Una catenella
Una catenella AB d lunghezza L si trova all'interno di un tubo
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
Risposte
"nnsoxke":
La forza esercitata dal pavimento agisce solo sul tratto infinitesimo di corda che lo tocca decelerandolo durante l'urto e sostenendo il peso di tutta la corda che poggia su di esso in seguito... la forza non si scarica sul tratto verticale se la catenella è ideale , ovvero ha resistenza nulla a compressione.
C'è un altro modo comq per risolvere questo esercizio, a nessuno è venuto in mente il teorema delle forze vive ?
La resistenza nulla a compressione (sarebbe meglio dire la rigidezza nulla a compressione) significa che si può applicare una forza esterna fino a quando la forza normale di compressione è nulla! E' proprio quello che abbiamo fatto nell'ultimo tratto della catenella: non confondiamo le forze interne con quelle esterne!
Il teorema delle forze vive è applicabile, ma devi calcolare il lavoro dissipato nell'impatto della catenella a terra. Non credo che tale procedimento sia più semplice di quello qui sviluppato.
ciao
Per chiarire un attimo le idee, proviamo a semplificare il problema. Immaginiamo che una corda sia perfettamente verticale per tutta la sua lunghezza $L$ abbia densità $\lambda$. Chiamando $x$ la distanza ad ogni istante tra l'estremo superiore della corda e la posizione di quest'ultimo all'istante iniziale trovare $x(t)$ oppure $\dot{x}(x)$.
Non capisco il problema!
In questo caso si ha ovviamente un moto uniformemente accelerato di tutti i punti con accelerazione di gravità. Non c'è alcun tiro nella catena e c'è una forza di contatto sull'estremo inferiore che è proprio pari alla forza d'impatto.
In questo caso si ha ovviamente un moto uniformemente accelerato di tutti i punti con accelerazione di gravità. Non c'è alcun tiro nella catena e c'è una forza di contatto sull'estremo inferiore che è proprio pari alla forza d'impatto.
Non ho ben specificato che il piano sfiora come prima l'estremo piu basso della corda.
"cavallipurosangue":
Non ho ben specificato che il piano sfiora come prima l'estremo piu basso della corda.
Si l'avevo intuito, ma confermo
Il segreto è eliminare il vincolo sostituendolo con un campo nullo al di sotto della superficie del tavolo.
Cos'è un campo nullo? Una regione senza forze? Ma allora chi esercita la forza di impatto?
Quindi la forza di reazione non serve per determinare il moto della corda.
Ok ne sono venuto davvero a capo. Spesso infatti per fare questi problemi si usa dire, la forza che accelera la parte di catenella ancora in aria $(m(x))$è: $m(x)g$
Quindi si dice:
$\ddot{x}=g$
dato che le masse sono uguali tra loro.
In realtà mi sono accorto che non è molto rigoroso risolverlo in questi termini, infatti quel tipo di soluzione deriva dalla semplificazione di un'altra equazione che deriva da un'analisi un goccio più approfondita:
Se per sistema s'intende tutta la catenella, va considerata la forza di reazione del suolo ed anche la variazione di massa che partecipa al moto:
$(L-x)g-\dot{x}^2=d/{dt}((L-x)\dot{x})=(L-x)\ddot{x}-\dot{x^2}$
Adesso è corretto?
Quindi si dice:
$\ddot{x}=g$
dato che le masse sono uguali tra loro.
In realtà mi sono accorto che non è molto rigoroso risolverlo in questi termini, infatti quel tipo di soluzione deriva dalla semplificazione di un'altra equazione che deriva da un'analisi un goccio più approfondita:
Se per sistema s'intende tutta la catenella, va considerata la forza di reazione del suolo ed anche la variazione di massa che partecipa al moto:
$(L-x)g-\dot{x}^2=d/{dt}((L-x)\dot{x})=(L-x)\ddot{x}-\dot{x^2}$
Adesso è corretto?
Ho applicato la formula che deriva dalla fluidodinamica e mi viene:
per il tratto verticale r (dx/dt)^2 - r (dx/dt)^2 + d/dt (m2 dx/dt) = m2 g - F
per il tratto orizzontale r (dx/dt)^2 + d/dt (m1 dx/dt) = F
facendo i conti arrivo a v dv = hg/(L-x) dx e poi la soluzione che dovrebbe essere quella corretta (i passaggi da qui in poi sono già stati scritti).
La formula si può utilizzare benissimo per qualsiasi sistema meccanico, anche se viene usata principalmente per i fluidi.
per il tratto verticale r (dx/dt)^2 - r (dx/dt)^2 + d/dt (m2 dx/dt) = m2 g - F
per il tratto orizzontale r (dx/dt)^2 + d/dt (m1 dx/dt) = F
facendo i conti arrivo a v dv = hg/(L-x) dx e poi la soluzione che dovrebbe essere quella corretta (i passaggi da qui in poi sono già stati scritti).
La formula si può utilizzare benissimo per qualsiasi sistema meccanico, anche se viene usata principalmente per i fluidi.
Credo che il risultato del libro ( e quindi anche quello di mamo) sia
esatto.Infatti e' vero che la forza complessiva e' sempre $lambda gh$
ma tale forza va intesa applicata alla massa totale che ,al momento in cui la distanza di A
dal punto di partenza e' x,risulta essere proprio $lambda(L-x)$ .Integrando poi tra 0 ed L-h
si ha il risultato.
Anche mirko59 e' giunto ad un procedimento concettualmente corretto ,anche se poi
ha complicato i calcoli introducendo il tempo t.
Bastava osservare che:
$d/(dt)((dx)/(dt))=(dv)/(dt)=(dv)/(dx)*(dx)/(dt)=v*(dv)/(dx)$
Per tutto il tempo in cui ho usato quel testo che vi ho indicato non ho
mai riscontrato errori.
karl
esatto.Infatti e' vero che la forza complessiva e' sempre $lambda gh$
ma tale forza va intesa applicata alla massa totale che ,al momento in cui la distanza di A
dal punto di partenza e' x,risulta essere proprio $lambda(L-x)$ .Integrando poi tra 0 ed L-h
si ha il risultato.
Anche mirko59 e' giunto ad un procedimento concettualmente corretto ,anche se poi
ha complicato i calcoli introducendo il tempo t.
Bastava osservare che:
$d/(dt)((dx)/(dt))=(dv)/(dt)=(dv)/(dx)*(dx)/(dt)=v*(dv)/(dx)$
Per tutto il tempo in cui ho usato quel testo che vi ho indicato non ho
mai riscontrato errori.
karl
Esatto Karl. infatti siamo tutti arrivati alla conclusione (in maniere diverse) che alla fine il risultato è corretto!! 
Quella formula vale solo fino all'istante in cui la catenella non esce completamente dal tubo... Poi si ha il moto di un corpo in caduta libera.
h è un dato del problema ed è sicuramente diverso da zero altrimenti la catenella non si sposterebbe perchè la massa della catenella nel tratto verticale sarebbe nulla.
h è un dato del problema ed è sicuramente diverso da zero altrimenti la catenella non si sposterebbe perchè la massa della catenella nel tratto verticale sarebbe nulla.
"MaMo":
:oops:
Grande MaMo!
Allora sei umano e anche tu qualche volta sbagli!
ciao
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