Dimensione e base del sottospazio

[Superandri91]

Ciao a tutti. Mi sono appena iscritto... Ho trovato questo forum molto interessante e utile e ho deciso di scrivere per risolvere i miei dubbi (dato che tra poco ho un esame di algebra lineare)
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non riesco proprio a capire come si fa...
Ecco il testo:
"Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
$ V={ (x,y,z) \in R^3 | x - 2y + z =0, x+y=0} $
Le soluzioni sono dim=1, base : (1,-1,-3).
Grazie in anticipo

[Superandri91]

Pure io! Piacere ahahaha

[Superandri91]

ahah finalmente ho capito la matrice per righe... grazie maurer. e rileggendo i post indietro, dove hai parlato per la prima volta di questo tipo di matrice, tu mi dici che l'intersezione tra v e w è 0, quindi la somma è diretta. e mi chiedi come faccio a sapere che l'inters. è 0... quello non l'ho ancora capito!

[maurer]

"maurer":
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
è ridotta per righe. Pertanto se [tex]W[/tex] è il sottospazio di partenza, denotiamo con [tex]V = \langle (0,0,0,1) \rangle[/tex]. Per quanto appena visto [tex]W + V = \mathbb R^4[/tex]. Inoltre [tex]W \cap V = \langle \mathbf 0 \rangle[/tex]. Questa mia "rapida" affermazione, tu sapresti giustificarla?

Mmm... Osserva che siccome unendo i generatori di [tex]V[/tex] a quelli di [tex]W[/tex] ottieni un insieme linearmente indipendente formato da quattro elementi (questo ce lo dice l'ultima matrice che ho scritto) e pertanto [tex]\text{dim}(V + W) = 4[/tex] (ossia [tex]V + W = \mathbb R^4[/tex]). Adesso applica la formula di Grassmann: [tex]\text{dim} ( W \cap V ) = \text{dim}(V + W) - \text{dim}(V) - \text{dim}(W) = 4 - 3 - 1 = 0[/tex], da cui [tex]W \cap V = \langle \mathbf 0 \rangle[/tex].

Felice che tu abbia capito la riduzione per righe!