Una catenella
Una catenella AB d lunghezza L si trova all'interno di un tubo
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
Risposte
Che modestia... grande! 
Cmq ecco qui il grafico della velocità per $L=5m$, $h=1m$, $g\approx10 m/s^2$
$v(x)=\sqrt{gh(L^2/(L-x)^2-1)}$ Naturalmente va considerato l'intervallo: $x\in[0,4]$
Cmq ecco qui il grafico della velocità per $L=5m$, $h=1m$, $g\approx10 m/s^2$
$v(x)=\sqrt{gh(L^2/(L-x)^2-1)}$ Naturalmente va considerato l'intervallo: $x\in[0,4]$
Il significato della formula che ho riporrtato comq è che, preso un intervallo infinitesimo di tempo dt, la quantità di moto finale del tratto che all'inizio dell'intervallo si trovava all'interno del tubo, è data dalla somma della quantità di moto finale del tratto che ancora si trova all'interno del tubo (IntV) + quello che è uscito (IntA).
@nonsoxkè:
mi devi fare un grande favore... Impara ad usare MathML, non si capisce nulla quando scrivi le equazioni, quindi sono convinto che spesso gente neanche ci si mette a guardarle...
mi devi fare un grande favore... Impara ad usare MathML, non si capisce nulla quando scrivi le equazioni, quindi sono convinto che spesso gente neanche ci si mette a guardarle...
Come promesso vi riporto la mia soluzione per commenti:
$d/(dt)(mdx/dt)=F$
con
$x(0)=0$
$dx/dt|_{t=0}=0$
dove $x$ è la distanza dell'estremo $A$ del cavo dall'inizio del moto.
Indicata con $\lambda$ la densità lineare di massa della catenella:
$F=\lambdahg$: costante nel tempo
$m=\lambda(L-x)$: variabile,
per l'intervallo di $x$: $[0,L-h]$, la seconda equazione della dinamica diventa:
$d/(dt)((L-x)dx/dt)=hg$
integrando (tenendo conto della cond. iniziale) :
$(L-x)dx/dt=hgt$ (che si può scrivere anche come: $dx/dt=v(t)=hgt/(L-x)$)
e quindi
$(L-x)dx=hgtdt$
integrando di nuovo (sempre considerando le cond. iniziali):
$Lx-x^2/2=hgt^2/2$.
Da ciò, volendo, si ricava anche la legge oraria:
$x=L-\sqrt{L^2-hgt^2}$.
Ponendo comunque $x=x_0=L-h$ si ottiene il tempo di transito dell'estremità $A$ nel tubo:
$t_0=\sqrt{(L^2-h^2)/hg}$
e quindi:
$v(t_0)=hgt_0/(L-x_0)=\sqrt{hg*{L+h}/{L-h}}$
ovviamente lascio tutto a voi da verificare.
ciao
$d/(dt)(mdx/dt)=F$
con
$x(0)=0$
$dx/dt|_{t=0}=0$
dove $x$ è la distanza dell'estremo $A$ del cavo dall'inizio del moto.
Indicata con $\lambda$ la densità lineare di massa della catenella:
$F=\lambdahg$: costante nel tempo
$m=\lambda(L-x)$: variabile,
per l'intervallo di $x$: $[0,L-h]$, la seconda equazione della dinamica diventa:
$d/(dt)((L-x)dx/dt)=hg$
integrando (tenendo conto della cond. iniziale) :
$(L-x)dx/dt=hgt$ (che si può scrivere anche come: $dx/dt=v(t)=hgt/(L-x)$)
e quindi
$(L-x)dx=hgtdt$
integrando di nuovo (sempre considerando le cond. iniziali):
$Lx-x^2/2=hgt^2/2$.
Da ciò, volendo, si ricava anche la legge oraria:
$x=L-\sqrt{L^2-hgt^2}$.
Ponendo comunque $x=x_0=L-h$ si ottiene il tempo di transito dell'estremità $A$ nel tubo:
$t_0=\sqrt{(L^2-h^2)/hg}$
e quindi:
$v(t_0)=hgt_0/(L-x_0)=\sqrt{hg*{L+h}/{L-h}}$
ovviamente lascio tutto a voi da verificare.
ciao
Per cavalli : si infatti prima o poi devo imparare , a volte non lo capisco nemmeno io cosa scrivo 
Per mirco : potresti mostrare come è stata ricavata quella formula?
Per mirco : potresti mostrare come è stata ricavata quella formula?
"mirco59":
....
Ponendo comunque $x=x_0=L-h$ si ottiene il tempo di transito dell'estremità $A$ nel tubo:
$t_0=\sqrt{(L^2-h^2)/hg}$
e quindi:
$v(t_0)=hgt_0/(L-x_0)=\sqrt{hg*{L+h}/{L-h}}$
ovviamente lascio tutto a voi da verificare.
ciao
Non capisco l'ultimo passaggio.
Se $x_0=L-h$ e $t_0=sqrt((L^2-h^2)/(gh))$ la velocità diventa:
$v=(ght_0)/(L-x_0)=gt_0=sqrt(g/h(L^2-h^2))$
Cioè la stessa formula trovata da me. O c'è qualcosa che mi sfugge?
Non capisco l'ultimo passaggio, sei sicuro?
Già MaMo, intendevo quello! In questo caso saremo in 3 d'accordo sulla stessa soluzione, peraltro partendo anche da angolazioni diverse. Sbaglia il libro?
Ops ... ho commesso un errore algebrico proprio nell'ultimo passaggio (che evidentemetne non ho ricontrollato) 
Correggo quindi la formula:
Ponendo $x=x_0=L-h$ si ottiene il tempo di transito dell'estremità $A$ nel tubo:
$t_0=\sqrt{(L^2-h^2)/{hg}}$
e quindi:
$v(t_0)=hgt_0/(L-x_0)= gt_0=sqrt(g/h(L^2-h^2))$
che è la soluzione di MaMo.
Per Cavallipurosangue: effettivamente anch'io sono un po' perplesso di aver trovato una differenza rispetto alla soluzione indicata in un testo sacro. Tuttavia, questo procedimento mi sembra corretto per un sistema a massa variabile (vedi per esempio il Feynman).
Scritta correttamente, la formula finale mostra una singolarità per $h$ che tende a zero e questo andamento effettivamente lascia un po' perplessi!
E' evidente che la formula prevede un tempo di attraversamento $t_0$ infinito quando $h$ va a zero ed essendo la velocità finale pari a $g*t_0$ ........
Le due soluzioni in questione (considerando o meno la derivata della massa nella equazione) danno risultati simili quando $h>0.5L$ ma diventano significativamente diverse per $h$ piccoli. Per esempio con $h=0.1L$ il rapporto delle velocità finali previste dai due modelli è circa 4.64: si potrebbe tentare un esperimento!
ciao
Correggo quindi la formula:
Ponendo $x=x_0=L-h$ si ottiene il tempo di transito dell'estremità $A$ nel tubo:
$t_0=\sqrt{(L^2-h^2)/{hg}}$
e quindi:
$v(t_0)=hgt_0/(L-x_0)= gt_0=sqrt(g/h(L^2-h^2))$
che è la soluzione di MaMo.
Per Cavallipurosangue: effettivamente anch'io sono un po' perplesso di aver trovato una differenza rispetto alla soluzione indicata in un testo sacro. Tuttavia, questo procedimento mi sembra corretto per un sistema a massa variabile (vedi per esempio il Feynman).
Scritta correttamente, la formula finale mostra una singolarità per $h$ che tende a zero e questo andamento effettivamente lascia un po' perplessi!
E' evidente che la formula prevede un tempo di attraversamento $t_0$ infinito quando $h$ va a zero ed essendo la velocità finale pari a $g*t_0$ ........
Le due soluzioni in questione (considerando o meno la derivata della massa nella equazione) danno risultati simili quando $h>0.5L$ ma diventano significativamente diverse per $h$ piccoli. Per esempio con $h=0.1L$ il rapporto delle velocità finali previste dai due modelli è circa 4.64: si potrebbe tentare un esperimento!
ciao
L'errore commesso è che non si considera che parte della variazione di quantità di moto del sistema aperto costituito dalla catenella che si trova all'interno del tubo è dovuta al fatto che un tratto infinitesimo di catenella esce dal tubo portandosi dietro la sua quantità di moto (- IntA) e non solo alla forza risultante che agisce su di essa
Provate a cercare la spiegazione della formula che ho postato precedentemente è sarà tutto più chiaro.
Se non la trovate provo a postarvela io , ma viste le mie capacità di scrittura non mi sembra il caso
Provate a cercare la spiegazione della formula che ho postato precedentemente è sarà tutto più chiaro.
Se non la trovate provo a postarvela io , ma viste le mie capacità di scrittura non mi sembra il caso
@ nnsoxke
mi sembra che tu abbia perfettamente ragione! In effetti la tua osservazione si può interpretare fisicamente anche così:
il sistema è a massa variabile ma riceve, oltre al peso, una forza (rallentante) di impatto nel punto in cui la catenella arriva a terra e tale forza è in modulo proprio la variazione della quantità di moto persa nell'unità di tempo = $\lambda*(dx/dt)^2$.
Pertanto la forza risultante non è costante ma vale:
$\lambda*h*g-\lambda*(dx/dt)^2$
ciao
mi sembra che tu abbia perfettamente ragione! In effetti la tua osservazione si può interpretare fisicamente anche così:
il sistema è a massa variabile ma riceve, oltre al peso, una forza (rallentante) di impatto nel punto in cui la catenella arriva a terra e tale forza è in modulo proprio la variazione della quantità di moto persa nell'unità di tempo = $\lambda*(dx/dt)^2$.
Pertanto la forza risultante non è costante ma vale:
$\lambda*h*g-\lambda*(dx/dt)^2$
ciao
"mirco59":
@ nnsoxke
il sistema è a massa variabile ma riceve, oltre al peso, una forza (rallentante) di impatto nel punto in cui la catenella arriva a terra e tale forza è in modulo proprio la variazione della quantità di moto persa nell'unità di tempo = $\lambda*dx/dt$.
Pertanto la forza risultante non è costante ma vale:
$\lambda*h*g-\lambda*dx/dt$
forse intendevi
$\lambda*h*g-\lambda*(dx/dt)^2$
??
cmq forse anche cavalli (ed io, che non trovo l'errore nei calcoli ma ho eseguito il suo procedimento) potremmo aver fatto quest'errore, scrivendo le equazione del moto per la catenella che stà in verticale, visto che non abbiamo considerato il contributo del pavimento (dimenticarsi il contributo di un vincolo: un classico!)...
in ogni caso, forse è più comodo considerare tutta la catena come sistema (as mirco59 did) invece che dividerla in due sottosistemi...
Io credo che la forza normale non abbia influenza sul moto totale. Infatti annulla ,casomai, la tensione che la parte di corda che si è depositata sul suolo farebbe altrimenti. Noi abbiamo considerato solo gli effetti di questa forza (o vincolo) ossia proprio il fatto che la forza che tira verso il basso rimane costante, cosa che non sarebbe vera, se non ci fosse il suolo appena sotto.
SI 
ho corretto, però a questo punto allora abbiamo:
$d/dt((L-x)dx/dt)=hg-(dx/dt)^2$
che sviluppata (salvo errori):
$-(dx/dt)^2+(L-x)*{d^2x}/dt^2=hg-(dx/dt)^2$
e quindi:
$(L-x)*{d^2x}/dt^2=hg$
che rimette tutte le cose a posto e ristabilisce la attendibilità del libro di partenza!
ciao a tutti
ho corretto, però a questo punto allora abbiamo:$d/dt((L-x)dx/dt)=hg-(dx/dt)^2$
che sviluppata (salvo errori):
$-(dx/dt)^2+(L-x)*{d^2x}/dt^2=hg-(dx/dt)^2$
e quindi:
$(L-x)*{d^2x}/dt^2=hg$
che rimette tutte le cose a posto e ristabilisce la attendibilità del libro di partenza!
ciao a tutti
Comunque sia a me che a MaMo che a Mirco vengono fuori esattamente le stesse cose... Significa che prendere in considerazione solo la catene in toto o dividerla come ho fatto io non è diverso.
"cavallipurosangue":
Io credo che la forza normale non abbia influenza sul moto totale. Infatti annulla ,casomai, la tensione che la parte di corda che si è depositata sul suolo farebbe altrimenti. Noi abbiamo considerato solo gli effetti di questa forza (o vincolo) ossia proprio il fatto che la forza che tira verso il basso rimane costante, cosa che non sarebbe vera, se non ci fosse il suolo appena sotto.
Non è proprio corretto: la forza 'sotto' proprio annullando il tiro finale della catenella produce un effetto sul moto del corpo a massa variabile. Ora a me sembra tutto chiaro visto che anche con il sistema a massa variabile è stata ottenuta l'equazione differenziale che produce la soluzione del libro.
ciao
"cavallipurosangue":
Comunque sia a me che a MaMo che a Mirco vengono fuori esattamente le stesse cose... Significa che prendere in considerazione solo la catene in toto o dividerla come ho fatto io non è diverso.
non dico che è diverso (ci mancherebbe altro!!), dico solo che è "più comodo"... probabilmente anche se noi contassimo quella forza nel sistemone otterremmo l'ultimo risultato di mirco59 (cmq anche io ho diviso in due, lo scrivevo solo perchè così la prox volta ci starò più attento: ottimizzare i calcoli è sempe una buona cosa!) ...
in ogni caso, quella forza và contata, altrimenti è come considerare che la corda viene "tagliata" ogni volta che arriva a toccare il pavimento, il che descrive una situazione diversa (la parte tagliata se ne andrebbe con velocità, invece qui è ferma)...
Ah si adesso riesco a vederla sta cosa... Perchè mi immaginavo tante situazioni di equilibrio molto vicine tra loro, in cui la parte a terra davvero non conta nulla... Invece se la vedi in modo dinamico effettivamente ti accorgi che tale forza conta. Grazie di avermelo fatto notare, perchè altrimenti sarei andato avanti per la mia... 
La forza esercitata dal pavimento agisce solo sul tratto infinitesimo di corda che lo tocca decelerandolo durante l'urto e sostenendo il peso di tutta la corda che poggia su di esso in seguito... la forza non si scarica sul tratto verticale se la catenella è ideale , ovvero ha resistenza nulla a compressione.
C'è un altro modo comq per risolvere questo esercizio, a nessuno è venuto in mente il teorema delle forze vive ?
C'è un altro modo comq per risolvere questo esercizio, a nessuno è venuto in mente il teorema delle forze vive ?
Se fosse così allora non andrebbe contata tra le forze quella di reazione o sbaglio?
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