Base ortonormale-domanda
Non riesco a capire questa domanda di teoria:
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
Risposte
"clever":
Non riesco a capire questa domanda di teoria:
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ma autovettore di quale endomorfismo?
Mi si chiede in questo esercizio-tipo
Dire se è individuato l'endomorfismo di $R^3$ soddisfacente le condizioni:
$f(a)=(-1,-2,5)$
$f(b)=(3,5,2)$
$f(c)=(0,1,-1)$
$f(d)=(2,4,6)$
e poi mi si chiede di ''individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore.
Per il primo punto io ci farei la matrice associata e vedere se sono linearmente indipendenti.
Trovarmi autovalori, quindi autospazi, matrice diagonale, matrice che diagonalizza e poi infine quella domanda inziale del post
che non so come risolvere, cioè non capisco come individuare una base ortonormale.
Dire se è individuato l'endomorfismo di $R^3$ soddisfacente le condizioni:
$f(a)=(-1,-2,5)$
$f(b)=(3,5,2)$
$f(c)=(0,1,-1)$
$f(d)=(2,4,6)$
e poi mi si chiede di ''individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore.
Per il primo punto io ci farei la matrice associata e vedere se sono linearmente indipendenti.
Trovarmi autovalori, quindi autospazi, matrice diagonale, matrice che diagonalizza e poi infine quella domanda inziale del post
che non so come risolvere, cioè non capisco come individuare una base ortonormale.
"clever":
Mi si chiede in questo esercizio-tipo
Dire se è individuato l'endomorfismo di $R^3$ soddisfacente le condizioni:
$f(a)=(-1,-2,5)$
$f(b)=(3,5,2)$
$f(c)=(0,1,-1)$
$f(d)=(2,4,6)$
Ma $a,b,c,d$ cosa sono?
Ah si!
Scusa stavo modificando il post.
$a=(1,-3,0)$
$b=(1,0,1)$
$c=(0,1,-1)$
$d=(2,-2,0)$
Scusa stavo modificando il post.
$a=(1,-3,0)$
$b=(1,0,1)$
$c=(0,1,-1)$
$d=(2,-2,0)$
"clever":
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
No, è una base di versori ortogonali l'un altro (a due a due, come si dice).
In gia generale, ti consiglierei di prendere un autovettore da cui partire, normalizzarlo, e costruire a mano la base ortonormale.
Se trovi l'endomorfismo e lo posti, possiamo essere più specifici.
Ecco questo praticamente è un tipo di esercizio che non c'è alcun esempio sul libro, cerco ma non trovo.
Allora io vorrei partire dall'inizio di questo esercizio, vedendo se i miei ragionamenti vanno bene, o male.
La prima domanda che c'è è:
1) Dire se il sistema di vettori $a,b,c,d$ costituisce una base di $R^3$
Per costituire una base, devono essere 3 vettori linearmente indipendenti, ovvero il determinante della matrice associata deve
essere diverso da $0$.
Allora scelgo i primi tre vettori $a,b,c$.
Costruisco la matrice associata: $((1,-3,0),(1,0,1),(0,1,-1))$
Il determinante è $-4$.
I primi 3 vettori costituiscono una base di $R^3$.
2)Dire se il sistema di vettori $a,b,c,d$ genera $R^3$
Si perchè c'è una $B=(a,b,c)$ L.I
Fin qui va bene?
Allora io vorrei partire dall'inizio di questo esercizio, vedendo se i miei ragionamenti vanno bene, o male.
La prima domanda che c'è è:
1) Dire se il sistema di vettori $a,b,c,d$ costituisce una base di $R^3$
Per costituire una base, devono essere 3 vettori linearmente indipendenti, ovvero il determinante della matrice associata deve
essere diverso da $0$.
Allora scelgo i primi tre vettori $a,b,c$.
Costruisco la matrice associata: $((1,-3,0),(1,0,1),(0,1,-1))$
Il determinante è $-4$.
I primi 3 vettori costituiscono una base di $R^3$.
2)Dire se il sistema di vettori $a,b,c,d$ genera $R^3$
Si perchè c'è una $B=(a,b,c)$ L.I
Fin qui va bene?
"clever":
Mi si chiede in questo esercizio-tipo
Dire se è individuato l'endomorfismo di $R^3$ soddisfacente le condizioni:
$f(a)=(-1,-2,5)$
$f(b)=(3,5,2)$
$f(c)=(0,1,-1)$
$f(d)=(2,4,6)$
e poi mi si chiede di ''individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore.
Per il primo punto io ci farei la matrice associata e vedere se sono linearmente indipendenti.
Siamo in $RR^3$ e quindi ovviamente 4 vettori sono linearmente dipendenti!!
Quindi non ha senso agire in questo modo.
Devi guardare invece i vettori che hai chiamato $a,b,c,d$.
Ora $a,b,c$ sono ovviamente linearmente indipendenti.
Invece $d=a+b+c$.
Perciò la tua funzione $f$ è un endomorfismo se $f(d)=f(a+b+c)=f(a)+f(b)+f(c)$
Questo devi controllare
Si mi trovo che è un endomorfismo.
Se $f(d)=f(a)+f(b)+f(c)$ non si verificava vero, allora non era un endomorfismo, giusto?
Alla fine quel fatto di spezzare in $f(a)+f(b)+f(c)$ significa proprio che è endomorfismo, perchè applicazione lineare? (scusate se
sparo ancora stupidaggini, me ne scuso)
Se $f(d)=f(a)+f(b)+f(c)$ non si verificava vero, allora non era un endomorfismo, giusto?
Alla fine quel fatto di spezzare in $f(a)+f(b)+f(c)$ significa proprio che è endomorfismo, perchè applicazione lineare? (scusate se
sparo ancora stupidaggini, me ne scuso)
"clever":
Si mi trovo che è un endomorfismo.
Se $f(d)=f(a)+f(b)+f(c)$ non si verificava vero, allora non era un endomorfismo, giusto?
Alla fine quel fatto di spezzare in $f(a)+f(b)+f(c)$ significa proprio che è endomorfismo, perchè applicazione lineare?
Esattamente.
Ora per rispondere all'altro punto comincia a determinare gli autovalori
Bene.
Prima di trovarmi gli autovalori e autospazi, c'è un altra domanda che mi chiede
Rappresentare l'endomorfismo sia rispetto ad una base di $R^3$ contenuta in $S$ sia rispetto alla base standard di $R^3$
Qui in questa domanda, c'entra il fatto di trovare la matrice del passaggio di base.
Ma quale differenza passa tra ''base di $R^3$ contenuta in $S$'' e ''base standard di $R^3$''?
Dovrei scomporre tipo:
$f(1,-3,0)=(-1,-2,5)=k(1,1,0)+h(-3,0,1)+w(0,1,-1)$ ?
Prima di trovarmi gli autovalori e autospazi, c'è un altra domanda che mi chiede
Rappresentare l'endomorfismo sia rispetto ad una base di $R^3$ contenuta in $S$ sia rispetto alla base standard di $R^3$
Qui in questa domanda, c'entra il fatto di trovare la matrice del passaggio di base.
Ma quale differenza passa tra ''base di $R^3$ contenuta in $S$'' e ''base standard di $R^3$''?
Dovrei scomporre tipo:
$f(1,-3,0)=(-1,-2,5)=k(1,1,0)+h(-3,0,1)+w(0,1,-1)$ ?
Cos'è $S$?
$S=(a,b,c,d)$ il sistema che costituirebbe la base di $R^3$
La base di $RR^3$ contenuta in S è $a,b,c$ cioè $(1,-3,0),(1,0,1),(0,1,-1)$
La base standard di $RR^3$ è $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
La base standard di $RR^3$ è $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
E quindi come faccio a rappresentare questo endomorfismo in queste due basi?
Che cosa dovrei fare?
Che cosa dovrei fare?
L'endomorfismo rispetto alla base di $RR^3$ contenuta in S è quello che hai di partenza.
Per l'altra base devi costruire la matrice di cambiamento di base.
Ho spiegato come si fa nel post "Problemi di geometria e algebra lineare martedì ho un esame!".
Puoi guardare lì o su un libro di algebra lineare qualsiasi o su un link in internet
Per l'altra base devi costruire la matrice di cambiamento di base.
Ho spiegato come si fa nel post "Problemi di geometria e algebra lineare martedì ho un esame!".
Puoi guardare lì o su un libro di algebra lineare qualsiasi o su un link in internet
Quindi vorrei capire.
L'endomorfismo rappresentato rispetto alla base trovata di $R^3$ è l'endomorfismo di partenza, ovvero:
$((-1,-2,5),(3,5,2),(0,1,-1))$ ?
o la matrice iniziale proprio?
L'endomorfismo rappresentato rispetto alla base trovata di $R^3$ è l'endomorfismo di partenza, ovvero:
$((-1,-2,5),(3,5,2),(0,1,-1))$ ?
o la matrice iniziale proprio?
"clever":
Quindi vorrei capire.
L'endomorfismo rappresentato rispetto alla base trovata di $R^3$ è l'endomorfismo di partenza, ovvero:
$((-1,-2,5),(3,5,2),(0,1,-1))$ ?
No.
Per trovare la matrice associata ad una base $\beta$ devi calcolare $f(\beta)$ e devi fare la matrice di cambiamento base da $\beta$ a $f(\beta)$
Allora io ho visto un pò il tuo post a riguardo questo argomento.
Quindi detto $w_1=(1,0,0)$ $w_2=(0,1,0)$ e $w_3=(0,0,1)$
mentre $v_1=(1,-3,0)$ $v_2=(1,0,1)$ e $v_3=(0,1,-1)$
la combinazione lineare é:
$(1,0,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,1,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,0,1)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
allora io faccio il sistema per ognuno del tipo:
$1=a+b$
$0=-3a+c$
$0=b-c$
e mi trovo $a,b,c$ questi vanno messi nella prima riga
cosi per tutti gli $a,b,c$ trovati come soluzione del sistema in 3 equazione e 3 incognite (si potrebbe anche usare cramer in
questo tipo di sistemi).
Fatto tutti i calcoli mi trovo che la matrice che andavo cercando è:
$((1,0,0),(-1/4,1/4,1/4),(-1/4,1/4,-3/4))$
salvo errori di calcolo.
Va bene misanino?
Quindi detto $w_1=(1,0,0)$ $w_2=(0,1,0)$ e $w_3=(0,0,1)$
mentre $v_1=(1,-3,0)$ $v_2=(1,0,1)$ e $v_3=(0,1,-1)$
la combinazione lineare é:
$(1,0,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,1,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,0,1)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
allora io faccio il sistema per ognuno del tipo:
$1=a+b$
$0=-3a+c$
$0=b-c$
e mi trovo $a,b,c$ questi vanno messi nella prima riga
cosi per tutti gli $a,b,c$ trovati come soluzione del sistema in 3 equazione e 3 incognite (si potrebbe anche usare cramer in
questo tipo di sistemi).
Fatto tutti i calcoli mi trovo che la matrice che andavo cercando è:
$((1,0,0),(-1/4,1/4,1/4),(-1/4,1/4,-3/4))$
salvo errori di calcolo.
Va bene misanino?
"clever":
Allora io ho visto un pò il tuo post a riguardo questo argomento.
Quindi detto $w_1=(1,0,0)$ $w_2=(0,1,0)$ e $w_3=(0,0,1)$
mentre $v_1=(1,-3,0)$ $v_2=(1,0,1)$ e $v_3=(0,1,-1)$
la combinazione lineare é:
$(1,0,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,1,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,0,1)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
allora io faccio il sistema per ognuno del tipo:
$1=a+b$
$0=-3a+c$
$0=b-c$
e mi trovo $a,b,c$ questi vanno messi nella prima riga
cosi per tutti gli $a,b,c$ trovati come soluzione del sistema in 3 equazione e 3 incognite (si potrebbe anche usare cramer in
questo tipo di sistemi).
Fatto tutti i calcoli mi trovo che la matrice che andavo cercando è:
$((1,0,0),(-1/4,1/4,1/4),(-1/4,1/4,-3/4))$
salvo errori di calcolo.
Va bene misanino?
Quella che hai calcolato tu (e bravo perchè hai capito il procedimento) è la matrice di cambio base dalla base contenuta in S alla base standard di $RR^3$.
Tuttavia non è la matrice associata al tuo endomorfismo $f$.
Ti spiego.
Esistono vari tipi di matrice:
1. la matrice di cambio base da una base $\beta$ a una base $\gamma$ che indico con $M^(\beta,\gamma)$
2. la matrice associata ad un endomorfismo $\f$ rispetto a una base $\beta$ che indico con $M_f^(\beta,\beta)$
3. la matrice associata ad un endomorfismo rispetto alle basi $\beta, \gamma$ che indico con $M_f^(\beta,\gamma)$
Chiamo $\beta$ la base di $RR^3$ contenuta in S e $\gamma$ la base standard di $RR^3$.
Tu hai calcolato (e l'hai fatto bene) $M^(\beta,\gamma)$.
Invece devi calcolare $M_f^(\beta,\beta)$ e $M_f^(\gamma,\gamma)$
Come si fa?
Ti spiego.
In realtà si procede esattamente nello stesso modo della matrice di cambio base, cioè nello stesso modo che hai dimostrato di aver capito tu.
Però, se ad esmpio devi calcolare $M_f^(\beta,\beta)$, non fai la matrice di cambio base da $\beta$ a $\beta$, bensì la "matrice di cambio base" (lo metto tra virgolette perchè non è proprio una base) da $\beta$ a $f(\beta)$ dove se $\beta={v_1,v_2,v_3}$ (nel tuo caso $v_1=(1,-3,0)$ ....), allora $f(\beta)={f(v_1),f(v_2),f(v_3)}$
Ora vorrei capirci qualcosa.
Quello che ho calcolato io, serve ai fini dell'esercizio?
Inoltre quale altro passaggio devo fare?
Cioè dopo questo passaggio come devo fare a trovare 'l'endomorfismo rispetto alla base di $R^3$?
Mettere in colonna, le $f(b)$?
Non so, guarda, questo argomento qui non riesco a capirlo...
Quello che ho calcolato io, serve ai fini dell'esercizio?
Inoltre quale altro passaggio devo fare?
Cioè dopo questo passaggio come devo fare a trovare 'l'endomorfismo rispetto alla base di $R^3$?
Mettere in colonna, le $f(b)$?
Non so, guarda, questo argomento qui non riesco a capirlo...
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