Una catenella
Una catenella AB d lunghezza L si trova all'interno di un tubo
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
liscio orizzontale in maniera tale che una parte lunga h
penda e sfiori con l'estremita' B la superficie di un tavolo
mentre A sporge appena dall'inizio del tubo e viene mantenuta ferma.
Ad un certo istante si lascia l'estremita' A della catenella .
A quale velocita' A abbandona il tubo?
karl
Risposte
Allego la soluzione riportata da un testo di fisica riguardo al problema senza il tavolo sotto.
"mirco59":
Avevo pensato anch'io alla soluzione di Mamo, ma poi ho considerato che il corpo al quale si applica la seconda equazione è a massa variabile, in quanto la parte di catena che finisce sul tavolo non partecipa più al moto.
In questo caso credo che l'equazione corretta sia questa:
$d/dt(mv)=F$
dalla quale ho ottenuto il mio risultato.
Cosa ne dite?
ciao
Applicando quella formula io ottengo la seguente velocità:
$v=sqrt(g/h(L^2-h^2))$
ma, come ha osservato Cavallipurosangue, anche in questo caso i risultati (per h = 0) sono fisicamente incomprensibili.
Io ottengo un risultato diverso, ma sono solito a sbagliare i calcoli... cmq poi li posterò, ma a qualcuno viene qualcosa del genere??: [L=lunghezza tubo, h altezza]
$v=sqrt( (ghL(L+2h))/(L+h)^2 )$
mi pare torni fisicamente (almeno il limite per h che tende ad infinito mi pare corretto, il che mi rincuora)...
cmq cavalli, non so... sai che non mi fido dei libri
... soprattutto quando non chiariscono i passaggi che (secondo me) dovrebbero... ora ci pensiamo! non è che qualcuno può organizzare un bell'esperimento che vediamo cosa dice la natura?? 
$v=sqrt( (ghL(L+2h))/(L+h)^2 )$
mi pare torni fisicamente (almeno il limite per h che tende ad infinito mi pare corretto, il che mi rincuora)...
cmq cavalli, non so... sai che non mi fido dei libri
... soprattutto quando non chiariscono i passaggi che (secondo me) dovrebbero... ora ci pensiamo! non è che qualcuno può organizzare un bell'esperimento che vediamo cosa dice la natura??
"Thomas":
Io ottengo un risultato diverso, ma sono solito a sbagliare i calcoli... cmq poi li posterò, ma a qualcuno viene qualcosa del genere??:
$v=sqrt( (ghL(L+2h))/(L+h)^2 )$
mi pare torni fisicamente (almeno il limite per h che tende ad infinito mi pare corretto, il che mi rincuora)...
....
Però non torna fisicamente per h = L (dovrebbe dare v = 0).
Ormai le abbiamo provate tutte!
h non può tendere ad infinto... perchè al max h può essere pari alla lunghezza complessiva L. Secondo me poi il fatto che la catena cambi direzione può al max portare alla conclusione dell'esistenza di una accelerazione centripeta ( nel caso in cui davvero non ci siano urti ). Se quindi tutte le superfici con le quali la catena viene a contatto sono in grado di esplicare solo reazioni ortogonali a se stesse, questo fatto non influisce sulla dinamica del moto lungo tali supefici.
Riuscirà qualcuno a dare una soluzione sicura a questo esercizio ? 
La formula proposta da mirco comq mi sembra da prendere in considerazione , andrebbe spiegata un po' meglio forse.
Io ho considerato la variazione di massa solo scrivendola come funzione di x ma mi sa che non va bene.
La formula proposta da mirco comq mi sembra da prendere in considerazione , andrebbe spiegata un po' meglio forse.
Io ho considerato la variazione di massa solo scrivendola come funzione di x ma mi sa che non va bene.
Io ho trovato qualcosa solo che mi rimane una equazione differenziale non risolvibile in modo esatto...
Ragazzi, fatemi ricontrollare i calcoli e appena posso cerco di postare il procedimento
Interessante problema!
ciao a tutti
Interessante problema!
ciao a tutti
Vabbè io vi riporto quello che mi è venuto fuori. Anche io come Mirco credo che in questo caso vada utilizzata con cautela la 2 legge di Newton, infatti la massa del tratto orizzontale varia nel tempo...
Secondo me un modello valido potrebbe esser questo:
Immaginiamo il sistema fermo ad un generico istante $t$ dopo che la catena si è spostata di $x$. Possiamo immaginare il tutto come un sistema formato da una massa appoggiata ad un piano orizzontale sollevato da terra, collegata tramite una corda priva di massa ed inestensibile ed una carrucola ideale ad una seconda massa costante nel tempo, a differenza della prima, sospesa verticalmente. Le masse si considerano puntiformi e rispettivamente: $m_1(x)=\lambda(L-h-x)$, mentre $m_2=\lambdah$. Non ho considerato l'effetto della forza di reazione del suolo perchè ai fini del nostro problema non interessa.
Prendiamo un sistema inerziale, solidale a terra e scomponiamo le forze su un versore diretto come l'accelerazione:
${(\lambdahg-T=\lambdah\ddot{x},\text{massa verticale}),(T=\dot{Q},\text{massa orizzontale}),(Q=\lambda(L-h-x)\dot{x},\text{quantità di moto di}m_1):}$
Quindi:
${dQ}/{dt}={d}/{dt}(\lambda(L-h-x)\dot{x})={d}/{dt}(\lambda(L-h-x))\dot{x}+\lambda(L-h-x)\ddot{x}={d}/{dx}(\lambda(L-h-x))\dot{x}^2+\lambda(L-h-x)\ddot{x}=-\lambda\dot{x}^2+\lambda(L-h-x)\ddot{x}$
Dal sistema si ricava:
$\lambdahg-\dot{Q}=\lambdah\ddot{x}=>\lambdahg+\lambda\dot{x}^2-\lambda(L-h-x)\ddot{x}=\lambdah\ddot{x}=>(L-x)\ddot{x}-\dot{x}^2=gh$
Da qui in poi però mi sembra che non si possano trovare soluzioni esatte, almeno io non ne conosco il modo.
Ricordiamo comunque che a noi interessa una funzione che esprima la velocità della catena in funzione del suo spostamento, quindi interessa $\dot{x}(x)$, al momento non ci interessa sapere come si evolve il sistema in funzione del tempo.
Immaginiamo il sistema fermo ad un generico istante $t$ dopo che la catena si è spostata di $x$. Possiamo immaginare il tutto come un sistema formato da una massa appoggiata ad un piano orizzontale sollevato da terra, collegata tramite una corda priva di massa ed inestensibile ed una carrucola ideale ad una seconda massa costante nel tempo, a differenza della prima, sospesa verticalmente. Le masse si considerano puntiformi e rispettivamente: $m_1(x)=\lambda(L-h-x)$, mentre $m_2=\lambdah$. Non ho considerato l'effetto della forza di reazione del suolo perchè ai fini del nostro problema non interessa.
Prendiamo un sistema inerziale, solidale a terra e scomponiamo le forze su un versore diretto come l'accelerazione:
${(\lambdahg-T=\lambdah\ddot{x},\text{massa verticale}),(T=\dot{Q},\text{massa orizzontale}),(Q=\lambda(L-h-x)\dot{x},\text{quantità di moto di}m_1):}$
Quindi:
${dQ}/{dt}={d}/{dt}(\lambda(L-h-x)\dot{x})={d}/{dt}(\lambda(L-h-x))\dot{x}+\lambda(L-h-x)\ddot{x}={d}/{dx}(\lambda(L-h-x))\dot{x}^2+\lambda(L-h-x)\ddot{x}=-\lambda\dot{x}^2+\lambda(L-h-x)\ddot{x}$
Dal sistema si ricava:
$\lambdahg-\dot{Q}=\lambdah\ddot{x}=>\lambdahg+\lambda\dot{x}^2-\lambda(L-h-x)\ddot{x}=\lambdah\ddot{x}=>(L-x)\ddot{x}-\dot{x}^2=gh$
Da qui in poi però mi sembra che non si possano trovare soluzioni esatte, almeno io non ne conosco il modo.
Ricordiamo comunque che a noi interessa una funzione che esprima la velocità della catena in funzione del suo spostamento, quindi interessa $\dot{x}(x)$, al momento non ci interessa sapere come si evolve il sistema in funzione del tempo.
"cavallipurosangue":
....
Dal sistema si ricava:
$\lambdahg-\dot{Q}=\lambdah\ddot{x}=>\lambdahg+\lambda\dot{x}^2-\lambda(L-h-x)\ddot{x}=\lambdah\ddot{x}=>(L-x)\ddot{x}-\dot{x}^2=gh$
Da qui in poi però mi sembra che non si possano trovare soluzioni esatte, almeno io non ne conosco il modo.
Ricordiamo comunque che a noi interessa una funzione che esprima la velocità della catena in funzione del suo spostamento, quindi interessa $\dot{x}(x)$, al momento non ci interessa sapere come si evolve il sistema in funzione del tempo.
E' la stessa equazione differenziale che si ricava dalla formula $F=d/(dt)(mv)$.
Essendo $\dot x =v$ l'equazione diventa:
$(dv)/(dt)=(v^2+gh)/(L-x)$
Cioè:
$(dv)/(v^2+gh)=dt/(L-x)=dx/(L-x)(dt)/dx=dx/(L-x) 1/v$
Separando le variabili si ottiene:
$v/(v^2+gh)dv=dx/(L-x)$
Integrando si ha:
$1/2ln((v^2+gh)/gh)=ln(L/h)$
Da cui si trova la formula che ho scritto prima:
$v=sqrt(g/h(L^2-h^2)$
Già scusate, mi sono perso in un bicchier d'acqua proprio alla fine...
"MaMo":
[quote="Thomas"]Io ottengo un risultato diverso, ma sono solito a sbagliare i calcoli... cmq poi li posterò, ma a qualcuno viene qualcosa del genere??:
$v=sqrt( (ghL(L+2h))/(L+h)^2 )$
mi pare torni fisicamente (almeno il limite per h che tende ad infinito mi pare corretto, il che mi rincuora)...
....
Però non torna fisicamente per h = L (dovrebbe dare v = 0).
Ormai le abbiamo provate tutte!
[/quote]no, no... scusa ma per me L è la lunghezza del tubo, ed h l'altezza... la lunghezza complessiva del filo è L+h... fisicamente la formula mi pare tornare... il caso a cui ti riferisci credo che sia L=0, no? per L=0 infatti la formula si annulla..
Ora guardo la sol di cavalli...
ps: scusate se ho cambiato le notazioni, è che non ho guardato quelle di karl... con le sue mi viene:
$v=sqrt(gh(L^2-h^2))/L$
"cavallipurosangue":
Secondo me un modello valido potrebbe esser questo:
Immaginiamo il sistema fermo ad un generico istante $t$ dopo che la catena si è spostata di $x$. Possiamo immaginare il tutto come un sistema formato da una massa appoggiata ad un piano orizzontale sollevato da terra, collegata tramite una corda priva di massa ed inestensibile ed una carrucola ideale ad una seconda massa costante nel tempo, a differenza della prima, sospesa verticalmente.
secondo me quà non và... nel mio modello la forza con cui la seconda massa "tira" la seconda non è costante nel tempo e dipende dall'accelerazione con cui si sta muovendo la fune...
in particolare la tensione applicata all'estremità del tubo credo sia: $T=(g-a) \lambda h$ relazione che si può ottenere anche applicando la legge di Newton nella forma di mirco59 alla massa sospesa.
Ho ridato un'occhiata al testo di fluidodinamica , da solo non ce la facevo ... Per un sistema aperto come quello costituito dalla catenella nel tubo l'equazione della quantità di moto diventa:
F = IntA s v v*ndA + d/dt IntV svdV
dove s è la densità volumetrica di massa, IntA è l'integrale sull'area di passaggio della catenella IntV è l'integrale nel volume del tubo, n è il versore normale alla sezione del tubo uscente da esso.
Credo che sia questa l'equazione da utilizzare.
... Per un sistema aperto come quello costituito dalla catenella nel tubo l'equazione della quantità di moto diventa:F = IntA s v v*ndA + d/dt IntV svdV
dove s è la densità volumetrica di massa, IntA è l'integrale sull'area di passaggio della catenella IntV è l'integrale nel volume del tubo, n è il versore normale alla sezione del tubo uscente da esso.
Credo che sia questa l'equazione da utilizzare.
Se è quella, io mi arrendo... ... prova e dicci il risultato...
cmq sicuro che puoi utilizzare formule per fluidi per una catenella? A me pare un sistema diverso... ma mi rassegno alla mia ignoranza...
... prova e dicci il risultato...cmq sicuro che puoi utilizzare formule per fluidi per una catenella? A me pare un sistema diverso... ma mi rassegno alla mia ignoranza...
Thomas, anche io mica ho considerato costante la forza che tira la catenella... Dipende anche nella mia soluzione dall'accelerazione, in più però dipende anche dalla variazione di massa nell'unità di tempo...
"cavallipurosangue":
Thomas, anche io mica ho considerato costante la forza che tira la catenella... Dipende anche nella mia soluzione dall'accelerazione, in più però dipende anche dalla variazione di massa nell'unità di tempo...
eheh... in effetti hai ragione... ma la tua modellizzazione sembrava suggerire altro...
cmq anche a te viene la medesima formula per la tensione, noto ora (quella che ho scritto sopra)... quindi: il tuo procedimento è uguale al mio ma il ris diverso... ok ho capito, ho fatto qualche errore di calcolo
... dopo controllo bene ANCHE i tuoi calcoli, ma visto che anche a Ma_mo viene lo stesso..
ciao ciao
Beh in effetti quando si vuole dire troppo con troppe poche parole...
"cavallipurosangue":
Beh in effetti quando si vuole dire troppo con troppe poche parole...
no no... sono io che sono un pò stupido
... sai com'è, quando vai di fretta ne spari di cavolate!
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