Dimensione e base del sottospazio
Ciao a tutti. Mi sono appena iscritto... Ho trovato questo forum molto interessante e utile e ho deciso di scrivere per risolvere i miei dubbi (dato che tra poco ho un esame di algebra lineare) 
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non riesco proprio a capire come si fa...
Ecco il testo:
"Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
$ V={ (x,y,z) \in R^3 | x - 2y + z =0, x+y=0} $
Le soluzioni sono dim=1, base : (1,-1,-3).
Grazie in anticipo
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non riesco proprio a capire come si fa...
Ecco il testo:
"Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
$ V={ (x,y,z) \in R^3 | x - 2y + z =0, x+y=0} $
Le soluzioni sono dim=1, base : (1,-1,-3).
Grazie in anticipo
Risposte
Grazie della risposta ma sinceramente non ho capito il perchè di ogni passaggio e neanche come risolverlo!
Beh, sii più preciso, e cercherò di rispondere ai tuoi dubbi. Quali sono esattamente i passaggi che ti sono oscuri?
Sinceramente tutti! Ho provato a trasformarli in equazioni e cosi ce l'ho fatta ma dei tuoi passaggi ho capito ben poco!
Allora...
Noi vogliamo una base di [tex]V \cap W[/tex]. La prima cosa da fare è, in questi casi, cercare di scrivere tutti gli elementi di [tex]V \cap W[/tex], ossia trovare una formula per il suo elemento generico.
Se [tex]\mathbf v \in V \cap W[/tex] allora dovrà essere combinazione lineare di [tex](0,1,1,1)[/tex] e di [tex](1,0,-1,-1)[/tex] perché [tex]\mathbf v \in V[/tex]. Fin qui ci sei?
Ma [tex]\mathbf v \in W[/tex] e quindi dovrà anche essere combinazione lineare degli elementi di [tex](1,0,1,1)[/tex] e [tex](2,1,0,0)[/tex]. Pertanto possiamo scrivere contemporaneamente [tex]\mathbf v = x (0,1,1,1) + y (1,0,-1,-1) = z(1,0,1,1) + w(2,1,0,0)[/tex], ossia [tex](y,x,x-y,x-y) = (z + 2w, w, z,z)[/tex]. Quest'uguaglianza di vettori corrisponde a quattro equazioni lineari in quattro incognite.
A causa del ragionamento che abbiamo fatto le coordinate di ogni elemento di [tex]V \cap W[/tex] dovranno essere soluzione di questo sistema. Ma vale anche il viceversa (perché?). Quindi l'insieme delle soluzioni di questo sistema è esattamente [tex]V \cap W[/tex]. Adesso abbiamo un sottospazio vettoriale rappresentato da equazioni cartesiane. Lo risolviamo nel modo standard e troviamo la base di [tex]V \cap W[/tex].
Mi sono spiegato un po' meglio?
Noi vogliamo una base di [tex]V \cap W[/tex]. La prima cosa da fare è, in questi casi, cercare di scrivere tutti gli elementi di [tex]V \cap W[/tex], ossia trovare una formula per il suo elemento generico.
Se [tex]\mathbf v \in V \cap W[/tex] allora dovrà essere combinazione lineare di [tex](0,1,1,1)[/tex] e di [tex](1,0,-1,-1)[/tex] perché [tex]\mathbf v \in V[/tex]. Fin qui ci sei?
Ma [tex]\mathbf v \in W[/tex] e quindi dovrà anche essere combinazione lineare degli elementi di [tex](1,0,1,1)[/tex] e [tex](2,1,0,0)[/tex]. Pertanto possiamo scrivere contemporaneamente [tex]\mathbf v = x (0,1,1,1) + y (1,0,-1,-1) = z(1,0,1,1) + w(2,1,0,0)[/tex], ossia [tex](y,x,x-y,x-y) = (z + 2w, w, z,z)[/tex]. Quest'uguaglianza di vettori corrisponde a quattro equazioni lineari in quattro incognite.
A causa del ragionamento che abbiamo fatto le coordinate di ogni elemento di [tex]V \cap W[/tex] dovranno essere soluzione di questo sistema. Ma vale anche il viceversa (perché?). Quindi l'insieme delle soluzioni di questo sistema è esattamente [tex]V \cap W[/tex]. Adesso abbiamo un sottospazio vettoriale rappresentato da equazioni cartesiane. Lo risolviamo nel modo standard e troviamo la base di [tex]V \cap W[/tex].
Mi sono spiegato un po' meglio?
Ok io ho trovato subito le equazioni cartesiane e le ho messe a sistema... Ho poi trovayo una base... È la stessa cosa, no? E comunque il passaggio alle matrici non l'ho capito ancora... Ho un altro problema che non capisco: puoi aiutarmi? "Sia W il sottospazio di R^4 generato dai vettori w1=(1,-1,2,0), w2=(3,1,0,1) e w3=(1,0,0,0).
a) determinare dimW
b) determinare una base di un sottospazio U di R^4 tale che W + (piu col simbolo di somma diretta) U= R^4."
grazie mille
a) determinare dimW
b) determinare una base di un sottospazio U di R^4 tale che W + (piu col simbolo di somma diretta) U= R^4."
grazie mille
"Superandri91":
Ok io ho trovato subito le equazioni cartesiane e le ho messe a sistema... Ho poi trovayo una base... È la stessa cosa, no? E comunque il passaggio alle matrici non l'ho capito ancora...
Da un punto di vista teorico sì. Da un punto di vista pratico no. Mi spiego: arrivi lo stesso al risultato che ti interessa, ma in tempi incredibilmente più lunghi. E la tempistica è un fattore da non sottovalutare in un esame come quello di algebra lineare / geometria 1 (il mio compito era davvero eterno!).
Per quanto riguarda il passaggio alla matrice... ho semplicemente scritto
[tex]x(0,1,1,1) + y(1,0,-1,-1) - z(1,0,1,1) - w(2,1,0,0) = \mathbf v - \mathbf v = \mathbf 0[/tex]
ossia
[tex](y - z - 2w, x - w, x - y - z, x - y - z) = (0,0,0,0)[/tex]
e quindi esplicitamente
[tex]\begin{cases} y - z - 2w = 0 \\ x - w = 0 \\ x - y - z = 0 \\ x - y - z = 0\end{cases}[/tex]
che in forma compatta diventa
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & - 1 & -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)[/tex]
Prima di andare avanti vorrei chiarire questo ragionamento...
Ok... E la risolvo con cramer, giusto? comunque guardando la marea dei conti penso sia piu veloce il mio metodo perche in due minuti l'ho risolto...
Bah, Cramer non va molto bene. Molto meglio una riduzione di Gauss.
Comunque se davvero ti sembra più rapido l'altro metodo, nessuno ti obbliga a seguire questo... E' solo che ricavare le equazioni del sottospazio potrebbe essere un po' lungo!
Scusa, proprio una questione pratica: devi fare dei conti per ricavare le equazioni cartesiane di [tex]V[/tex] e per nullità più rango ne troverai 2; la stessa cosa per [tex]W[/tex] e ne troverai altre 2. Poi le devi mettere a sistema e risolvere, che significa risolvere un sistema in quattro equazioni e quattro incognite, cioè della stessa dimensione di quello che ti ho suggerito io. Quindi con il tuo metodo farai quasi sempre molti conti in più! Anche perché a casa mia per trovare le equazioni di un sottospazio devo risolvere un sistema o calcolare un sacco di determinanti e quindi con il tuo metodo devi risolvere ben tre sistemi, mentre io ne risolvo solo uno... Adesso la pianto, non vorrei sembrare più insistente del dovuto!
Veniamo al secondo esercizio. Tu come faresti? Almeno per il punto a) sapresti dare qualche idea?
Comunque se davvero ti sembra più rapido l'altro metodo, nessuno ti obbliga a seguire questo... E' solo che ricavare le equazioni del sottospazio potrebbe essere un po' lungo!
Scusa, proprio una questione pratica: devi fare dei conti per ricavare le equazioni cartesiane di [tex]V[/tex] e per nullità più rango ne troverai 2; la stessa cosa per [tex]W[/tex] e ne troverai altre 2. Poi le devi mettere a sistema e risolvere, che significa risolvere un sistema in quattro equazioni e quattro incognite, cioè della stessa dimensione di quello che ti ho suggerito io. Quindi con il tuo metodo farai quasi sempre molti conti in più! Anche perché a casa mia per trovare le equazioni di un sottospazio devo risolvere un sistema o calcolare un sacco di determinanti e quindi con il tuo metodo devi risolvere ben tre sistemi, mentre io ne risolvo solo uno... Adesso la pianto, non vorrei sembrare più insistente del dovuto!
Veniamo al secondo esercizio. Tu come faresti? Almeno per il punto a) sapresti dare qualche idea?
Scusa ma per chiarirmi le idee piu in fretta non hai qualche contatto con cui chattare? Eventualmebte mandamelo inpvt!
No sorry! Al momento ne sono sprovvisto... 
Comunque io sono qui. Possiamo darci botta e risposta su questo thread! E per te è meglio, perché sono questioni su cui devi riflettere autonomamente, per assimilarle!
Comunque io sono qui. Possiamo darci botta e risposta su questo thread! E per te è meglio, perché sono questioni su cui devi riflettere autonomamente, per assimilarle!
Lo so ma tipo con la matrice mi hai messo dubbi parlando del metodo di gauss (che non capisco come si applica)! Per quanto riguarda l'es che ho postato so ricavare solo la dimensione perchè essendo tre vettori l.i., sono una base e quindi la dim è 3!
"Superandri91":
Lo so ma tipo con la matrice mi hai messo dubbi parlando del metodo di gauss (che non capisco come si applica)!
Questo è assai grave. La riduzione di Gauss è lo strumento principe per affrontare ogni sistema lineare. Ed è uno dei metodi algoritmicamente più efficaci in nostro possesso. Figurati che è implementata, con i dovuti accorgimenti, anche su programmi del calibro di Matlab!
Prima di affrontare ogni altro problema devi assolutamente prendere dimestichezza con questo algoritmo, cioè devi fare un sacco di esercizi sull'applicazione di questo algoritmo.
Per quanto riguarda l'altra risposta, va bene, i vettori sono linearmente indipendenti. Ma comunque l'algoritmo di estrazione lo conosci? Ad esempio, se ti chiedessi di trovare una base dello spazio generato da [tex](1,0,2,0), (3, 4,4, -1), (1,4,0,-1), (0,4,-2,-1)[/tex] sapresti farlo?
"Superandri91":
Lo so ma tipo con la matrice mi hai messo dubbi parlando del metodo di gauss (che non capisco come si applica)! Per quanto riguarda l'es che ho postato so ricavare solo la dimensione perchè essendo tre vettori l.i., sono una base e quindi la dim è 3!
Un metodo alternativo a quello di gauss, ma non del tutto indipendente e quello di sfruttare il concetto di rango e "semplificare" le equazioni che compaiono in un sistema lineare. Personalmente, io mi sono abituato a ridurre prima la matrice con il metodo di Gauss e poi ad eliminare le equazioni inutili e individuare i parametri liberi valutandone il rango. Di Gauss, però, proprio non se ne può fare a meno. Devi impararlo assolutamente.
"lisdap":
Un metodo alternativo a quello di gauss, ma non del tutto indipendente e quello di sfruttare il concetto di rango e "semplificare" le equazioni che compaiono in un sistema lineare. Personalmente, io mi sono abituato a ridurre prima la matrice con il metodo di Gauss e poi ad eliminare le equazioni inutili e individuare i parametri liberi valutandone il rango. Di Gauss, però, proprio non se ne può fare a meno. Devi impararlo assolutamente.
Hai ragione quando dici che non è indipendente. In particolare rimane, algoritmicamente parlando, il problema di
- 1. determinare il rango della matrice;
2. trovare delle righe linearmente indipendenti.[/list:u:362v3i0l]
Qualcuno potrebbe obiettare che esiste il metodo degli orlati. Ma io mi chiedo perché ci si ostini ad insegnarlo. Esattamente come mi chiedo che senso ha continuare ad usare Cramer. Computazionalmente è uno degli algoritmi più fallimentari della storia (anche se magari dal punto di vista puramente teorico qualche vantaggio potrebbe averlo...).
"maurer":
[quote="lisdap"]
Un metodo alternativo a quello di gauss, ma non del tutto indipendente e quello di sfruttare il concetto di rango e "semplificare" le equazioni che compaiono in un sistema lineare. Personalmente, io mi sono abituato a ridurre prima la matrice con il metodo di Gauss e poi ad eliminare le equazioni inutili e individuare i parametri liberi valutandone il rango. Di Gauss, però, proprio non se ne può fare a meno. Devi impararlo assolutamente.
Hai ragione quando dici che non è indipendente. In particolare rimane, algoritmicamente parlando, il problema di
- 1. determinare il rango della matrice;
2. trovare delle righe linearmente indipendenti.[/list:u:ge62trh8]
Qualcuno potrebbe obiettare che esiste il metodo degli orlati. Ma io mi chiedo perché ci si ostini ad insegnarlo. Esattamente come mi chiedo che senso ha continuare ad usare Cramer. Computazionalmente è uno degli algoritmi più fallimentari della storia (anche se magari dal punto di vista puramente teorico qualche vantaggio potrebbe averlo...).[/quote]
Cosi come il metodo della matrice inversa, troppo laborioso secondo me..
Ah, sì. Su questo si potrebbe discutere. Dipende da un sacco di cose. Ci sono certi esercizi in cui si devono risolvere un sacco di sistemi lineari tutti con la stessa matrice dei coefficienti. Può anche succedere che i sistemi non siano tutti noti subito, ma che lo diventino man mano che si svolge l'esercizio.
In una situazione simile, probabilmente la scelta migliore è calcolare l'inversa, perché fare poi il prodotto righe per colonne è un'operazione rapida e a basso rischio di errori. Invece risolvere tre sistemi lineari in tempi diversi è sicuramente più macchinoso, anche se le operazioni da effettuare sarebbero le stesse.
Se invece i sistemi sono tutti noti immediatamente, probabilmente la scelta migliore è di risolvere un sistema matriciale con metodo di eliminazione di Gauss.
Da un punto di vista computazionale, però, hai perfettamente ragione. Se dovessi implementare un algoritmo, il calcolo della matrice inversa è sconsigliatissimo.
In una situazione simile, probabilmente la scelta migliore è calcolare l'inversa, perché fare poi il prodotto righe per colonne è un'operazione rapida e a basso rischio di errori. Invece risolvere tre sistemi lineari in tempi diversi è sicuramente più macchinoso, anche se le operazioni da effettuare sarebbero le stesse.
Se invece i sistemi sono tutti noti immediatamente, probabilmente la scelta migliore è di risolvere un sistema matriciale con metodo di eliminazione di Gauss.
Da un punto di vista computazionale, però, hai perfettamente ragione. Se dovessi implementare un algoritmo, il calcolo della matrice inversa è sconsigliatissimo.
bah non so di cosa state parlando... noi il metodo di gauss non l'abbiamo fatto o meglio solo accennato sul libro... ho anche provato a cercare applicazioni su internet e sinceramente mi sembra molto piu complicato di cramer... comunque tu mi chiedevi di cercare la base dello spazio generato da quei vettori... guardo se sono l.i. e trovo la base, no?
Questo è assai strano... Comunque ti assicuro che una volta assimilato il metodo di Gauss comporta moltissimi conti in meno di quello di Cramer.
Per quanto riguarda l'insieme che ti ho dato, perché non provi a farlo? Li ho scelti apposta in modo che fossero linearmente dipendenti!
Per quanto riguarda l'insieme che ti ho dato, perché non provi a farlo? Li ho scelti apposta in modo che fossero linearmente dipendenti!
farlo in che senso? se sono l.i. allora quella è la base. risolto
Per favore leggi con attenzione quello che ho scritto:
Quei vettori sono dipendenti, non indipendenti!
"maurer":
Per quanto riguarda l'insieme che ti ho dato, perché non provi a farlo? Li ho scelti apposta in modo che fossero linearmente dipendenti!
Quei vettori sono dipendenti, non indipendenti!
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