Esercizi di topologia
1) Sia $ X $ uno spazio topologico e siano $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ X $ e $ A_n $ una successione di parti di $ X $. Indichiamo con $ \bar A $ la chiusura di $ A $ in $ X $. Confutare con un controesempio le seguenti uguaglianze:
a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $
b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $
c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $
Svolgimento
a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $
b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $
c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $
Fatto bene? Grazie!
a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $
b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $
c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $
Svolgimento
a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $
b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $
c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $
Fatto bene? Grazie!
Risposte
Mi sembra tutto a posto! 
Spero di non aver scritto io sciocchezze... =_=
Spero di non aver scritto io sciocchezze... =_=
"j18eos":
Un qualsiasi spazio topologico non compatto è compattificabile con un punto, non è necessario che esso sia di Hasudorff.
Con questa frase mi hai messo in crisi perchè sul testo di Munkres dice (cito testualmente):
$X$ has a one-point compactification if and only if $X$ is a locally compact Hausdorff space that is not itself compact.
C'è qualche cosa che ho frainteso?
Grazie!
Assolutamente no, basta che leggi da wikipedia.it; a meno che non si stia parlando di concetti distinti!
Boh allora adesso mi riguardo meglio le definizioni precedenti del testo, magari mi è sfuggita qualche sottile differenza di impostazione di Munkres rispetto alle definizioni di wikipedia. Grazie.
18)
(a) Show that every metrizable space with a countable dense subset has a countable basis.
(b) Show that every metrizable Lindelof space has a countable basis.
Svolgimento
(a) Sia $C={c_1,c_2,c_3,...}$ un sottoinsieme denso numerabile dello spazio metrico $X$. Voglio dimostrare che la collezione numerabile di aperti ${B(c_n,1/k)| n,k \in N}$ è una base di $X$. Sia $x \in X$ e sia $I_x$ un suo intorno. Allora esiste $k$ sufficientemente grande tale che $x \in B(x,1/k) \subseteq I_x$. Siccome $C$ è denso esiste $n$ tale che $d(x,c_n)<1/{2k}$ e allora $x \in B(c_n,1/{2k}) subset B(x,1/k) \subset I_x $
(b) Sia $X$ uno spazio metrico di Lindelof. Allora per ogni $n \in N$ esiste un ricoprimento numerabile di $X$ formato da palle aperte di raggio $1/n$. L'unione (al variare di $n$) di questi ricoprimenti è numerabile e costituisce una base di $X$. Infatti preso un punto $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste sempre un $n$ abbastanza grande tale che $x \in B(x,1/n) \subset I_x$.
(a) Show that every metrizable space with a countable dense subset has a countable basis.
(b) Show that every metrizable Lindelof space has a countable basis.
Svolgimento
(a) Sia $C={c_1,c_2,c_3,...}$ un sottoinsieme denso numerabile dello spazio metrico $X$. Voglio dimostrare che la collezione numerabile di aperti ${B(c_n,1/k)| n,k \in N}$ è una base di $X$. Sia $x \in X$ e sia $I_x$ un suo intorno. Allora esiste $k$ sufficientemente grande tale che $x \in B(x,1/k) \subseteq I_x$. Siccome $C$ è denso esiste $n$ tale che $d(x,c_n)<1/{2k}$ e allora $x \in B(c_n,1/{2k}) subset B(x,1/k) \subset I_x $
(b) Sia $X$ uno spazio metrico di Lindelof. Allora per ogni $n \in N$ esiste un ricoprimento numerabile di $X$ formato da palle aperte di raggio $1/n$. L'unione (al variare di $n$) di questi ricoprimenti è numerabile e costituisce una base di $X$. Infatti preso un punto $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste sempre un $n$ abbastanza grande tale che $x \in B(x,1/n) \subset I_x$.
Mi esprimo solo sul punto (a): ...e allora che hai dimostrato? 
Ho dimostrato che per ogni elemento $x$ e per ogni intorno $I_x$ di $x$ esiste une elemento di ${B(c_n,1/k)| n,k \in N}$ che contiene $x$ ed è contenuto in $I_x$. Pertanto ${B(c_n,1/k)| n,k \in N}$ è una base.
Il primo punto mi torna. Ho delle perplessità sul secondo: come fai a dedurre che la base è numerabile? Fai l'unione sui punti dello spazio, ma non è detto che siano numerabili! O mi sto perdendo qualcosa io?
Azz hai quasi ragione... io dicevo questo: per ogni $n$ utilizzo Lindelof per affermare l'esistenza di un ricoprimento numerabile di $X$ mediante palle di raggio $1/n$. In questo modo ottengo una collezione numerabile di ricoprimenti numerabili. L'unione di questa collezione è ancora numerabile. Quello che ho sbagliato è che non ho effettivamente dimostrato che quella che ottengo è una base. Infatti questo passaggio
non ha senso perchè non è detto che $B(x,1/n)$ sia un elemento della mia "base". Invece avrei dovuto dire che $x$ è contenuto in qualche palla facente parte della "base" con raggio sufficientemente piccolo da essere contenuta nell'intono $I_x$. Così è meglio?
"perplesso":
preso un punto $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste sempre un $n$ abbastanza grande tale che $x \in B(x,1/n) \subset I_x$.
non ha senso perchè non è detto che $B(x,1/n)$ sia un elemento della mia "base". Invece avrei dovuto dire che $x$ è contenuto in qualche palla facente parte della "base" con raggio sufficientemente piccolo da essere contenuta nell'intono $I_x$. Così è meglio?
Sì, in effetti l'esercizio 18.a è corretto... basta ricordare a che servono le basi topologiche! 
Domani, se mi si lascia spazio, proporrò un esercizio\sorpresa.
Buona notte
Domani, se mi si lascia spazio, proporrò un esercizio\sorpresa.
Buona notte
"perplesso":
Azz hai quasi ragione... io dicevo questo: per ogni $n$ utilizzo Lindelof per affermare l'esistenza di un ricoprimento numerabile di $X$ mediante palle di raggio $1/n$. In questo modo ottengo una collezione numerabile di ricoprimenti numerabili. L'unione di questa collezione è ancora numerabile. Quello che ho sbagliato è che non ho effettivamente dimostrato che quella che ottengo è una base.
Ok, io intanto non avevo capito che facevi questo. Così va già meglio.
"perplesso":
non ha senso perchè non è detto che $B(x,1/n)$ sia un elemento della mia "base". Invece avrei dovuto dire che $x$ è contenuto in qualche palla facente parte della "base" con raggio sufficientemente piccolo da essere contenuta nell'intono $I_x$. Così è meglio?
E' meglio, ma coincide con la tua tesi. Quindi devi giustificare meglio. E dovrai usare molto esplicitamente la metrica se la dimostrazione che mi sono fatto in testa adesso funziona. Ti faccio notare che se fosse corretto questo ragionamento da solo, avresti infatti dimostrato che primo numerabile + Lindelof implica secondo numerabile. Magari è vero quest'ultimo fatto, ma non so perché, scommetterei su un controesempio...
Ecco ci ho pensato secondo me l'argomento da portare è analogo a quello del punto (a) ... dato $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste un $n$ abbastanza grande tale che $B(x,1/n) \subset I_x$. Il ricoprimento numerabile da noi costruito contiene sicuramente una palla di raggio $1/{2n}$ che contiene $x$. Tale palla è banalmente contenuta in $B(x,1/n)$ e quindi in $I_x$.
Attendiamo la sorpresona!
"j18eos":
Domani, se mi si lascia spazio, proporrò un esercizio\sorpresa
Attendiamo la sorpresona!
20) Se $X$ è Lindelof e $Y$ è compatto il prodotto $X xx Y$ è Lindelof
Su questo ho solo una mezza idea ma non sono sicurissimo. Secondo me è sufficiente considerare un ricoprimento $C$ formato da elementi $A xx B$ di una base di $X xx Y$. Siano $p_1$ e $p_2$ le proiezioni sulla prima e sulla seconda coordinata. Allora $p_1(C)$ è un ricoprimento aperto di $X$ mentre $p_2(C)$ è un ricoprimento aperto di $Y$. pertanto possiamo estrarre un ricoprimento numerabile ${A_1,A_2,A_3,...} \in p_1(C)$ ed un ricoprimento finito ${B_1,...,B_k} \in p_2(C)$. Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$.
Dubito che sia giusto perchè altrimenti con lo stesso ragionamento potrei mostrare che il prodotto di due Lindelof è Lindelof, cosa falsa. Domanda: cosa ho sbagliato? Grazie! xD
Su questo ho solo una mezza idea ma non sono sicurissimo. Secondo me è sufficiente considerare un ricoprimento $C$ formato da elementi $A xx B$ di una base di $X xx Y$. Siano $p_1$ e $p_2$ le proiezioni sulla prima e sulla seconda coordinata. Allora $p_1(C)$ è un ricoprimento aperto di $X$ mentre $p_2(C)$ è un ricoprimento aperto di $Y$. pertanto possiamo estrarre un ricoprimento numerabile ${A_1,A_2,A_3,...} \in p_1(C)$ ed un ricoprimento finito ${B_1,...,B_k} \in p_2(C)$. Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$.
Dubito che sia giusto perchè altrimenti con lo stesso ragionamento potrei mostrare che il prodotto di due Lindelof è Lindelof, cosa falsa. Domanda: cosa ho sbagliato? Grazie! xD
"perplesso":Ecco cosa sbagli, ottieni sì un ricoprimento per aperti di \(X\times Y\) estratto da \(C\), ma fai attenzione... Preferisco che ci arrivi tu da solo, tanto hai tutte le capacità!
...Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$...
"perplesso":
Ecco ci ho pensato secondo me l'argomento da portare è analogo a quello del punto (a) ... dato $x$ e un suo intorno $I_x$ esiste un $n$ abbastanza grande tale che $B(x,1/n) \subset I_x$. Il ricoprimento numerabile da noi costruito contiene sicuramente una palla di raggio $1/{2n}$ che contiene $x$. Tale palla è banalmente contenuta in $B(x,1/n)$ e quindi in $I_x$.
Sì, adesso va benone.
"j18eos":Ecco cosa sbagli, ottieni sì un ricoprimento per aperti di \(X\times Y\) estratto da \(C\), ma fai attenzione... [/quote]
[quote="perplesso"]...Se scegliamo un elemento di $C$ per ogni $A_i$ e un elemento di $C$ per ogni $B_i$ otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$...
Mi sono appena reso conto che quello da me costruito non è affatto un ricoprimento xD Mi tocca modificare un pò questa parte della dimostrazione. Grazie!!!
Anzi no l'ho modificata tutta... Il sottoinsieme $x xx Y$ è compatto (perchè omeomorfo a $Y$) quindi posso coprirlo con un numero finito di elementi di $C$. Sia $C_x$ questo ricoprimento finito. Per il lemma del tubo l'unione $\bigcup C_x$ degli elementi di $C_x$ contiene un aperto tubolare $U_x xx Y$ che contiene $x xx Y$. Allora l'insieme ${U_x|x \in X}$ è un ricoprimento per aperti di $X$ dal quale è possibile estrarre un ricoprimento numerabile ${U_1,U_2,... }$. Adesso per ogni $U_i$ scegliamo uno dei ricoprimenti $C_x$ tale che $U_i xx Y \subset \bigcup C_x$. Otteniamo così una collezione numerabile di ricoprimenti finiti $C_1,C_2,...$ Se li uniamo tutti otteniamo un ricoprimento numerabile di $X xx Y$.
Mi rendo conto che è un pò contorto ma spero che almeno l'idea di fondo (se è giusta) si capisca...
Mi rendo conto che è un pò contorto ma spero che almeno l'idea di fondo (se è giusta) si capisca...
21) Show that every connected normal space having more than one point is uncountable.
Sia $X$ il nostro spazio. Per ipotesi esistono due punti distinti $x$ e $y$. I singoletti ${x}$ e ${y}$ sono chiusi (perche se $X$ è normale allora è anche $T_1$) e disgiunti. Per il Lemma di Urysonh esiste una funzione continua $f: X \rightarrow [0,1]$ tale che $f(x)=0$ e $f(y)=1$. Siccome $X$ è connesso vale il teorema dei valori intermedi. Quindi la funzione $f$ assume tutti i valori compresi fra $0=f(x)$ e $1=f(y)$, in altre parole è surriettiva. Ma non può esistere una funzione surriettiva da un insieme numerabile su $[0,1]$. Pertanto $X$ ha come minimo la cardinalità del continuo.
Sia $X$ il nostro spazio. Per ipotesi esistono due punti distinti $x$ e $y$. I singoletti ${x}$ e ${y}$ sono chiusi (perche se $X$ è normale allora è anche $T_1$) e disgiunti. Per il Lemma di Urysonh esiste una funzione continua $f: X \rightarrow [0,1]$ tale che $f(x)=0$ e $f(y)=1$. Siccome $X$ è connesso vale il teorema dei valori intermedi. Quindi la funzione $f$ assume tutti i valori compresi fra $0=f(x)$ e $1=f(y)$, in altre parole è surriettiva. Ma non può esistere una funzione surriettiva da un insieme numerabile su $[0,1]$. Pertanto $X$ ha come minimo la cardinalità del continuo.
"perplesso":Non mi è tanto chiaro questo passaggio, forse pure un po colpa della notazione non proprio liscia!
...Adesso per ogni $U_i$ scegliamo uno dei ricoprimenti $C_x$ tale che $U_i xx Y \subset \bigcup C_x$. Otteniamo così una collezione numerabile di ricoprimenti finiti $C_1,C_2,...$
Si scusa ... allora l'idea è questa io prendo il rettangolo $X xx Y$ e usando il lemma del tubo lo divido in tanti tubi. Quanti? Un'infinità numerabile (posso farlo perchè $X$ è Lindelof). Poi ogni tubo lo posso coprire con un numero finito di aperti (posso farlo perchè $Y$ è compatto). Sulla notazione hai perfettamente ragione, con il simbolo $\bigcup C_x$ intendevo $ \bigcup_{A \in C_x} A$ (pensavo che quest'ultima notazione fossse un pò ridondante, la prima invece è più snella, la utilizza un testo di teoria degli insieme che sto leggendo in queti giorni... )
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