Una catenella
Una catenella AB d lunghezza L si trova all'interno di un tubo
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
Risposte
Se ci dobbiamo limitare a calcolare la velocità che la catena ha nell'istante in cui lascia il tubo, basta utilizzare il principio di conservazione dell'energia meccanica.
Prendiamo come origine la superficie del tavolo, quindi se la catena ha come unica dimensione non trascurabile la sua lunghezza, chiamando $x$ la parte pendente ad ogni istante e $\lambda$ la densità lineare:
$-g\lambda h^2/2=-g\lambdax^2/2+1/2\lambdaL\dot{x}^2=>\dot{x}(x)=\sqrt{g/L(x^2-h^2)}=>\dot{x}(L)=\sqrt{g/L(L^2-h^2)}$
Per trovare invece la legge oraria $x(t)$ bisogna risolvere la semplice equazione differenziale a variabili separabili, da lì poi si può trovare anche l'accelerazione...
Prendiamo come origine la superficie del tavolo, quindi se la catena ha come unica dimensione non trascurabile la sua lunghezza, chiamando $x$ la parte pendente ad ogni istante e $\lambda$ la densità lineare:
$-g\lambda h^2/2=-g\lambdax^2/2+1/2\lambdaL\dot{x}^2=>\dot{x}(x)=\sqrt{g/L(x^2-h^2)}=>\dot{x}(L)=\sqrt{g/L(L^2-h^2)}$
Per trovare invece la legge oraria $x(t)$ bisogna risolvere la semplice equazione differenziale a variabili separabili, da lì poi si può trovare anche l'accelerazione...
Questo problema mi ha creato qualche ...problema.
In verita' la risposta del testo e' :
$v=sqrt(2gh*ln(L/h))$
e sotto certi aspetti mi pare attendibile dato che si vuole
la velocita' dell'estremo A man mano che la catenella scende(si tratta quindi
di un problema differenziale).
D'altra anche la tua soluzione sembra credibile.
Un bel pasticcio:vediamo se c'e' qualche altro.
karl
In verita' la risposta del testo e' :
$v=sqrt(2gh*ln(L/h))$
e sotto certi aspetti mi pare attendibile dato che si vuole
la velocita' dell'estremo A man mano che la catenella scende(si tratta quindi
di un problema differenziale).
D'altra anche la tua soluzione sembra credibile.
Un bel pasticcio:vediamo se c'e' qualche altro.
karl
Credo di aver capito il motivo... Infatti se riscrivi l'equazione:
$\int_h^{x(t)}{dx}/{\sqrt(x^2-h^2)}=k\int_0^tdt:k=\sqrt{g/L}$
si nota che esistono due modi diversi per scrivere la primitiva del primo membro:
$arc cosh(x/h)$ oppure $\ln|x+\sqrt{x^2-h^2}|$. Non ho fatto i conti, ma è facile che chi ha risolto l'esercizio abbia prima trovato la legge oraria e poi derivato ed ottenuto tale espressione per la velocità...
$\int_h^{x(t)}{dx}/{\sqrt(x^2-h^2)}=k\int_0^tdt:k=\sqrt{g/L}$
si nota che esistono due modi diversi per scrivere la primitiva del primo membro:
$arc cosh(x/h)$ oppure $\ln|x+\sqrt{x^2-h^2}|$. Non ho fatto i conti, ma è facile che chi ha risolto l'esercizio abbia prima trovato la legge oraria e poi derivato ed ottenuto tale espressione per la velocità...
Con Derive vengono due funzioni diverse, ma che tendono a coincidere per valori prossimi ad $h$. Inoltre ho trovato un esercizio svolto su un testo che riporta il mio risultato... Non so che dire
Vabbè in attesa che qualcuno dica la sua, scrivo anche la legge oraria:
$\int_h^{x(t)}{dx}/{\sqrt(x^2-h^2)}=k\int_0^tdt:k=\sqrt{g/L}=>\text{arccosh}({x(t)}/h)-\text{arccosh}(1)=kt=>x(t)=h\cosh(kt)$
Da qui possiamo ricavare la velocità:
$\dot{x}(t)=kh\sinh(kt)$
Utilizzando poi la legge oraria, si può scrivere:
$\dot{x}(x)=kh\sinh(\text{arccosh}(x/h))=kh\sqrt(cosh^2(\text{arccosh}(x/h))-1}=kh\sqrt{(x/h)^2-1}=k\sqrt{x^2-h^2}$
Ecco di nuovo questo tipo di espressione, che a questo punto mi sembra plausibile ed accreditata.
Poi l'accelerazione:
$\ddot{x}(t)=k^2h\cosh(kt)=>\ddot{x}(x)=k^2x=g/Lx:h<=x<=L$
$\int_h^{x(t)}{dx}/{\sqrt(x^2-h^2)}=k\int_0^tdt:k=\sqrt{g/L}=>\text{arccosh}({x(t)}/h)-\text{arccosh}(1)=kt=>x(t)=h\cosh(kt)$
Da qui possiamo ricavare la velocità:
$\dot{x}(t)=kh\sinh(kt)$
Utilizzando poi la legge oraria, si può scrivere:
$\dot{x}(x)=kh\sinh(\text{arccosh}(x/h))=kh\sqrt(cosh^2(\text{arccosh}(x/h))-1}=kh\sqrt{(x/h)^2-1}=k\sqrt{x^2-h^2}$
Ecco di nuovo questo tipo di espressione, che a questo punto mi sembra plausibile ed accreditata.
Poi l'accelerazione:
$\ddot{x}(t)=k^2h\cosh(kt)=>\ddot{x}(x)=k^2x=g/Lx:h<=x<=L$
Ragazzi ... a me viene un'altra cosa!
L'energia non si conserva ma il risultato del libro di Karl non mi convince.
Per me la velocità richiesta vale:
$\sqrt(hg*(L+h)/(L-h))$
@karl: che libro è?
ciao
L'energia non si conserva ma il risultato del libro di Karl non mi convince.
Per me la velocità richiesta vale:
$\sqrt(hg*(L+h)/(L-h))$
@karl: che libro è?
ciao
E perchè l'energia non si conserva?
Si tratta d un vecchio testo da me comprato su di una
bancarella a prezzo stracciato.
Autori:
I.Irodov,I.Savéliev,O.Zamcha
Titolo:"Recueil de problèmes de Physique Générale"
E' in francese ma l'edizione originale e' in russo
edita dalla MIR -Mosca.
Il problema, per chi avesse eventualmente il libro e la mia stessa edizione,e'
il N° 1.165 a pagina 41.La risposta si trova in fondo al testo alla pagina 213
Ciao.
karl
bancarella a prezzo stracciato.
Autori:
I.Irodov,I.Savéliev,O.Zamcha
Titolo:"Recueil de problèmes de Physique Générale"
E' in francese ma l'edizione originale e' in russo
edita dalla MIR -Mosca.
Il problema, per chi avesse eventualmente il libro e la mia stessa edizione,e'
il N° 1.165 a pagina 41.La risposta si trova in fondo al testo alla pagina 213
Ciao.
karl
Poi se non sbaglio, tu hai trovato:
$v(x)=\sqrt{gh{x+h}/{x-h}}=>\lim_{x\toh^+}=+\infty$ il che sembra assurdo!
In più la velocità sembrerebbe diminuire man mano che la catena scende...
$v(x)=\sqrt{gh{x+h}/{x-h}}=>\lim_{x\toh^+}=+\infty$ il che sembra assurdo!
In più la velocità sembrerebbe diminuire man mano che la catena scende...
Premesso che l'esercizio non l'ho risolto ... Come ha fatto notare giustamente mirco l'energia meccanica non si conserva perchè la catenina va ad urtare anelasticamente con il piano. Il caso dell'urto elastico, in cui l'energia si conserva, non mi sembra da prendere in considerazione perchè irrealistico (praticamente la catenina continuerebbe a rimbalzare all'infinito sul piano 
).
).
La catenella mica urta sul piano... Per come ho capito io il problema, c'è una catenella che sporge dal tubo e comincia a cadere verso il basso, quando la catena è completamente uscita dal tubo il piano è ancora lontano... In queste ipotesi l'unica forza che agisce è la forza peso, quindi c'è conservazione dell'energia meccanica.
Nei dati del problema si dice che la catenella nell'istante iniziale sfiora il tavolo con l'estremo B quindi scivolando andrà ad urtarlo.
Ho provato a risolverlo con il secondo principio della dinamica ma ovviamente arrivo ad una equazione differenziale che non riesco a risolvere , se qualcuno mi può dare una mano...
m1 d2x = m1 g - F
m2 d2x = F
dove m1 e m2 sono le masse rispettivamente del tratto orizzontale e verticale di catenella , F è la tensione che si ha all'uscita del tubo, d2 è la derivata seconda rispetto al tempo, x è lo spostamento della catenella (uguale sia nel tratto orizzontale che verticale)
Queste equazioni valgono solo fino all'istante in cui la catenella non sarà completamente uscita dal tubo, poi il problema si fa più semplice , si ha un corpo in caduta libera.
Il piano esercita una forza che decelera il punto che istantaneamente lo raggiunge ma nessuna forza si trasmette al tratto verticale se la catenella è ideale.
m1=h r
m2=(L-h-x) r
dove r è la densità della catenella.
Sostituisco e infine trovo l'equazione che non riesco a risolvere:
d2x = g / (1 + (L-h-x)/hr)
Ho provato a risolverlo con il secondo principio della dinamica ma ovviamente arrivo ad una equazione differenziale che non riesco a risolvere , se qualcuno mi può dare una mano...
m1 d2x = m1 g - F
m2 d2x = F
dove m1 e m2 sono le masse rispettivamente del tratto orizzontale e verticale di catenella , F è la tensione che si ha all'uscita del tubo, d2 è la derivata seconda rispetto al tempo, x è lo spostamento della catenella (uguale sia nel tratto orizzontale che verticale)
Queste equazioni valgono solo fino all'istante in cui la catenella non sarà completamente uscita dal tubo, poi il problema si fa più semplice , si ha un corpo in caduta libera.
Il piano esercita una forza che decelera il punto che istantaneamente lo raggiunge ma nessuna forza si trasmette al tratto verticale se la catenella è ideale.
m1=h r
m2=(L-h-x) r
dove r è la densità della catenella.
Sostituisco e infine trovo l'equazione che non riesco a risolvere:
d2x = g / (1 + (L-h-x)/hr)
Per me il risultato del libro è corretto.
La forza che agisce sulla catenella è data dal peso della parte sospesa. Se indichiamo con $lambda$ la densità lineare della catenella e con x il tratto percorso dall'estremo A si ha:
$F=ma=>lambda hg=lambda(L-x) a =>a=(hg)/(L-x)$
Cioè:
$(dv)/dt=(hg)/(L-x)=>dv=(hg)/(L-x)dx (dt)/dx=>vdv=(hg)/(L-x)dx$
Integrando si ottiene:
$int_0^v vdv=int_0^(L-h) (hg)/(L-x)dx=>v^2/2=hg[-ln(L-x)]_0^(L-h)$
La velocità della catenella è perciò:
$v=sqrt(2ghln(L/h))$
La forza che agisce sulla catenella è data dal peso della parte sospesa. Se indichiamo con $lambda$ la densità lineare della catenella e con x il tratto percorso dall'estremo A si ha:
$F=ma=>lambda hg=lambda(L-x) a =>a=(hg)/(L-x)$
Cioè:
$(dv)/dt=(hg)/(L-x)=>dv=(hg)/(L-x)dx (dt)/dx=>vdv=(hg)/(L-x)dx$
Integrando si ottiene:
$int_0^v vdv=int_0^(L-h) (hg)/(L-x)dx=>v^2/2=hg[-ln(L-x)]_0^(L-h)$
La velocità della catenella è perciò:
$v=sqrt(2ghln(L/h))$
La forza che agisce sul tratto orizzontale non è uguale al peso del tratto pendente verticale , ma alla tensione all'uscita dal tubo... Applicando il secondo principio al tratto verticale si ha che la sua accelerazione è proporzionale alla somma del peso e della tensione.
Comq mi hai dato il modo per risolvere l'equazione
Comq mi hai dato il modo per risolvere l'equazione
Comunque tenetevi cari quei libri di straordinari scienziati sovietici che si trovano sulle bancarelle e pubblicati dalla MIR (vedi la collana di Fisica teorica di Landau!!!!!!)
Si avevo fatto un errore di calcolo , anche il mio risultato è uguale a quello del libro...
Faccio notare comq che nella soluzione di mamo c'è un doppio errore che ha portato alla soluzione giusta.
Ha considerato la forza che agisce sul tratto orizzontale uguale al peso di quella verticale e si è dimenticato di togliere un h dalla lunghezza L nel calcolare la massa. (l-h-x) * lambda è la massa
Faccio notare comq che nella soluzione di mamo c'è un doppio errore che ha portato alla soluzione giusta.
Ha considerato la forza che agisce sul tratto orizzontale uguale al peso di quella verticale e si è dimenticato di togliere un h dalla lunghezza L nel calcolare la massa. (l-h-x) * lambda è la massa
Ah scusate avevo interpretato il problema in modo diverso. Proverò a farlo in queste nuove ipotesi...
Avevo pensato anch'io alla soluzione di Mamo, ma poi ho considerato che il corpo al quale si applica la seconda equazione è a massa variabile, in quanto la parte di catena che finisce sul tavolo non partecipa più al moto.
In questo caso credo che l'equazione corretta sia questa:
$d/dt(mv)=F$
dalla quale ho ottenuto il mio risultato.
Cosa ne dite?
ciao
In questo caso credo che l'equazione corretta sia questa:
$d/dt(mv)=F$
dalla quale ho ottenuto il mio risultato.
Cosa ne dite?
ciao
Infatti.
Quando la vita si fa dura, chiedede aiuto a Isaac!
Quando la vita si fa dura, chiedede aiuto a Isaac!
Io ho ottenuto un risultato simile come forma a quello di mirco59... avrò sic sbagliato i calcoli ma il mio procedimento è questo... lungi dal voler essere la sol corretta, cmq in seguito posterò le equazioni:
- La catenella sul tubo è soggetta solo alla tensione, è un corpo a massa variabile e si può applicare il la formula che dice mirco59;
- la tensione della catenella nella parte che tocca il tavolo è nulla;
- la catenella in un certo senso è un corpo rigido, con istante per istante una unica velocità ed accelerazione ben definita in tutto il corpo (insomma, senza che gli anellini si accumulino da qualche parte o cose di questo genere);
Impostando le equazioni differenziali con le premesse ho un risultato.
In particolare mi viene che la tensione con cui viene tirata la parte interna al tubo dipende dall'accelerazione con cui la catenella si sta muovendo.
Cmq mi parrebbe strano che l'energia si conservi anche se non ci fosse il tavolo, visto che i pezzi della catena dentro al tubo compiono degli urti anelastici per invertire istantaneamente la loro direzione, quando escono (nel modello, ovviamente, non nella realtà
)...
in ogni caso, prescindendo dalla cavolate che avrò detto, problema interessante!
- La catenella sul tubo è soggetta solo alla tensione, è un corpo a massa variabile e si può applicare il la formula che dice mirco59;
- la tensione della catenella nella parte che tocca il tavolo è nulla;
- la catenella in un certo senso è un corpo rigido, con istante per istante una unica velocità ed accelerazione ben definita in tutto il corpo (insomma, senza che gli anellini si accumulino da qualche parte o cose di questo genere);
Impostando le equazioni differenziali con le premesse ho un risultato.
In particolare mi viene che la tensione con cui viene tirata la parte interna al tubo dipende dall'accelerazione con cui la catenella si sta muovendo.
Cmq mi parrebbe strano che l'energia si conservi anche se non ci fosse il tavolo, visto che i pezzi della catena dentro al tubo compiono degli urti anelastici per invertire istantaneamente la loro direzione, quando escono (nel modello, ovviamente, non nella realtà
)...in ogni caso, prescindendo dalla cavolate che avrò detto, problema interessante!
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