Dimensione e base del sottospazio
Ciao a tutti. Mi sono appena iscritto... Ho trovato questo forum molto interessante e utile e ho deciso di scrivere per risolvere i miei dubbi (dato che tra poco ho un esame di algebra lineare) 
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non riesco proprio a capire come si fa...
Ecco il testo:
"Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
$ V={ (x,y,z) \in R^3 | x - 2y + z =0, x+y=0} $
Le soluzioni sono dim=1, base : (1,-1,-3).
Grazie in anticipo
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non riesco proprio a capire come si fa...
Ecco il testo:
"Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale
$ V={ (x,y,z) \in R^3 | x - 2y + z =0, x+y=0} $
Le soluzioni sono dim=1, base : (1,-1,-3).
Grazie in anticipo
Risposte
La base di cosa? Intendi dire che la matrice ha rango 3? Cioè che ci sono solo 3 righe linearmente indipendenti?
Si risolve come tutti gli altri, solo che alla fine avrai un parametro libero.
Si risolve come tutti gli altri, solo che alla fine avrai un parametro libero.
Mah! Mi vengono fuori quattro soluziono quando dovrebbero essere solo 3!
Punto primo: non possono venirti né quattro soluzioni né 3. O è una sola, oppure sono infinite. Stiamo facendo algebra lineare, mica geometria algebrica!
Poi, risolviamo quel sistema. Mi ostino a farlo con Gauss, così magari ti convinco dell'efficacia.
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{matrix} \right) \stackrel{\substack{R_1 \leftrightarrow R_2 \\ R_4 \to R_4 - R_3}}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
[tex]\stackrel{R_3 \to R_3 - R_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \stackrel{R_3 \to R_3 + R_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
Adesso che è ridotta per righe passiamo al sistema associato e lo risolviamo
[tex]\begin{cases} x - w = 0 \\ y + z - 2w = 0 \\ -w = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y + z = 0 \\ w = 0 \end{cases}[/tex]
Adesso ci rimane da scegliere un parametro tra y e z. La scelta è arbitraria e di solito la si fa in modo da ridurre il numero di termini frazionari, perché si sa, noi matematici odiamo fare i conti con le frazioni (io personalmente mi incasino tutte le volte). Qui è totalmente indifferente, quindi vado in ordine alfabetico! Scelgo z come parametro:
[tex]\begin{cases}x = 0 \\ y = -t \\ z = t \\ w = 0\end{cases}, \quad t \in \mathbb R[/tex]
Pertanto otteniamo la soluzione generale [tex]\{(0,-t,t,0), t \in \mathbb R\}[/tex]. Una base di questo sottospazio è [tex](0,-1,1,0)[/tex].
La dimensione è giusta perché è facile controllare che [tex]\text{dim}(V + W) = 3[/tex], sicché la formula di Grassman predice [tex]\text{dim}(V \cap W) = \text{dim}(V) + \text{dim}(W) - \text{dim}(V + W) = 2 + 2 - 3 = 4 - 3 = 1[/tex].
Poi, risolviamo quel sistema. Mi ostino a farlo con Gauss, così magari ti convinco dell'efficacia.
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end{matrix} \right) \stackrel{\substack{R_1 \leftrightarrow R_2 \\ R_4 \to R_4 - R_3}}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
[tex]\stackrel{R_3 \to R_3 - R_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \stackrel{R_3 \to R_3 + R_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
Adesso che è ridotta per righe passiamo al sistema associato e lo risolviamo
[tex]\begin{cases} x - w = 0 \\ y + z - 2w = 0 \\ -w = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y + z = 0 \\ w = 0 \end{cases}[/tex]
Adesso ci rimane da scegliere un parametro tra y e z. La scelta è arbitraria e di solito la si fa in modo da ridurre il numero di termini frazionari, perché si sa, noi matematici odiamo fare i conti con le frazioni (io personalmente mi incasino tutte le volte). Qui è totalmente indifferente, quindi vado in ordine alfabetico! Scelgo z come parametro:
[tex]\begin{cases}x = 0 \\ y = -t \\ z = t \\ w = 0\end{cases}, \quad t \in \mathbb R[/tex]
Pertanto otteniamo la soluzione generale [tex]\{(0,-t,t,0), t \in \mathbb R\}[/tex]. Una base di questo sottospazio è [tex](0,-1,1,0)[/tex].
La dimensione è giusta perché è facile controllare che [tex]\text{dim}(V + W) = 3[/tex], sicché la formula di Grassman predice [tex]\text{dim}(V \cap W) = \text{dim}(V) + \text{dim}(W) - \text{dim}(V + W) = 2 + 2 - 3 = 4 - 3 = 1[/tex].
non ho capito come hai fatto trovare subito che la dim(v+w) è 3 però ho capito il resto 
e non ho neppure capito perchè dici che è ridotta per righe... che c'entra la riduzione per righe con il metodo di gauss? :O
e non ho neppure capito perchè dici che è ridotta per righe... che c'entra la riduzione per righe con il metodo di gauss? :O
"maurer":
La dimensione è giusta perché è facile controllare che [tex]\text{dim}(V + W) = 3[/tex],
Ho detto che è facile da verificare. Seguendo il procedimento che ti ho descritto qualche post fa, in due passaggi ho scoperto quanto affermo.
"Superandri91":
e non ho neppure capito perchè dici che è ridotta per righe...
"maurer":
diciamo che una matrice è ridotta per righe se per ogni riga non nulla [tex]R_i[/tex] esiste un elemento [tex]a_{ij} \ne 0[/tex] tale che per ogni [tex]k > j[/tex] si abbia [tex]a_{ik} = 0[/tex].
Prendiamo la riga [tex]R_1[/tex]. Allora [tex]a_{11} = 1 \ne 0[/tex] e [tex]a_{21} = a_{31} = a_{41} = 0[/tex].
Prendiamo la riga [tex]R_2[/tex]. Allora [tex]a_{22} = 1 \ne 0[/tex] e [tex]a_{32} = a_{42} = 0[/tex].
Prendiamo la riga [tex]R_3[/tex]. Allora [tex]a_{34} = -1 \ne 0[/tex] e [tex]a_{44} = 0[/tex].
La riga [tex]R_4[/tex] è nulla.
Pertanto la definizione che ho dato di matrice ridotta per righe è soddisfatta.
"Superandri91":
che c'entra la riduzione per righe con il metodo di gauss? :O
L'algoritmo di Gauss termina quando la matrice è ridotta per righe. Per costruzione dell'algoritmo stesso: cioè, se la matrice non è ridotta per righe, allora si può sempre andare avanti con l'algoritmo di Gauss.
allora in questa matrice che hai postato due pagine fa, non si può parlare di matrice a righe... tu invece dici che è gia ridotta...
\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & 0 \ 3 & 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & 0 \ 3 & 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
"Superandri91":
allora in questa matrice che hai postato due pagine fa, non si può parlare di matrice a righe... tu invece dici che è gia ridotta...
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
Come no?!?
Applichiamo la mia definizione. Nella riga [tex]R_1[/tex] abbiamo [tex]a_{13} = 2 \ne 0[/tex] e [tex]a_{23} = a_{33} = 0[/tex]. Nella riga [tex]R_2[/tex] abbiamo [tex]a_{22} = 1 \ne 0[/tex] e [tex]a_{32} = 0[/tex], nella riga [tex]R_3[/tex] abbiamo [tex]a_{31} = 1 \ne 0[/tex]. Quindi la matrice è ridotta per righe eccome e il rango è 3.
Devi sostanzialmente guardare che in ogni riga non nulla ci sia un elemento non nullo al di sotto del quale ci siano solo zeri... E' una definizione piuttosto stupida, soprattutto da controllare!
appunto! sotto l'1 in prima posizione c'è il 3 e l'1... sotto il -1 c'è 1! quindi non è ridotta per righe!
"maurer":
diciamo che una matrice è ridotta per righe se per ogni riga non nulla [tex]R_i[/tex] esiste un elemento [tex]a_{ij} \ne 0[/tex] tale che per ogni [tex]k > j[/tex] si abbia [tex]a_{ik} = 0[/tex].
Scusa. Ho scritto male la definizione, perché - forza dell'abitudine - denoto con [tex]a_{ij}[/tex] l'elemento generico. Quella corretta è:
Diciamo che una matrice è ridotta per righe se per ogni riga non nulla [tex]R_k[/tex] esiste un elemento [tex]a_{ij} \ne 0[/tex] tale che per ogni [tex]h > j[/tex] si abbia [tex]a_{ih} = 0[/tex].
L'elemento in questione (talvolta detto elemento pivot) non deve essere sulla colonna con indice pari a quello della riga considerata. Può trovarsi su una colonna qualsiasi.
L'applicazione classica del metodo di Gauss fornisce poi una matrice in cui gli elementi pivot si trovano sulla diagonale. Non è necessario che sia verificata quest'ulteriore condizione perché la matrice sia ridotta per righe.
Ah! È cmq l'es è sbagliato perchè la soluzione non è quella 
Ho sbagliato a copiare un segno nella riduzione precedente. Non riscrivo i conti perché mi ci vuole una vita a metterli in tex.
Se non ho fatto altri errori la forma ridotta dovrebbe essere
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
da cui la soluzione sarebbe [tex]\{(2t,3t,-t,2t), t \in \mathbb R\}[/tex] e quindi la base diventa [tex](2,3,-1,2)[/tex].
Se non ho fatto altri errori la forma ridotta dovrebbe essere
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
da cui la soluzione sarebbe [tex]\{(2t,3t,-t,2t), t \in \mathbb R\}[/tex] e quindi la base diventa [tex](2,3,-1,2)[/tex].
È sbagliato ancora... Vabbè mi hai gia aiutato troppo! Grazie ora cercheró di capire come è sta matrice ridotta a righe perchè davvero non riesco a capirla! Anche se dopo tutto questo è meglio se non do l'esame mercoledi perchè mi si è creata ancora piu confusione!
ora cercheró di capire come è sta matrice ridotta a righe perchè davvero non riesco a capirla! Anche se dopo tutto questo è meglio se non do l'esame mercoledi perchè mi si è creata ancora piu confusione!
Scusa, potresti postare la soluzione?
"Superandri91":
È sbagliato ancora... Vabbè mi hai gia aiutato troppo! Grazie
dallo sempre l'esame si sa mai che la prof è stata clemente nel compito....anche io ho lo stesso esame mercoledì
Davvero? Che fai? Tu per caso capisci anche di coniche, forme canoniche, aurovalori? Te l'ho gia chiesto, ma non hai proprio niente con cui t posso contattare e parlare live? Sono sicuro che mi faresti capire tutto quello che non ho capito bene nei tuoi post in 5 minuti! Sarebbe tutto piu semplice! Eventualmente ti potrei anche pagare! è davvero importante per me!
è davvero importante per me!
sei del PoliMI? comunque per ora mi sono fermato agli spazi vvettoriali...poi dovrò fare applicazioni lineari e quello che hai detto te
Si polimi. Tu?
pure io e immagino che hai la Professoressa che di nome fa Norma
Mmm... Si xD
bene siamo nello stesso corso io informatico
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