Dimensione e base del sottospazio
Ciao a tutti. Mi sono appena iscritto... Ho trovato questo forum molto interessante e utile e ho deciso di scrivere per risolvere i miei dubbi (dato che tra poco ho un esame di algebra lineare) 
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non riesco proprio a capire come si fa...
Ecco il testo:
"Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
$ V={ (x,y,z) \in R^3 | x - 2y + z =0, x+y=0} $
Le soluzioni sono dim=1, base : (1,-1,-3).
Grazie in anticipo
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non riesco proprio a capire come si fa...
Ecco il testo:
"Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
$ V={ (x,y,z) \in R^3 | x - 2y + z =0, x+y=0} $
Le soluzioni sono dim=1, base : (1,-1,-3).
Grazie in anticipo
Risposte
${(x-2y+z=0),(x+y=0):}=>{(-y-2y+z=0),(x=-y):}=>{(z=3y),(x=-y):}$
Prova ad andare avanti tu
Prova ad andare avanti tu
grazie gio ma non so proprio cosa fare da sto punto in poi! e non capisco nemmeno il perchè dei passaggi che hai fatto! avevo già trovato qualcosa del genere su google ma non l'avevo proprio capito! d'altronde il libro su cui sto studiando, dice davvero poco dei sottospazi vettoriali...
Per trovare una base dello spazio basta risolvere il sistema composto dalle due equazioni in funzione di una delle tre variabili. Scegliendo, ad esempio, y ottieni: $x=-y$ e $z=3y$ quindi poni y=k e otterrai che le infinite soluzioni del tuo sistema dipendono da un solo parametro e hanno questa forma: $ { ( x=-k ),( y=k ),( z=3k ):} $
Quindi la base avrà forma: $(-k, k, 3k)$. k varia in tutto l'insieme dei numeri reali, quindi puoi attribuirgli il valore che vuoi. In genere si fa in modo che la x sia positiva, quindi nel tuo caso è stato scelto k=-1. Per cui: (1, -1, -3). Si tratta di un unico vettore quindi dimV=1 (saprai che la dimensione di uno spazio è dato dalla cardinalità delle sue basi). Spero di aver detto cose sensate!
Quindi la base avrà forma: $(-k, k, 3k)$. k varia in tutto l'insieme dei numeri reali, quindi puoi attribuirgli il valore che vuoi. In genere si fa in modo che la x sia positiva, quindi nel tuo caso è stato scelto k=-1. Per cui: (1, -1, -3). Si tratta di un unico vettore quindi dimV=1 (saprai che la dimensione di uno spazio è dato dalla cardinalità delle sue basi). Spero di aver detto cose sensate!
Quoto in pieno quanto detto da nina91
grazie mille nina! studi ingegneria?
studi ingegneria?
dato che mi avete aiutato, posto altri dubbi riguardanti l'argomento:
Un esercizio mi chiede:
"determinare una base del sottospazio R^4 generato dai vettori u=(1,0,-1,1), v=(2,1,0,3) e w=(0,-1,-2,-1)" Io ho ragionato così: dato che i vettori sono linearmente indipendenti costituiscono la base stessa, giusto?
Un altro esercizio mi chiede: "determinare il sistema lineare omogeneo che rappresenta il sottospazio di R^4 generato dai vettori u= (1,0,-1,0) e v =(1,0,0,2)..." per risolverlo, ho scritto una matrice con questi due vettori e, sapendo che il rango è uguale a 2 (dato che i vettori sono due), con la regola di kronecker ho trovato il sistema. Giusto?
Un altro esercizio mi chiede: "determinare gli eventuali valori del parametro reale h per i quali il sottospazio generato dai vettori v1=(1,2,0,-1), v2=(0,3,1,2), v3= (h,-1,-1,-3) ha dimensione 2... Ecco questo non so esattamente come risolverlo.
Infine questo esercizio: "Dati i sottospazi V=span(0,1,1,1),(1,0,-1-1) e W=span(1,0,1,1),(2,1,0,0) di R^4, determinare una base di V(intersezione)W" questo non so proprio farlo!
Grazie a tutti per l'aiuto
Un esercizio mi chiede:
"determinare una base del sottospazio R^4 generato dai vettori u=(1,0,-1,1), v=(2,1,0,3) e w=(0,-1,-2,-1)" Io ho ragionato così: dato che i vettori sono linearmente indipendenti costituiscono la base stessa, giusto?
Un altro esercizio mi chiede: "determinare il sistema lineare omogeneo che rappresenta il sottospazio di R^4 generato dai vettori u= (1,0,-1,0) e v =(1,0,0,2)..." per risolverlo, ho scritto una matrice con questi due vettori e, sapendo che il rango è uguale a 2 (dato che i vettori sono due), con la regola di kronecker ho trovato il sistema. Giusto?
Un altro esercizio mi chiede: "determinare gli eventuali valori del parametro reale h per i quali il sottospazio generato dai vettori v1=(1,2,0,-1), v2=(0,3,1,2), v3= (h,-1,-1,-3) ha dimensione 2... Ecco questo non so esattamente come risolverlo.
Infine questo esercizio: "Dati i sottospazi V=span(0,1,1,1),(1,0,-1-1) e W=span(1,0,1,1),(2,1,0,0) di R^4, determinare una base di V(intersezione)W" questo non so proprio farlo!
Grazie a tutti per l'aiuto
nessuno mi può aiutare?
helpppp
"Superandri91":Non mi sembrano linearmente indipendenti
"determinare una base del sottospazio $RR^4$ generato dai vettori $u=(1,0,-1,1)$, $v=(2,1,0,3)$ e $w=(0,-1,-2,-1)$"
Io ho ragionato così: dato che i vettori sono linearmente indipendenti costituiscono la base stessa, giusto?
come no? essendoci uno zero al terzo vettore non posso moltiplicare il primo o il secondo e ottenere il terzo vettore... quindi sono indipendenti!
non è così che devi ragionare: per vedere se sono indipendenti devi dimostrare che, se hai
$a*(1,0,-1,1)+b*(2,1,0,3)+c*(0,-1,-2,-1)=(0,0,0,0)$, allora $a=b=c=0$ è l'unica possibile soluzione
Ma non è così: ad esempio anche $a=2$, $b=-1$, $c=-1$ la è.
Anche senza fare tutto questo ragionamento, puoi notare che $2u-v=w$, da cui la dipendenza
$a*(1,0,-1,1)+b*(2,1,0,3)+c*(0,-1,-2,-1)=(0,0,0,0)$, allora $a=b=c=0$ è l'unica possibile soluzione
Ma non è così: ad esempio anche $a=2$, $b=-1$, $c=-1$ la è.
Anche senza fare tutto questo ragionamento, puoi notare che $2u-v=w$, da cui la dipendenza
a ok! quindi per vedere se sono indipendenti basta fare il calcolo che hai fatto tu? va bene sempre fare cosi? e se vengono altre soluzioni, escludo l'ultimo vettore? grazie gi8 mi stai davvero aiutando a capire! per gli altri es?
"Superandri91":Sì, o comunque uno dei tre
a ok! quindi per vedere se sono indipendenti basta fare il calcolo che hai fatto tu? va bene sempre fare cosi? e se vengono altre soluzioni, escludo l'ultimo vettore?
perfetto! per quando riguarda gli altri? sai aiutarmi? grazie
"Superandri91":Beh, qui basta prendere la matrice $A=(v_1,v_2,v_3)$ (cioè la matrice formata dai tre vettori messi in colonna) e trovarne il rango.
"determinare gli eventuali valori del parametro reale $h$ per i quali
il sottospazio generato dai vettori $v_1=(1,2,0,-1)$, $v_2=(0,3,1,2)$, $v_3= (h,-1,-1,-3)$ ha dimensione 2"
Devi imporre che il rango sia $2$
ok! come ho scritto io, no? ma se metto i vettori in riga anzichè in colonna va bene lo stesso?
Sì, non cambia nulla. Ma tu mettili in colonna.
Per quanto riguarda gli altri esercizi, perdonami ma non ricordo un procedimento preciso per risolverli.
Attendi qualcun altro più competente
Per quanto riguarda gli altri esercizi, perdonami ma non ricordo un procedimento preciso per risolverli.
Attendi qualcun altro più competente
ah ok! neanche l'ultimo? non avresti magari un qualcosa con degli esercizi svolti? perchè di queste cose trovo ben poco... Grazie
Guarda, più che dirti di cercare nel forum esercizi simili (penso che ce ne siano) non so cosa altro consigliarti
Facciamo l'ultimo. Hai [tex]V = <(0,1,1,1), (1,0,-1,-1)>[/tex] e [tex]W = <(1,0,1,1), (2,1,0,0)>[/tex].
Saremmo di certo più felici se uno dei due sistemi fosse espresso in forma cartesiana, ma pazienza, dobbiamo arrangiarci con quello che abbiamo!
Un elemento generico del primo spazio si scrive [tex](y,x,x-y,x-y)[/tex] e un elemento generico del secondo sottospazio si scrive [tex](z+2w,w,z,z)[/tex]. Ora preso [tex]\mathbf v \in V[/tex] imponiamo [tex]\mathbf v \in W[/tex]. Allora dovrà poter essere possibile scrivere [tex](y,x,x-y,x-y) = \mathbf v = (z + 2w,w,z,z)[/tex], da cui il sistema
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{matrix} \right)[/tex]
La soluzione di questo sistema fornirà una base dell'intersezione. Ti è chiaro?
Saremmo di certo più felici se uno dei due sistemi fosse espresso in forma cartesiana, ma pazienza, dobbiamo arrangiarci con quello che abbiamo!
Un elemento generico del primo spazio si scrive [tex](y,x,x-y,x-y)[/tex] e un elemento generico del secondo sottospazio si scrive [tex](z+2w,w,z,z)[/tex]. Ora preso [tex]\mathbf v \in V[/tex] imponiamo [tex]\mathbf v \in W[/tex]. Allora dovrà poter essere possibile scrivere [tex](y,x,x-y,x-y) = \mathbf v = (z + 2w,w,z,z)[/tex], da cui il sistema
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{matrix} \right)[/tex]
La soluzione di questo sistema fornirà una base dell'intersezione. Ti è chiaro?
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