Base ortonormale-domanda
Non riesco a capire questa domanda di teoria:
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
Risposte
Il passaggio che hai fatto tu non serve.
Ma il procedimento è esattamente lo stesso.
Rileggi bene quello che ti ho scritto nel post precedente
Ma il procedimento è esattamente lo stesso.
Rileggi bene quello che ti ho scritto nel post precedente
Sarebbe dunque:
$(-1,-2,5)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(3,2,5)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,1,-1)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(-1,-2,5)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(3,2,5)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
$(0,1,-1)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
Esatto!
Quindi fatto questo avrei trovato la rappresentazione dell'endomorfismo rispetto alla base di $R^3$?
e rispetto alla base standard? Devo fare ancora qualcosa?
e rispetto alla base standard? Devo fare ancora qualcosa?
"clever":
Quindi fatto questo avrei trovato la rappresentazione dell'endomorfismo rispetto alla base di $R^3$?
e rispetto alla base standard? Devo fare ancora qualcosa?
Esatto.
In questo modo hai trovato l'endomorfismo rispetto alla base di $RR^3$ contenuta in S.
Ora per trovare quello rispetto alla base standard devi rifare la stessa cosa con la base standard invece di $\beta$
Cioè percaso:
$(-1,-2,5)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
$(3,2,5)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
$(0,1,-1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
$(-1,-2,5)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
$(3,2,5)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
$(0,1,-1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
"clever":
Cioè percaso:
$(-1,-2,5)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
$(3,2,5)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
$(0,1,-1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)$
No.
Infatti se chiamo $\epsilon$ la base standard, tu hai sostituito $\beta$ con $\epsilon$ (e questo va bene),
ma devi sostituire anche $f(\beta)$ con $f(\epsilon)$ e questo non lo hai fatto.
Prima devi quindi calcolarti $f(\epsilon)$ scrivendo i vettori di $\epsilon$ come combinazione lineare dei vettori di $\beta$ e sfruttando la linearità di $f$
Potresti farmi tu il primo esempio?
Perchè non riesco a capire.
Perchè non riesco a capire.
Allora:
$\beta={(1,-3,0),(1,0,1),(0,1,-1)}$
$f(\beta)={(-1,-2,5),(3,5,2),(0,1,-1)}$
$\epsilon={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
$f(\epsilon)={f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)}={v_1,v_2,v_3}$ da determinare.
Voglio sapere quanto vale $f(1,0,0)$
Devo scrivere $(1,0,0)$ come combinazione lineare dei vettori della base $\beta$ (perchè poi so quanto vale $f$ su $\beta$)
Allora $(1,0,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
da cui ricavo il sistema:
\{(1=a+b),(0=-3a+c),(0=b-c):}
Quindi
$b=c$
$a=c/3$
e $1=c/3+c=4c/c$ da cui
$c=3/4$
$b=3/4$
$a=1/4$
Quindi $(1,0,0)=1/4(1,-3,0)+3/4(1,0,1)+3/4(0,1,-1)$
e quindi $v_1=f(1,0,0)=f(1/4(1,-3,0)+3/4(1,0,1)+3/4(0,1,-1))=1/4f(1,-3,0)+3/4f(1,0,1)+3/4f(0,1,-1)=1/4(-1,-2,5)+3/4(3,5,2)+3/4(0,1,-1)$
Fai la stessa cosa per gli altri vettori della base $\epsilon$ e ottieni tutta $f(\epsilon)$.
A questo punto l'endomorfismo associato a $\epsilon$ è la matrice di "cambio base" (metto sempre tra virgolette perchè $f(\epsilon)$ non è proprio una base) da $\epsilon$ a $f(\epsilon)$
$\beta={(1,-3,0),(1,0,1),(0,1,-1)}$
$f(\beta)={(-1,-2,5),(3,5,2),(0,1,-1)}$
$\epsilon={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
$f(\epsilon)={f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)}={v_1,v_2,v_3}$ da determinare.
Voglio sapere quanto vale $f(1,0,0)$
Devo scrivere $(1,0,0)$ come combinazione lineare dei vettori della base $\beta$ (perchè poi so quanto vale $f$ su $\beta$)
Allora $(1,0,0)=a(1,-3,0)+b(1,0,1)+c(0,1,-1)$
da cui ricavo il sistema:
\{(1=a+b),(0=-3a+c),(0=b-c):}
Quindi
$b=c$
$a=c/3$
e $1=c/3+c=4c/c$ da cui
$c=3/4$
$b=3/4$
$a=1/4$
Quindi $(1,0,0)=1/4(1,-3,0)+3/4(1,0,1)+3/4(0,1,-1)$
e quindi $v_1=f(1,0,0)=f(1/4(1,-3,0)+3/4(1,0,1)+3/4(0,1,-1))=1/4f(1,-3,0)+3/4f(1,0,1)+3/4f(0,1,-1)=1/4(-1,-2,5)+3/4(3,5,2)+3/4(0,1,-1)$
Fai la stessa cosa per gli altri vettori della base $\epsilon$ e ottieni tutta $f(\epsilon)$.
A questo punto l'endomorfismo associato a $\epsilon$ è la matrice di "cambio base" (metto sempre tra virgolette perchè $f(\epsilon)$ non è proprio una base) da $\epsilon$ a $f(\epsilon)$
Alla fine la matrice che rappresentero avrà sulle righe gli $a,b,c$ trovati per ogni $v_1$, $v_2$ e $v_3$?
Per la questione ''trovare l'endomorfismo associato alla base di $R^3$ contenuta in $S$ mi trovo questa matrice:
$((-1,0,-5),(-1,4,-1),(0,0,1))$
(salvo errori di calcoli)
sulle righe ho messo gli a,b,c trovati per ogni 'mini sistema' associato ad ogni immagine.
Ora se mi si chiede se questa matrice è automorfismo, io rispondo si, perchè il determinante è diverso da $0$, infatti è $-4$. giusto?
Nel frattempo sempre su questa matrice mi calcolo autovalori, autospazi, la matrice diagonale D, la matrice che diagonalizza $P$.
Alla fine, se tutto va bene, dovrei calcolarmi ''una base ortonormale di R contenente almeno un autovettore''. (ultimo punto dell'esercizio)
Per la questione ''trovare l'endomorfismo associato alla base di $R^3$ contenuta in $S$ mi trovo questa matrice:
$((-1,0,-5),(-1,4,-1),(0,0,1))$
(salvo errori di calcoli)
sulle righe ho messo gli a,b,c trovati per ogni 'mini sistema' associato ad ogni immagine.
Ora se mi si chiede se questa matrice è automorfismo, io rispondo si, perchè il determinante è diverso da $0$, infatti è $-4$. giusto?
Nel frattempo sempre su questa matrice mi calcolo autovalori, autospazi, la matrice diagonale D, la matrice che diagonalizza $P$.
Alla fine, se tutto va bene, dovrei calcolarmi ''una base ortonormale di R contenente almeno un autovettore''. (ultimo punto dell'esercizio)
"clever":
Alla fine la matrice che rappresentero avrà sulle righe gli $a,b,c$ trovati per ogni $v_1$, $v_2$ e $v_3$?
Per la questione ''trovare l'endomorfismo associato alla base di $R^3$ contenuta in $S$ mi trovo questa matrice:
$((-1,0,-5),(-1,4,-1),(0,0,1))$
(salvo errori di calcoli)
sulle righe ho messo gli a,b,c trovati per ogni 'mini sistema' associato ad ogni immagine.
Ora se mi si chiede se questa matrice è automorfismo, io rispondo si, perchè il determinante è diverso da $0$, infatti è $-4$. giusto?
Nel frattempo sempre su questa matrice mi calcolo autovalori, autospazi, la matrice diagonale D, la matrice che diagonalizza $P$.
Alla fine, se tutto va bene, dovrei calcolarmi ''una base ortonormale di R contenente almeno un autovettore''. (ultimo punto dell'esercizio)
Perfetto!
La matrice va bene.
La spiegazione del perchè è un automorfismo anche.
Bene
Alla fine, (non ho fatto alcun calcolo) ma voglio vedere se ho capito il ragionamento.
Per calcolare la base ortonormale, altro non è che la matrice aventi per colonna gli autospazi trovati nello studio del polinomio
caratteristico.
Vedere se è base ortonormale, quella matrice P (matrice diagonalizzante) deve essere ortogonalmente diagonalizzabile.
Cioè preso il vettore riga $v_1$ se succede che: $v_1*v_1$=$1$ e tipo $v_1*v_2=0$ vuol dire che la famosa P trovata è quella
che cerco.
Per calcolare la base ortonormale, altro non è che la matrice aventi per colonna gli autospazi trovati nello studio del polinomio
caratteristico.
Vedere se è base ortonormale, quella matrice P (matrice diagonalizzante) deve essere ortogonalmente diagonalizzabile.
Cioè preso il vettore riga $v_1$ se succede che: $v_1*v_1$=$1$ e tipo $v_1*v_2=0$ vuol dire che la famosa P trovata è quella
che cerco.
"clever":
Alla fine, (non ho fatto alcun calcolo) ma voglio vedere se ho capito il ragionamento.
Per calcolare la base ortonormale, altro non è che la matrice aventi per colonna gli autospazi trovati nello studio del polinomio
caratteristico.
Gli autospazi, come dice il nome stesso, sono degli spazi e quindi contengono infiniti vettori.
Forse volevi dire che metti in colonna gli autovettori di una base dell'autospazio, ed è quasi corretto.
Devi infatti prendere una base di ogni autospazio (cioè una base di autovettori) e dividere ogni autovettore per la sua norma (in modo da avere autovettori di norma 1).
Poi puoi metterli come colonne nella tua matrice e ottieni la matrice ortogonale che diagonalizza la tua matrice (sempre che questa esista)
Mi sto perdendo, aspetta.
Autovalori li trovo dallo studio del polinomio caratteristico
Autospazi mettendo gli autovalori trovati nella matrice e quindi gli spazi contenenti i vettori
Autovettori sono quei vettori degli spazi messi in colonna, mi da la matrice P. Giusto?
tipo la $P$ ha sulla prima colonna questa base di autovettori: $(1,0,1)$ la norma sarebbe $sqrt(1+1)$?
e dovrei mettere alla fine su quella colonna $(1/sqrt(2),0,(1/sqrt(2)$ giusto?
Autovalori li trovo dallo studio del polinomio caratteristico
Autospazi mettendo gli autovalori trovati nella matrice e quindi gli spazi contenenti i vettori
Autovettori sono quei vettori degli spazi messi in colonna, mi da la matrice P. Giusto?
tipo la $P$ ha sulla prima colonna questa base di autovettori: $(1,0,1)$ la norma sarebbe $sqrt(1+1)$?
e dovrei mettere alla fine su quella colonna $(1/sqrt(2),0,(1/sqrt(2)$ giusto?
Esatto: dividi gli autovettori per la loro norma e li metti in colonna
Cosa significa infine (scusase chiedoancora) 'completare a base di $R^3$ una base ortonormale di V?
Significa che prendi una base ortonormale di V e aggiungi altri vettori di $RR^3$ fino ad arrivare ad una base di $RR^3$.
Ovviamente se V ha dimensione 3, cioè hai già una base di 3 elementi, allora non devi aggiungere niente.
Se V ha dimensione 2, cioè la tua base di V è fatta da 2 vettori, allora devi aggiungere un solo vettore.
Se V ha dimensione1, devi aggiungere 2 vettori
Ovviamente se V ha dimensione 3, cioè hai già una base di 3 elementi, allora non devi aggiungere niente.
Se V ha dimensione 2, cioè la tua base di V è fatta da 2 vettori, allora devi aggiungere un solo vettore.
Se V ha dimensione1, devi aggiungere 2 vettori
La decisione di tali vettori, la posso fare affinche la base sia di generatore e i tre vettori mi diano come determinante della matrice un numero diverso da 0, per far vedere cbe sn L.I.
Tipo
V=L(1,-1,0),(2,-1,0),(5,-1,0)
completare a base di R3 una base ortonormale di V.
Cosa faccio qui?
Vedo che sono L.D, quindi dovrei scegliere un vettore affinche $a,b,v_3$ mi dia una base ortonormale?
Tipo
V=L(1,-1,0),(2,-1,0),(5,-1,0)
completare a base di R3 una base ortonormale di V.
Cosa faccio qui?
Vedo che sono L.D, quindi dovrei scegliere un vettore affinche $a,b,v_3$ mi dia una base ortonormale?
Esatto tutto ciò che hai detto!
Misanino, ti faccio una domanda, sempre qui (non apro un altro post)
Se mi si dice che $W^L$ (dove quell'L è il segno di perpendicolarità (ortogonalità credo)) è il nucleo, devo intenderlo come $Kerf$?
Se mi si dice che $W^L$ (dove quell'L è il segno di perpendicolarità (ortogonalità credo)) è il nucleo, devo intenderlo come $Kerf$?
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