Quiz: da sinistra a destra
Se in Inghilterra decidessero di passare alla guida a destra come da noi, la durata del giorno aumenterebbe, diminuirebbe o rimarrebbe invariata?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Risposte
Credo invece che sia essenziale per la questione.
Alla fine con le sole forze interne se ritorni nelle condizioni iniziali (stessa disposizione relativa delle masse e tutto fermo ) per un qualunque osservatore sei ritornato esattamente al punto di prima, ovvero tenendo conto del movimento del centro di massa non può accadere che alla fine ci sia solo una rotazione parziale come risultato finale.
Ovvero per tornare al discorso iniziale se metti in rotazione le auto e la Terra (sasso) gira in senso opposto rispetto al suo asse di rotazione, devi tener conto che in realtà hai anche messo in rotazione il centro della Terra ovvero l'asse rispetto a cui stai ruotando. E se ti fermi nel punto da dove hai iniziato, ti trovi al punto di prima sia come angolo che come posizione dell'asse di rotazione (al netto ovviamente dei movimenti naturali della Terra).
Provo a calcolare la Lagrangiana del sistema nel caso semplice del disco per capire se il discorso fila.
Alla fine con le sole forze interne se ritorni nelle condizioni iniziali (stessa disposizione relativa delle masse e tutto fermo ) per un qualunque osservatore sei ritornato esattamente al punto di prima, ovvero tenendo conto del movimento del centro di massa non può accadere che alla fine ci sia solo una rotazione parziale come risultato finale.
Ovvero per tornare al discorso iniziale se metti in rotazione le auto e la Terra (sasso) gira in senso opposto rispetto al suo asse di rotazione, devi tener conto che in realtà hai anche messo in rotazione il centro della Terra ovvero l'asse rispetto a cui stai ruotando. E se ti fermi nel punto da dove hai iniziato, ti trovi al punto di prima sia come angolo che come posizione dell'asse di rotazione (al netto ovviamente dei movimenti naturali della Terra).
Provo a calcolare la Lagrangiana del sistema nel caso semplice del disco per capire se il discorso fila.
Se $M$ ed $I=MR^2/2$ sono la massa e l'inerzia del disco, identificato dalla posizione $x_c$ e $y_c$ del suo centro calcolata rispetto ad un riferimento fisso, e dall'angolo $theta$ di posizione angolare di una tacca rispetto ad un asse parallelo all'asse x ma centrato in $(x_c,y_c)$, m la massa del corpo, che supponiamo vincolato a percorrere solo traiettorie circolari rispetto al centro del disco, e la cui posizione è identificata da $phi$ angolo sempre calcolato rispetto all'asse di prima, la Lagrangiana dovrebbe essere:
$L=1/2M(dotx_c^2+doty_c^2)+1/2I dot theta^2 + 1/2m(dotx_c^2+doty_c^2+R^2 dot phi^2-2Rdotx_c*dot phi*sin(phi) +2Rdoty_c*dot phi*cos(phi))$
mgrau: siccome con questa L ottengo la soluzione controintuitiva che il disco non ruota per niente attorno al suo centro e quello che ruota è solo il centro del disco stesso, ti chiedo la cortesia di verificarla e di segnalarmi eventuali errori.
$L=1/2M(dotx_c^2+doty_c^2)+1/2I dot theta^2 + 1/2m(dotx_c^2+doty_c^2+R^2 dot phi^2-2Rdotx_c*dot phi*sin(phi) +2Rdoty_c*dot phi*cos(phi))$
mgrau: siccome con questa L ottengo la soluzione controintuitiva che il disco non ruota per niente attorno al suo centro e quello che ruota è solo il centro del disco stesso, ti chiedo la cortesia di verificarla e di segnalarmi eventuali errori.
"ingres":
mgrau: siccome con questa L ottengo la soluzione controintuitiva che il disco non ruota per niente attorno al suo centro e quello che ruota è solo il centro del disco stesso, ti chiedo la cortesia di verificarla e di segnalarmi eventuali errori.
Ma per carità!
Non vado molto d'accordo con i calcoli...Comunque: ennesimo cambio di modello
. Sfera divisa in due parti con un taglio. girevoli intorno ad un asse perpendicolare al taglio. Una rappresenta la terra, l'altra la massa di auto. Se una parte - con un motore interno - si mette a girare rispetto all'altra, il centro di massa non fa una piega, il momento angolare rimane zero, ma la velocità angolare della parte "terra" è diversa da zero. E, se il tutto girava da prima, la velocità angolare della "terra" varia.Comunque, tutto questo mi pare assolutamente ovvio. Non mi è mica tanto chiaro da dove è saltato fuori questo polverone.
Mi sono "cimentato" anche io per capire se quello che mi aspettavo (e che scrivevo nei posts precedenti), alla luce delle osservazioni, fosse corretto.
La Lagrangiana a cui è giunto ingres mi sembra corretta. Ho risolto le eq del moto imponendo in particolare quantità di moto e momento angolare iniziale nulli per un set di parametri ad-hoc (m = 5kg,M = 20kg, R=1m), oltre alla velocità iniziale dell'oggetto in moto sul disco.
ed ecco qui l'animazione:
https://ibb.co/61V9LDV
legenda: il punto bianco rappresenta il centro del disco (notare che si muove)
il punto rosso rappresenta il CDM del sistema disco + oggetto (notare che esso è fermo, come da attese)
il punto nero rappresenta l'oggetto che si muove sulla superficie del disco
il punto arancio sulla superficie è "la tacca di riferimento" sul disco per misurare la sua rotazione.
Sul sistema non agiscono forze esterne. In particolare, si assume che una opportuna forza interna abbia messo in moto l'oggetto sulla superficie (e la forza interna di reazione mette in moto il disco): questa è la ragione della condizione iniziale imposta.
Stesso ragionamento si può applicare per lo studio del frenamento dell'oggetto (tramite ancora una forza interna).
Non mi sembra di trovare contraddizioni alcune con il principi di conservazione nel momento in cui, successivamente, oggetto e disco si ritrovino nella stessa posizione relativa (intendendo, corpo che ha percorso un arco corrispondente all' \(\theta\) sul disco e disco stesso che ha ruotato di \(2\pi - \theta\), una volta tenuto conto di quanto è già stato precedentemente osservato nei posts precedenti.
La Lagrangiana a cui è giunto ingres mi sembra corretta. Ho risolto le eq del moto imponendo in particolare quantità di moto e momento angolare iniziale nulli per un set di parametri ad-hoc (m = 5kg,M = 20kg, R=1m), oltre alla velocità iniziale dell'oggetto in moto sul disco.
ed ecco qui l'animazione:
https://ibb.co/61V9LDV
legenda: il punto bianco rappresenta il centro del disco (notare che si muove)
il punto rosso rappresenta il CDM del sistema disco + oggetto (notare che esso è fermo, come da attese)
il punto nero rappresenta l'oggetto che si muove sulla superficie del disco
il punto arancio sulla superficie è "la tacca di riferimento" sul disco per misurare la sua rotazione.
Sul sistema non agiscono forze esterne. In particolare, si assume che una opportuna forza interna abbia messo in moto l'oggetto sulla superficie (e la forza interna di reazione mette in moto il disco): questa è la ragione della condizione iniziale imposta.
Stesso ragionamento si può applicare per lo studio del frenamento dell'oggetto (tramite ancora una forza interna).
Non mi sembra di trovare contraddizioni alcune con il principi di conservazione nel momento in cui, successivamente, oggetto e disco si ritrovino nella stessa posizione relativa (intendendo, corpo che ha percorso un arco corrispondente all' \(\theta\) sul disco e disco stesso che ha ruotato di \(2\pi - \theta\), una volta tenuto conto di quanto è già stato precedentemente osservato nei posts precedenti.
Ciao Lampo
Bellissima simulazione e il movimento del centro del disco è quanto mi aspetto che succedesse come moto e, a questo punto, sono convinto anch'io della tesi di Alex e mgrau (beninteso con l'asse della Terra che si sposta anch'esso).
L'unica cosa però che non mi piace è che la mia Lagrangiana ti sembri corretta, perché quella Lagrangiana mi darebbe come equazione per il moto in $theta$ (il moto del punto arancio)
$ddot theta =0$
e quindi, se all'inizio $dot theta(0)=0$, non mi muovo più anche se il punto nero si mette in moto, il che ovviamente che non è quello che succede (e che mi sembra più ragionevole). Cosa hai usato come equazione per il punto arancio?
Bellissima simulazione e il movimento del centro del disco è quanto mi aspetto che succedesse come moto e, a questo punto, sono convinto anch'io della tesi di Alex e mgrau (beninteso con l'asse della Terra che si sposta anch'esso).
L'unica cosa però che non mi piace è che la mia Lagrangiana ti sembri corretta, perché quella Lagrangiana mi darebbe come equazione per il moto in $theta$ (il moto del punto arancio)
$ddot theta =0$
e quindi, se all'inizio $dot theta(0)=0$, non mi muovo più anche se il punto nero si mette in moto, il che ovviamente che non è quello che succede (e che mi sembra più ragionevole). Cosa hai usato come equazione per il punto arancio?
L'equazione \(\theta''(t) = 0\) è in realtà corretta.
Bisogna tenere conto che questa lagrangiana non descrive le forze interne agenti tra i due corpi e in particolare non può descrivere, a partire dalla condizione iniziale in cui ambo gli oggetti sono in quiete, il fatto che si possano mettere in moto.
Anche perché, essendo la lagrangiana non dipendente esplicitamente dal tempo, ciò implicherebbe conservazione dell'energia meccanica, mentre invece in questa situazione, essendo i due corpi non interagenti - a meno delle forze vincolari - si passa da una situazione con energia cinetica nulla a una con energia cinetica non nulla.
Come dicevo prima, si deve supporre che agisca una forza interna impulsiva (non ben specificata) tale da conservare quantità di moto e momento angolare (nulle entrambi), per poi scrivere la condizione iniziale da applicare nella soluzione delle equazioni del moto. In altri termini, dobbiamo supporre che al tempo \(t \rightarrow 0_{-} \) il sistema sia in quiete, \(t \rightarrow 0_{+} \) sia in movimento, e che nel frattempo ha agito una forza interna. Per t > 0 è valida la lagrangiana scritta, e pertanto imponendo come condizione iniziale la posizione/velocità generalizzata immediatamente dopo l'azione della forza impulsiva si descrive l'evoluzione del sistema.
Bisogna tenere conto che questa lagrangiana non descrive le forze interne agenti tra i due corpi e in particolare non può descrivere, a partire dalla condizione iniziale in cui ambo gli oggetti sono in quiete, il fatto che si possano mettere in moto.
Anche perché, essendo la lagrangiana non dipendente esplicitamente dal tempo, ciò implicherebbe conservazione dell'energia meccanica, mentre invece in questa situazione, essendo i due corpi non interagenti - a meno delle forze vincolari - si passa da una situazione con energia cinetica nulla a una con energia cinetica non nulla.
Come dicevo prima, si deve supporre che agisca una forza interna impulsiva (non ben specificata) tale da conservare quantità di moto e momento angolare (nulle entrambi), per poi scrivere la condizione iniziale da applicare nella soluzione delle equazioni del moto. In altri termini, dobbiamo supporre che al tempo \(t \rightarrow 0_{-} \) il sistema sia in quiete, \(t \rightarrow 0_{+} \) sia in movimento, e che nel frattempo ha agito una forza interna. Per t > 0 è valida la lagrangiana scritta, e pertanto imponendo come condizione iniziale la posizione/velocità generalizzata immediatamente dopo l'azione della forza impulsiva si descrive l'evoluzione del sistema.
Ciao Lampo
Non dovrebbe essere esattamente così. La Lagrangiana deve avere tutto per descrivere il fenomeno di interazione tra i due corpi e credo di aver capito anche l'errore che ho fatto e come vada modificata: bisogna prendere $phi$ come angolo di variazione rispetto a $theta$ altrimenti non è una vera coordinata indipendente. In tal caso diventa:
$L=1/2M(dotx_c^2+doty_c^2)+1/2I dot theta^2 + 1/2m(dotx_c^2+doty_c^2+R^2 (dot theta + dot phi)^2-2Rdotx_c*(dot theta + dot phi)*sin(phi+theta) + 2Rdoty_c*(dot theta+dot phi)*cos(phi+theta))$.
Se il centro fosse mantenuto fisso, avremmo infatti l'equazione:
$(d(I dot theta + mR^2 (dot theta + dot phi)))/dt =0$
che esprime proprio la conservazione del momento angolare. Per cui, se impongo un $ dot phi(t)$ e questo sì che lo devo imporre con una forza interna, automaticamente innesco una variazione $ dot theta(t)$ come è corretto che sia.
Vedo di ricavare le equazioni del moto e poi ti chiedo la cortesia di verificarle con quelle della simulazione.
Non dovrebbe essere esattamente così. La Lagrangiana deve avere tutto per descrivere il fenomeno di interazione tra i due corpi e credo di aver capito anche l'errore che ho fatto e come vada modificata: bisogna prendere $phi$ come angolo di variazione rispetto a $theta$ altrimenti non è una vera coordinata indipendente. In tal caso diventa:
$L=1/2M(dotx_c^2+doty_c^2)+1/2I dot theta^2 + 1/2m(dotx_c^2+doty_c^2+R^2 (dot theta + dot phi)^2-2Rdotx_c*(dot theta + dot phi)*sin(phi+theta) + 2Rdoty_c*(dot theta+dot phi)*cos(phi+theta))$.
Se il centro fosse mantenuto fisso, avremmo infatti l'equazione:
$(d(I dot theta + mR^2 (dot theta + dot phi)))/dt =0$
che esprime proprio la conservazione del momento angolare. Per cui, se impongo un $ dot phi(t)$ e questo sì che lo devo imporre con una forza interna, automaticamente innesco una variazione $ dot theta(t)$ come è corretto che sia.
Vedo di ricavare le equazioni del moto e poi ti chiedo la cortesia di verificarle con quelle della simulazione.
Non mi trovi d'accordo:
in particolare, quindi, quale sarebbe il termine di interazione tra le due particelle? quello che hai scritto è semplicemente l'energia cinetica espressa in termini delle coordinate generalizzate che hai scelto. (o per lo meno, è la strada che avevo percorso io giungendo alla tua stessa lagrangiana). Ovviamente mi riferisco al tuo primo approccio. Su quello che hai appena illustrato nel tuo posts precedente, devo rifletterci, ma ad una prima riflessione non capisco l'osservazione sui gradi di libertà del sistema, che mi sembrano già indipendenti (posso scegliere la x,y del centro del disco grande, posso scegliere la rotazione del disco grande rispetto all'asse x, posso scegliere la posizione del corpo sulla circonferenza del disco; queste definiscono lo stato e non ci sono vincoli tra essi)
Se supponiamo di volere descrivere tutte le interazioni, servirà dunque un termine di potenziale che descriva le forze interne in modo tale che la lagrangiana rimanga ancora esplicitamente indipendente dal tempo, e quindi l'energia meccanica (cinetica + potenziale) si conservi, rendendo possibile (dal punto di vista della conservazione dell'energia) passare da una situazione con sistema in quiete a uno in cui i due corpi si muovono.
Nel mio approccio, io me ne frego di questa problematica e modellizzo il sistema dopo "l'interazione" iniziale, supponendo che qualunque ragione abbia messo in moto il sistema, sia una forza interna che agisca solo istantaneamente all'inizio. Da un certo punto di vista questa lagrangiana non è soddisfacente, me ne rendo conto, ma risponde ai quesiti che erano posti ...
la Lagrangiana deve avere tutto per descrivere il fenomeno di interazione tra i due corpi
in particolare, quindi, quale sarebbe il termine di interazione tra le due particelle? quello che hai scritto è semplicemente l'energia cinetica espressa in termini delle coordinate generalizzate che hai scelto. (o per lo meno, è la strada che avevo percorso io giungendo alla tua stessa lagrangiana). Ovviamente mi riferisco al tuo primo approccio. Su quello che hai appena illustrato nel tuo posts precedente, devo rifletterci, ma ad una prima riflessione non capisco l'osservazione sui gradi di libertà del sistema, che mi sembrano già indipendenti (posso scegliere la x,y del centro del disco grande, posso scegliere la rotazione del disco grande rispetto all'asse x, posso scegliere la posizione del corpo sulla circonferenza del disco; queste definiscono lo stato e non ci sono vincoli tra essi)
Se supponiamo di volere descrivere tutte le interazioni, servirà dunque un termine di potenziale che descriva le forze interne in modo tale che la lagrangiana rimanga ancora esplicitamente indipendente dal tempo, e quindi l'energia meccanica (cinetica + potenziale) si conservi, rendendo possibile (dal punto di vista della conservazione dell'energia) passare da una situazione con sistema in quiete a uno in cui i due corpi si muovono.
Nel mio approccio, io me ne frego di questa problematica e modellizzo il sistema dopo "l'interazione" iniziale, supponendo che qualunque ragione abbia messo in moto il sistema, sia una forza interna che agisca solo istantaneamente all'inizio. Da un certo punto di vista questa lagrangiana non è soddisfacente, me ne rendo conto, ma risponde ai quesiti che erano posti ...
Come interazioni intendo le leggi di conservazione applicate ad un sistema di 2 corpi, ovvero quelle derivate dal principio di azione e reazione. Quindi il fatto che non fosse esplicitamente ricavabile la conservazione del momento angolare totale, ma che la si dovesse imporre "esternamente", è un mio errore a prescindere.
Il problema è che nella precedente formulazione $phi$ non era indipendente da $theta$. In un moto rigido di rotazione sarebbe stato $phi(t)=theta(t)$ e quindi sarei stato obbligato a porre $dot phi = dot theta$ mentre considerandola indipendente avrei potuto considerare sbagliando $dot phi =0$. In particolare questo errore è proprio alla base dell'errata equazione su $theta$.
Separando le variazioni dovute a $theta$, allora $phi$ diventa realmente indipendente e la posso scegliere a mio piacimento. Il suo significato fisico è di essere la posizione angolare relativa del corpo rispetto al disco.
Per il resto non ho considerato nessuna energia potenziale ma solo energia cinetica.
Il problema è che nella precedente formulazione $phi$ non era indipendente da $theta$. In un moto rigido di rotazione sarebbe stato $phi(t)=theta(t)$ e quindi sarei stato obbligato a porre $dot phi = dot theta$ mentre considerandola indipendente avrei potuto considerare sbagliando $dot phi =0$. In particolare questo errore è proprio alla base dell'errata equazione su $theta$.
Separando le variazioni dovute a $theta$, allora $phi$ diventa realmente indipendente e la posso scegliere a mio piacimento. Il suo significato fisico è di essere la posizione angolare relativa del corpo rispetto al disco.
Per il resto non ho considerato nessuna energia potenziale ma solo energia cinetica.
@mgrau @Faussone
[ot]A proposito di bollicine ...
Sono incappato per caso in questo però non l'ho letto[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]A proposito di bollicine ...
Sono incappato per caso in questo però non l'ho letto
[/ot]Cordialmente, Alex
[ot]
Interessante! Grazie.[/ot]
"axpgn":
@mgrau @Faussone
A proposito di bollicine ...
Sono incappato per caso in questo però non l'ho letto
Interessante! Grazie.[/ot]
[ot]Per la precisione, non ho letto il paper ma l'articolo sì
Peraltro come fanno a misurare se una bollicina è più o meno grande di 0,926 mm?
Anzi, peggio, come misurano la variazione della curvatura? [/ot]
Peraltro come fanno a misurare se una bollicina è più o meno grande di 0,926 mm?
Anzi, peggio, come misurano la variazione della curvatura?
[/ot]
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