Esercizi di topologia
1) Sia $ X $ uno spazio topologico e siano $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ X $ e $ A_n $ una successione di parti di $ X $. Indichiamo con $ \bar A $ la chiusura di $ A $ in $ X $. Confutare con un controesempio le seguenti uguaglianze:
a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $
b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $
c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $
Svolgimento
a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $
b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $
c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $
Fatto bene? Grazie!
a) $ \bar { \bigcup A_n } = \bigcup \bar A_n $
b) $ \bar { \bigcap A_n } = \bigcap \bar A_n $
c) $ \bar {A-B} = \bar A - \bar B $
Svolgimento
a) In $ R $ si ha $ \bar { \bigcup (1/n , 1) } = [0,1] $ mentre $ \bigcup \bar {(1/n , 1)} = \bigcup [1/n,1]= (0,1] $
b) In $R $ si ha che $ \bar { \bigcap (0,1/n) } $ è vuoto mentre $ \bigcap \bar {(0,1/n)} = \bigcap [0,1/n] = {0} $
c) Sempre in $ R $ si ha $ \bar { (0,2)- {1} } = [0,2] $ mentre $ \bar {(0,2)} - bar {{1}} = [0,2]-{1}= [0,1) \cup (1,2] $
Fatto bene? Grazie!
Risposte
20) Well done! 
21) Puoi riportare la tua definizione di spazio normale
prima di diventare babilonesi.
21) Puoi riportare la tua definizione di spazio normale
prima di diventare babilonesi.
Riporto la definizione dal Munkres
Suppose $X$ is a $T_1$ space. The space $X$ is said to be normal if for each pair $A,B$ of disjoint closed sets of $X$ there exist disjoint open sets containing $A$ and $B$ respectively.
In parole povere possiamo separare i chiusi...
Suppose $X$ is a $T_1$ space. The space $X$ is said to be normal if for each pair $A,B$ of disjoint closed sets of $X$ there exist disjoint open sets containing $A$ and $B$ respectively.
In parole povere possiamo separare i chiusi...
In effetti wikipedia questo assioma lo chiama Normal Hausdorff ($T_4$) http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom#Main_definitions
Anche il 21 è risolto.
Non a caso ti ho domandato la definizione che usi di spazio topologico normale, come hai letto da solo su wikipedia.
§§§
Prima di proporre finalmente l'esercizio che ho in mente, preferisco ricordare alcune definizioni.
Definizione 1. Siano \((X;\mathcal{T}_1)\) e \((Y;\mathcal{T}_2)\), \(f:X\to Y\); l'applicazione \(f\) si definisce omeomorfismo se è biettiva e bicontinua, ovvero sono applicazioni continue sia \(f\) che \(f^{-1}\).
In particolare \(X\) e \(Y\) si definiscono spazi omeomorfi.
Definizione 2. Siano \((X;\mathcal{T})\) uno spazio topologico e \(\mathscr{P}\) una proprietà soddisfatta dall'insieme \(X\); tale proprietà si definisce topologica se è soddisfatta da ogni spazio topologico omeomorfo a \((X;\mathcal{T})\), ovvero se è invariante per omeomorfismi.
Esempio 1. Le proprietà di connessione, connessione per cammini, compattezza, \(\mathrm{T}_i\) ovvero click e via discorrendo sono proprietà topologiche.
E qui iniziano le rotture, secondo me!
Definizione 3. Sia \(\mathscr{P}\) una proprietà topologica, uno spazio topologico \((X;\mathcal{T})\) si definisce localmente-\(\mathscr{P}\) se per ogni suo punto \(x_0\) esiste un sistema fondamentale di intorni \(\mathcal{U}(x_0)\) tale che \(\forall U\in\mathcal{U}(x_0)\) lo spazio topologico \(\left(U;\mathcal{T}_{|U}\right)\) soddisfa la proprietà \(\mathscr{P}\).
Esempio 2. Si può parlare di spazi topologici localmente finiti, localmente connessi per cammini, localmente \(\mathrm{T}_i\), e.o.
Quel che mi interessa mettere in evidenza è la definizione di spazio topologico localmente compatto; normalmente si legge questa definizione, tipo sul libro di Munkres.
Definizione 3 bis. Uno spazio di Hausdorff si definisce localmente compatto se per ogni suo punto esiste un intorno compatto.
Ecco l'esercizio, non credo più avvolto nel mistero:
Esercizio 22. Sia \((X;\mathcal{T})\) uno spazio di Hausdorff, dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:
Non a caso ti ho domandato la definizione che usi di spazio topologico normale, come hai letto da solo su wikipedia.
§§§
Prima di proporre finalmente l'esercizio che ho in mente, preferisco ricordare alcune definizioni.
Definizione 1. Siano \((X;\mathcal{T}_1)\) e \((Y;\mathcal{T}_2)\), \(f:X\to Y\); l'applicazione \(f\) si definisce omeomorfismo se è biettiva e bicontinua, ovvero sono applicazioni continue sia \(f\) che \(f^{-1}\).
In particolare \(X\) e \(Y\) si definiscono spazi omeomorfi.
Definizione 2. Siano \((X;\mathcal{T})\) uno spazio topologico e \(\mathscr{P}\) una proprietà soddisfatta dall'insieme \(X\); tale proprietà si definisce topologica se è soddisfatta da ogni spazio topologico omeomorfo a \((X;\mathcal{T})\), ovvero se è invariante per omeomorfismi.
Esempio 1. Le proprietà di connessione, connessione per cammini, compattezza, \(\mathrm{T}_i\) ovvero click e via discorrendo sono proprietà topologiche.
E qui iniziano le rotture, secondo me!
Definizione 3. Sia \(\mathscr{P}\) una proprietà topologica, uno spazio topologico \((X;\mathcal{T})\) si definisce localmente-\(\mathscr{P}\) se per ogni suo punto \(x_0\) esiste un sistema fondamentale di intorni \(\mathcal{U}(x_0)\) tale che \(\forall U\in\mathcal{U}(x_0)\) lo spazio topologico \(\left(U;\mathcal{T}_{|U}\right)\) soddisfa la proprietà \(\mathscr{P}\).
Esempio 2. Si può parlare di spazi topologici localmente finiti, localmente connessi per cammini, localmente \(\mathrm{T}_i\), e.o.
Quel che mi interessa mettere in evidenza è la definizione di spazio topologico localmente compatto; normalmente si legge questa definizione, tipo sul libro di Munkres.
Definizione 3 bis. Uno spazio di Hausdorff si definisce localmente compatto se per ogni suo punto esiste un intorno compatto.
Ecco l'esercizio, non credo più avvolto nel mistero:
Esercizio 22. Sia \((X;\mathcal{T})\) uno spazio di Hausdorff, dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:
[1] è localmente compatto nel senso della definizione 3;
[2] è localmente compatto nel senso della definizione 3 bis;
[3] per ogni punto esiste un intorno a chiusura compatta;
[4] per ogni punto esiste un sistema fondamentale di intorni a chiusura compatta.
[/list:u:16ycr23n]
Esercizio 22 extra. E se lo spazio topologico non fosse di Hausdorff?
Per gli amici e i conoscenti, gli spazi di Hausdorff localmente compatti sono indicati con l'acronimo LCH (locally compact Hausdorff (space)).
Spero non aver scritto boiate.
Chiedo scusa se rispolvero questo topic ma mi sembrava bello da segnalare questo schemino riassuntivo tratto dalle note di topologia scaricabili dal sito di Jesper Moller.
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