ e quindi $s up_{x \in X}|f(x)-f_n(x)|>= s up_{x \in X}|f(x)-f_{n+1}(x)|$ e questo è sufficiente ad affermare che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$ ??
Grazie per la vostra pazienza!
In questo caso la convergenza non è uniforme perchè al crescere di $n$ rimane sempre una "gobba". Questo perchè viene meno il requisito $f_n(x)<=f_{n+1}(x)$. Il problema è che non so bene come formalizzare... ci provo ditemi se va bene:
Da $f_n(x)<=f_{n+1}(x)$ segue $|f(x)-f_n(x)|>=|f(x)-f_{n+1}(x)|$ e quindi $s up_{x \in X}|f(x)-f_n(x)|>= s up_{x \in X}|f(x)-f_{n+1}(x)|$ e questo è sufficiente ad affermare che $\lim_{n} ( s up {|f(x)-f_n(x)| | x \in X}) = 0$ ??
Grazie per la vostra pazienza!
No, non è sufficiente!
Così ottieni una successione decrescente, in particolare puoi affermare che: \[\lim_n\sup_X\{f(x)-f_n(x)\in\mathbb{R}_+:x\in X\}=\exists;\] dopo di ciò io affermo che tale limite è finito, mi sai dire il perché?
Poi procederei per assurdo supponendo che il limite è strettamente positivo!
Così ottieni una successione decrescente, in particolare puoi affermare che: \[\lim_n\sup_X\{f(x)-f_n(x)\in\mathbb{R}_+:x\in X\}=\exists;\] dopo di ciò io affermo che tale limite è finito, mi sai dire il perché?
Poi procederei per assurdo supponendo che il limite è strettamente positivo!
"j18eos":
dopo di ciò io affermo che tale limite è finito, mi sai dire il perché?
Beh scusa ma se $f(X)$ e $f_n(X)$ (come ho detto prima) sono limitati (in particolare anche inferiormente) come potrebbero quelle differenze tendere all'infinto?
Ah sì, me n'ero dimenticato! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ti manca solo da dimostrare che quel limite è \(0\)!
Ti manca solo da dimostrare che quel limite è \(0\)!
Ok grazie, dopo ci penso con calma.
Non mi viene. Ho pensato questo ma secondo me è sbagliato...
Allora... se quel limite fosse uguale a $\epsilon >0$ dovrebbe esistere una successione convergente $x_n$ di elementi di $X$ tali che $ lim_n |f_n(x_n)-f(x_n)|= \epsilon$. Ma per ipotesi sappiamo che $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ogni $x$ quindi $lim f_n(x_n) = lim f(x_n)$ ovvero $lim |f_n(x_n)-f(x_n)| = 0$. Contraddizione.
Ho pensato questo ma secondo me è sbagliato...Allora... se quel limite fosse uguale a $\epsilon >0$ dovrebbe esistere una successione convergente $x_n$ di elementi di $X$ tali che $ lim_n |f_n(x_n)-f(x_n)|= \epsilon$. Ma per ipotesi sappiamo che $f_n(x) \rightarrow f(x)$ per ogni $x$ quindi $lim f_n(x_n) = lim f(x_n)$ ovvero $lim |f_n(x_n)-f(x_n)| = 0$. Contraddizione.
Prima di farti notare che il limite da studiare è:\[\lim_n\sup_X\,\,\,\text{una qualche successione}\] e non:\[\lim_n\,\,\,\text{una qualche altra successione}\] quella che hai scritto è una dimostrazione errata della sequenziale continuità delle funzioni continue a valori in \(\mathbb{R}\)! (O almeno così mi pare, ma non è importante.)
Il mio suggerimento è questo:\[\lim_n\sup_X\{f(x)-f_n(x)\in\mathbb{R}_+\}=l>0\] ma mi sa che è un po troppo complicato!
A questo punto imbroglio e ti suggerisco quest'altra via: fissato \(\epsilon>0\) siano:\[\forall n\in\mathbb{N},\,\Omega_n^{\epsilon}=\{x\in X\mid f_n(x)>f(x)-\epsilon\}.\]
Cosa puoi dire sulla successione degli insiemi \(\Omega_n^{\epsilon}\)? Dimostra che sono insiemi aperti, utilizzi la compattezza di \(X\) ed ottieni l'asserto.
Ah! Dimenticavo, quello che vuoi dimostrare è noto come Lemma di Dini in \(C(X;\mathbb{R})\) con \(X\) spazio topologico compatto.
Il mio suggerimento è questo:\[\lim_n\sup_X\{f(x)-f_n(x)\in\mathbb{R}_+\}=l>0\] ma mi sa che è un po troppo complicato!
A questo punto imbroglio e ti suggerisco quest'altra via: fissato \(\epsilon>0\) siano:\[\forall n\in\mathbb{N},\,\Omega_n^{\epsilon}=\{x\in X\mid f_n(x)>f(x)-\epsilon\}.\]
Cosa puoi dire sulla successione degli insiemi \(\Omega_n^{\epsilon}\)? Dimostra che sono insiemi aperti, utilizzi la compattezza di \(X\) ed ottieni l'asserto.
Ah! Dimenticavo, quello che vuoi dimostrare è noto come Lemma di Dini in \(C(X;\mathbb{R})\) con \(X\) spazio topologico compatto.
Dell'esercizio 14 non mi è chiara la seconda parte della dimostrazione...
Ti rispondo perché pensavo a un rilancio ma aspetto ancora un po!
Ti rispondo perché pensavo a un rilancio ma aspetto ancora un po!
"j18eos":
Dell'esercizio 14 non mi è chiara la seconda parte della dimostrazione...
Mah guarda neanche a me mi è tanto chiara xD Ho solo seguito l'indizio che mi da il testo:
Hint: If $G_f$ is closed and $V$ is a neighborhood of $f(x)$ then the intersection $G_{f} \cap (X xx (Y-V))$ is closed. Apply ii)
Ti rispondo perché pensavo a un rilancio ma aspetto ancora un po!
Eh lo so, non ho rilanciato più perchè poi il Lemma del Dini sono andato a vedermelo su wikipedia. Se vuoi proporre qualche esercizio prego questo topic sta qua apposta.
Io adesso sto finendo di leggermi il capitolo 3 del Munkres (compattezza locale, one-point compactification e altre robe brutte...). Tra l'altro ho visto su wikipedia che ci sono almeno 3 formulazioni non equivalenti della compattezza locale, il che me la rende ancora più antipatica...
In un prodotto topologico finito il prodotto di insiemi chiusi è chiuso. =_=
Risolto il mistero... tutt'ok!
Per quanto riguarda l'indizio ii all'esercizio 14, l'ho già risolto quando ho sostenuto la prova scritta di ammissione alla S.I.S.S.A. e non ho utilizzato il lemma dell'intorno tubolare (o come si chiama; che tra l'altro, a tutt'oggi, non l'ho ancora studiato).
Ecco il mio rilancio!
Esercizio 17: siano \(X\) uno spazio topologico compatto, \(Y\) uno spazio topologico di Hausdorff connesso ed \(f\in C(X;Y)\); se \(f\) è un omeomorfismo locale allora dimostrare che è suriettiva!
Suggerimenti:
Risolto il mistero... tutt'ok!
Per quanto riguarda l'indizio ii all'esercizio 14, l'ho già risolto quando ho sostenuto la prova scritta di ammissione alla S.I.S.S.A. e non ho utilizzato il lemma dell'intorno tubolare (o come si chiama; che tra l'altro, a tutt'oggi, non l'ho ancora studiato).Ecco il mio rilancio!
Esercizio 17: siano \(X\) uno spazio topologico compatto, \(Y\) uno spazio topologico di Hausdorff connesso ed \(f\in C(X;Y)\); se \(f\) è un omeomorfismo locale allora dimostrare che è suriettiva!
Suggerimenti:
Finora nel munkres non ho ancora incontrato il concetto di omeomorfismo locale, quindi mi rifaccio a quanto dice wikipedia...
Siccome $X$ è compatto allora $f(X)$ è compatto in $Y$. Ma in un Hausdorff ogni compatto è chiuso, quindi $f(X)$ è chiuso. D'altra parte ogni omeomorfismo locale è una mappa aperta (l'ho letto su wikipedia xD ) quindi $f(X)$ è anche aperto. Ma non può esserci un sottinsieme proprio di $Y$ contemporaneamente aperto e chiuso (altrimenti $Y$ si disconnette) quindi $f(X)=Y$
Ora mi leggo il tuo suggerimento...
Siccome $X$ è compatto allora $f(X)$ è compatto in $Y$. Ma in un Hausdorff ogni compatto è chiuso, quindi $f(X)$ è chiuso. D'altra parte ogni omeomorfismo locale è una mappa aperta (l'ho letto su wikipedia xD ) quindi $f(X)$ è anche aperto. Ma non può esserci un sottinsieme proprio di $Y$ contemporaneamente aperto e chiuso (altrimenti $Y$ si disconnette) quindi $f(X)=Y$
Ora mi leggo il tuo suggerimento...
Aaaah ok quindi vuoi farmi dimostrare che un omeomorfismo locale è una mappa aperta. Ok ora ci penso...
Se utilizzi subito la proprietà dell'essere \(f\) un'applicazione aperta allora l'esercizio diventa idiota; invece, dato che questa proprietà non la ricordavo quando ho risolto l'esercizio, ho utilizzato la compattezza di \(X\) e quanto ti ho suggerito per ottenere quanto richiesto.
Se ti incuriosiscono delle conseguenze di questo esercizio: pensa alla compattificazione con un punto di uno spazio di Hausdorff(*) connesso (e.g. \((\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\)).
§§§
(*) Un qualsiasi spazio topologico non compatto è compattificabile con un punto, non è necessario che esso sia di Hasudorff.
Se ti incuriosiscono delle conseguenze di questo esercizio: pensa alla compattificazione con un punto di uno spazio di Hausdorff(*) connesso (e.g. \((\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\)).
§§§
(*) Un qualsiasi spazio topologico non compatto è compattificabile con un punto, non è necessario che esso sia di Hasudorff.
Aspetta aspetta credo di aver dimostrato anche questa cosa che f è una mappa aperta...
Per la definizione di omeomorfismo locale ogni punto $x \in X$ possiede un intorno $V_x$ tale che $f(V_x)$ è aperto in $Y$ e $f|V_x$ è un omeomorfismo. Sia $A$ un aperto di $X$ allora $A \cap V_x$ è un aperto di $V_x$ quindi (ricordando che $f|V_x$ è un omeomorfismo) $f(A \cap V_x)= f(A) \cap f(V_x)$ è un aperto di $f(V_x)$. Ma $f(V_x)$ è aperto in $Y$ per ipotesi, quindi $f(A \cap V_x)$ è aperto in $Y$. Di conseguenza $f(A)= \bigcup_{x \in X} f(A \cap V_x)$ è unione di aperti di $Y$ e pertanto è aperto.
Dimmi un pò se va bene.
Per la definizione di omeomorfismo locale ogni punto $x \in X$ possiede un intorno $V_x$ tale che $f(V_x)$ è aperto in $Y$ e $f|V_x$ è un omeomorfismo. Sia $A$ un aperto di $X$ allora $A \cap V_x$ è un aperto di $V_x$ quindi (ricordando che $f|V_x$ è un omeomorfismo) $f(A \cap V_x)= f(A) \cap f(V_x)$ è un aperto di $f(V_x)$. Ma $f(V_x)$ è aperto in $Y$ per ipotesi, quindi $f(A \cap V_x)$ è aperto in $Y$. Di conseguenza $f(A)= \bigcup_{x \in X} f(A \cap V_x)$ è unione di aperti di $Y$ e pertanto è aperto.
Dimmi un pò se va bene.
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