Base ortonormale-domanda
Non riesco a capire questa domanda di teoria:
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
Risposte
Se ti dice che è il nucleo, sì.
Bene, altra domanda xD
'Individuare l'endomorfismo $f$ di $R^3$ avente $W$ come autospazio relativo all'autovalore $2$
Significa che io devo fare la ricerca di un autospazio di autovalore $lambda=2$, e ciò che mi trovo
per esempio: $W=L(-1,1,1),(1,2,1)$ è proprio l'autospazio relativo a quell'autovalore.
Poi mi trovo il $Kerf=W^L$ ovvero l'autospazio relativo all'autovalore $lambda=0$
Giusto?
'Individuare l'endomorfismo $f$ di $R^3$ avente $W$ come autospazio relativo all'autovalore $2$
Significa che io devo fare la ricerca di un autospazio di autovalore $lambda=2$, e ciò che mi trovo
per esempio: $W=L(-1,1,1),(1,2,1)$ è proprio l'autospazio relativo a quell'autovalore.
Poi mi trovo il $Kerf=W^L$ ovvero l'autospazio relativo all'autovalore $lambda=0$
Giusto?
Giusto
Scusa se 'rompo' di nuovo, ma voglio avere le ultime certezze su un problema il quale su una parte mi ha risposto franced in un post che ho appena aperto, ma preferisco qui mettere i miei dubbi senza aprire un altro post.
Io avevo un sottoinsieme del tipo:
$W=(a,b,c)$ di $R^3$ con questa legge (credo che si possa chiamare cosi): $a+b-c=0$
la domanda era ''dire se è o non è un sottospazio'' e ''se è un sottospazio, dire la dimensione esibendone una base''
E' un sottospazio, io posso prendere dei vettori di cui uno è somma degli altri due tipo
$a=(1,-1,0)$
$b=(0,1,1)$
$c=(1,0,1)$
dove $c=a+b$
quindi questi tre vettori vanno bene, credo.
Mi faccio la matrice associata per vedere la dimensione, che deve essere $2$ perchè due solo sono linearmente indipendenti.
la matrice è questa:
$((1,-1,0),(0,1,1),(1,0,1))$
infatti vedo che il determinante è $0$ (per forza)
e noto che dunque non è un automorfismo.
Inoltre una possibile base può essere: $B=(1,0,1),(-1,1,0)$
Ci sono due colonne, perchè nella base si mettono le colonne e non le righe (mi pare).
Individuare l'endomorfismo $f$ di $R^3$ avente come autospazio relativo all'autovalore $2$ e $W^L$ come nucleo.
Io mi sa che l'endomorfismo l'avrò sbagliato di sicuro.
Però se $W$ deve essere l'autospazio relativo a $2$ come minimo deve avere due vettori che lo generano.
io l'ho pensata cosi.
Di quella matrice che ho fatto prima (che poi poteva essere anche $((2,-2,0),(0,2,2),(2,0,2))$ alla fine sono matrici simili e hanno stesso polinomio caratteristico),
Mi sono calcolata il polinomio caratteristico a quella matrice
e mi viene proprio l'autovalore $0$ (quello che mi serve per il nucleo=kerf) con m.a=1
e l'autovalore $2$ con m.a=2
nel calcolarmi gli autospazi, mi trovo quello relativo a $2$ e quello relativo a $0$
e trovo che $W=L(......),(......)$ e $W^L=L(.......)$
va bene o è una gran stupidata?
Io avevo un sottoinsieme del tipo:
$W=(a,b,c)$ di $R^3$ con questa legge (credo che si possa chiamare cosi): $a+b-c=0$
la domanda era ''dire se è o non è un sottospazio'' e ''se è un sottospazio, dire la dimensione esibendone una base''
E' un sottospazio, io posso prendere dei vettori di cui uno è somma degli altri due tipo
$a=(1,-1,0)$
$b=(0,1,1)$
$c=(1,0,1)$
dove $c=a+b$
quindi questi tre vettori vanno bene, credo.
Mi faccio la matrice associata per vedere la dimensione, che deve essere $2$ perchè due solo sono linearmente indipendenti.
la matrice è questa:
$((1,-1,0),(0,1,1),(1,0,1))$
infatti vedo che il determinante è $0$ (per forza)
e noto che dunque non è un automorfismo.
Inoltre una possibile base può essere: $B=(1,0,1),(-1,1,0)$
Ci sono due colonne, perchè nella base si mettono le colonne e non le righe (mi pare).
Individuare l'endomorfismo $f$ di $R^3$ avente come autospazio relativo all'autovalore $2$ e $W^L$ come nucleo.
Io mi sa che l'endomorfismo l'avrò sbagliato di sicuro.
Però se $W$ deve essere l'autospazio relativo a $2$ come minimo deve avere due vettori che lo generano.
io l'ho pensata cosi.
Di quella matrice che ho fatto prima (che poi poteva essere anche $((2,-2,0),(0,2,2),(2,0,2))$ alla fine sono matrici simili e hanno stesso polinomio caratteristico),
Mi sono calcolata il polinomio caratteristico a quella matrice
e mi viene proprio l'autovalore $0$ (quello che mi serve per il nucleo=kerf) con m.a=1
e l'autovalore $2$ con m.a=2
nel calcolarmi gli autospazi, mi trovo quello relativo a $2$ e quello relativo a $0$
e trovo che $W=L(......),(......)$ e $W^L=L(.......)$
va bene o è una gran stupidata?
Facciamo una cosa alla volta.
Allora $W=(a,b,c)$ di $R^3$ con questa legge $a+b-c=0$
Questo implica che $c=a+b$ mentre $a,b$ non hanno alcuna restrizione e quindi possono essere qualsiasi.
Allora $a=\alpha$, $b=\beta$, $c=a+b=\alpha+\beta$ con $\alpha,\beta\inRR$.
Perciò lo spazio W è lo spazio dei vettori $(\alpha,\beta,\alpha+\beta)$
Per trovare una base basta che poni $\alpha=1$ e $\beta=0$ (e trovi il vettore (1,0,1))
e poi viceversa $\alpha=0$ e $\beta=1$ e trovi il vettore (0,1,1).
La tua base è quindi:
(1,0,1) , (0,1,1)
Ora puoi agevolmente trovare l'ortogonale
e poi puoi provare a trovare l'endomorfismo.
Come faresti?
Allora $W=(a,b,c)$ di $R^3$ con questa legge $a+b-c=0$
Questo implica che $c=a+b$ mentre $a,b$ non hanno alcuna restrizione e quindi possono essere qualsiasi.
Allora $a=\alpha$, $b=\beta$, $c=a+b=\alpha+\beta$ con $\alpha,\beta\inRR$.
Perciò lo spazio W è lo spazio dei vettori $(\alpha,\beta,\alpha+\beta)$
Per trovare una base basta che poni $\alpha=1$ e $\beta=0$ (e trovi il vettore (1,0,1))
e poi viceversa $\alpha=0$ e $\beta=1$ e trovi il vettore (0,1,1).
La tua base è quindi:
(1,0,1) , (0,1,1)
Ora puoi agevolmente trovare l'ortogonale
e poi puoi provare a trovare l'endomorfismo.
Come faresti?
La base mi trovo con te cioè io ho preso i primi due in colonna, e ho risposto che la dim=2 (fin qui credo di essere d'accordo con te)
Per $W^L=L(-1,-1,1)$ e mi trovo (l'ortogonale non l'ha fatto nessuno dei miei compagni, su questo mi trovo con loro)
Quello che sono in dubbio io è, io ho fatto autovalori ed autospazi a questa matrice $((1,-1,0),(0,1,1),(1,0,1))$ e mi sono trovata il kerf dell'autovalore uguale a $0$, proprio quel $W^L$.
Cioè io per trovare quel valore ho fatto il sistema:
$x_1-x_2=0$
$x_2+x_3=0$
$x_1+x_3=0$
Dunque:
$W^L=L(-1,-1,1)$
(Perchè la matrice che io mi sono trovata all'inizio con un vettore che dipende linearmente dagli altri, va bene perchè rientra nella legge che mi da il sottoinsieme di partenza $W$, giusto?)
Il problema suvviene quando dice ''individuare l'endomorfismo $f$ di $R^3$ avente $W$ come autospazio relativo all'autovalore $2$, cioè quel $W$ l'ho inteso come un autospazio di dimensione due, relativo all'autovalore $2$.
del tipo $(1,1,1),(-1,-1,-1)$
Io spero che questo ragionamento vada bene, o almeno non venga gettato fuori dalla finestra.
Io dico se uno fa bene tutta geometria, con ragionamenti e spiegazioni e calcolo 'plausibilmente fatti bene'' e metta algebra lineare, può essere bocciato?
Per $W^L=L(-1,-1,1)$ e mi trovo (l'ortogonale non l'ha fatto nessuno dei miei compagni, su questo mi trovo con loro)
Quello che sono in dubbio io è, io ho fatto autovalori ed autospazi a questa matrice $((1,-1,0),(0,1,1),(1,0,1))$ e mi sono trovata il kerf dell'autovalore uguale a $0$, proprio quel $W^L$.
Cioè io per trovare quel valore ho fatto il sistema:
$x_1-x_2=0$
$x_2+x_3=0$
$x_1+x_3=0$
Dunque:
$W^L=L(-1,-1,1)$
(Perchè la matrice che io mi sono trovata all'inizio con un vettore che dipende linearmente dagli altri, va bene perchè rientra nella legge che mi da il sottoinsieme di partenza $W$, giusto?)
Il problema suvviene quando dice ''individuare l'endomorfismo $f$ di $R^3$ avente $W$ come autospazio relativo all'autovalore $2$, cioè quel $W$ l'ho inteso come un autospazio di dimensione due, relativo all'autovalore $2$.
del tipo $(1,1,1),(-1,-1,-1)$
Io spero che questo ragionamento vada bene, o almeno non venga gettato fuori dalla finestra.
Io dico se uno fa bene tutta geometria, con ragionamenti e spiegazioni e calcolo 'plausibilmente fatti bene'' e metta algebra lineare, può essere bocciato?
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