Problemi vari su momento d'inerzia e momento angolare
Ho segnato tutti gli esercizi che non sono riuscito a svolgere con una gamma...collaborate in numerosi, anche uno solo dei vostri suggerimenti mi sarebbe davvero prezioso!
http://imageshack.us/photo/my-images/21 ... izip1.png/
http://imageshack.us/photo/my-images/54 ... izip2.png/
http://imageshack.us/photo/my-images/233/esercizi3.jpg/
Alcuni di questi problemi vi suoneranno familiari, come quello della calotta (12.7) e dell'ellissoide (12.9 b)... Voglio ovviamente fornirvi i metodi che avevo tentato di usare io, ma senza risultato...
ESERCIZIO 12.7
quel "momento di inerzia rispetto al centro di massa" mi ha spinto a VOLER CERCARE il centro di massa,ma nonostante tutto esso mi viene in funzione di R e phi. Troppe variabili insomma. A dire il vero non sono riuscito a capire COSA CHIEDE QUESTO ESERCIZIO.
ESERCIZIO 12.9
La prima, la seconda e la terza parte mi vengono. Con la quarta (cioè trovare l'angolo teta primo in corrispondenza del quale la biglia si ferma e torna indietro) mi risulta piu difficile. Di primo acchito ho pensato di porre il LAVORO TOTALE = ENERGIA POTENZIALE INIZIALE. Il lavoro che tende a far fermare dalla somma del lavoro svolto dalla gravità e dalla forza di attrito. quindi ho pensato semplicemente di porre
$W_{"tot"}=\int\tau d\theta=\int_0^{\theta'} mgR\cos\theta + \mu_c mg\sin\theta=mgR$. Dovrebbe venire semplicemente $\theta'=2\cot^{-1}\mu_c$
ESERCIZIO 12.8
La parte a l'ho conclusa con successo, la parte b mi ha lasciato perplesso. Diminuire di 15 km il raggio polare significa far finta che la terra sia un ellissoide della stessa massa M e di semiassi R e (R-15km), giusto?
ESERCIZIO 12.14
aNCHE grazie al vostro aiuto ho risolto la a). la b invece mi lascia perplesso. Ho pensato per un attimo che nella macchina di Atwood della figura ci sia UNA SOLA MASSA EQUIVALENTE $m_e$ che sappia produrre la stessa accelerazione lineare di tutto il sistema . Quindi ho posto la seguente condizione
$m_e a=m_e g-T$
$RT=1/2 m_1 R^2 a/R\rightarrow 1/2 m_1 = T$. Ciò nonostante non viene...
http://imageshack.us/photo/my-images/21 ... izip1.png/
http://imageshack.us/photo/my-images/54 ... izip2.png/
http://imageshack.us/photo/my-images/233/esercizi3.jpg/
Alcuni di questi problemi vi suoneranno familiari, come quello della calotta (12.7) e dell'ellissoide (12.9 b)... Voglio ovviamente fornirvi i metodi che avevo tentato di usare io, ma senza risultato...
ESERCIZIO 12.7
quel "momento di inerzia rispetto al centro di massa" mi ha spinto a VOLER CERCARE il centro di massa,ma nonostante tutto esso mi viene in funzione di R e phi. Troppe variabili insomma. A dire il vero non sono riuscito a capire COSA CHIEDE QUESTO ESERCIZIO.
ESERCIZIO 12.9
La prima, la seconda e la terza parte mi vengono. Con la quarta (cioè trovare l'angolo teta primo in corrispondenza del quale la biglia si ferma e torna indietro) mi risulta piu difficile. Di primo acchito ho pensato di porre il LAVORO TOTALE = ENERGIA POTENZIALE INIZIALE. Il lavoro che tende a far fermare dalla somma del lavoro svolto dalla gravità e dalla forza di attrito. quindi ho pensato semplicemente di porre
$W_{"tot"}=\int\tau d\theta=\int_0^{\theta'} mgR\cos\theta + \mu_c mg\sin\theta=mgR$. Dovrebbe venire semplicemente $\theta'=2\cot^{-1}\mu_c$
ESERCIZIO 12.8
La parte a l'ho conclusa con successo, la parte b mi ha lasciato perplesso. Diminuire di 15 km il raggio polare significa far finta che la terra sia un ellissoide della stessa massa M e di semiassi R e (R-15km), giusto?
ESERCIZIO 12.14
aNCHE grazie al vostro aiuto ho risolto la a). la b invece mi lascia perplesso. Ho pensato per un attimo che nella macchina di Atwood della figura ci sia UNA SOLA MASSA EQUIVALENTE $m_e$ che sappia produrre la stessa accelerazione lineare di tutto il sistema . Quindi ho posto la seguente condizione
$m_e a=m_e g-T$
$RT=1/2 m_1 R^2 a/R\rightarrow 1/2 m_1 = T$. Ciò nonostante non viene...
Risposte
ESERCIZIO 12.17
Non ho idea da dove cominciare!!
ESERCIZIO 12.21 Mi viene dieci volte di più! Ho usato la conservazione del momento angolare $mvR = I\omega$. A me viene 49.5 rad/s ma il risultato dà 4.95...
ESERCIZIO 12.22 Sempre con la conservazione del momento angolare ho provato la seguente
(1) $(I_{"tub"}+I_{"massa"})\omega_0 = I_{"cil"}\omega_1$
Il momento d'inerzia del tubo mi viene
(2) $\int_{-l/2}^{l/2} r^2\pi dx + 2\pi x^2 dx = r^2\pi l+\pi l^3/6$. In ogni caso mi sembra strano che venga una funzione di r. Il risultato dovrebbe essere
(Ris) $ \omega_1 = (m_{"tub"}\omega)/(m_{"tub"}+3m_{"pal"})$
ESERCIZIO 12.23 la prima domanda che mi circola in testa è...vettorialmente i momenti angolari della terra e del sole non sono della stessa direzione, ma sono uno perpendicolare dell'altro. La somma quindi verrebbe un vettore, mentre il risultato viene semplicemente $L_t/L_s=0.0132$
Vi ringrazio in anticipo per qualunque chiarimento vogliate darmi...
Non ho idea da dove cominciare!!
ESERCIZIO 12.21 Mi viene dieci volte di più! Ho usato la conservazione del momento angolare $mvR = I\omega$. A me viene 49.5 rad/s ma il risultato dà 4.95...
ESERCIZIO 12.22 Sempre con la conservazione del momento angolare ho provato la seguente
(1) $(I_{"tub"}+I_{"massa"})\omega_0 = I_{"cil"}\omega_1$
Il momento d'inerzia del tubo mi viene
(2) $\int_{-l/2}^{l/2} r^2\pi dx + 2\pi x^2 dx = r^2\pi l+\pi l^3/6$. In ogni caso mi sembra strano che venga una funzione di r. Il risultato dovrebbe essere
(Ris) $ \omega_1 = (m_{"tub"}\omega)/(m_{"tub"}+3m_{"pal"})$
ESERCIZIO 12.23 la prima domanda che mi circola in testa è...vettorialmente i momenti angolari della terra e del sole non sono della stessa direzione, ma sono uno perpendicolare dell'altro. La somma quindi verrebbe un vettore, mentre il risultato viene semplicemente $L_t/L_s=0.0132$
Vi ringrazio in anticipo per qualunque chiarimento vogliate darmi...
up
12.17:
Si parla di impulso, quindi
devi considerare la variazione della quantità di moto.
Dò link: http://it.wikipedia.org/wiki/Impulso_%28fisica%29.
Ben direi che l'impulso è nullo per la gamba a sinistra.
E per quella a destra?
evidentemente è da considerare la variazione di quantità di moto.
Si parla di impulso, quindi
devi considerare la variazione della quantità di moto.
Dò link: http://it.wikipedia.org/wiki/Impulso_%28fisica%29.
Ben direi che l'impulso è nullo per la gamba a sinistra.
E per quella a destra?
evidentemente è da considerare la variazione di quantità di moto.
(12.17).
Il risultato dovrebbe venire stranamente $(P')/P=1/2$...se uno dei due P è zero la cosa mi sembrerebbe veramente molto difficile...cmq provo a fare qualche considerazione.
Definizione di impulso angolare: $P=\tau\Delta t=\Delta L$ con delta L la variazione del momento angolare.
Il detto momento angolare nell'istante 0 sarebbe $Mvl\cos\theta=0$ perchè la velocità iniziale è nulla. Il momento angolare finale sarebbe dato da $Mvl$. L'impulso P sarebbe dunque Mvl. Adesso dovremmo considerare P'...e dimostrare che il suo impulso vale 1/2 Mvl (è l'unico modo per arrivare al risultato). Ho anche pensato che la gamba di destra, cadendo a terra, tende anche a far sollevare la gamba sinistra del tavolo (sembra abbastanza folle la cosa, me ne rendo conto!:| Un altra cosa...la gamba da sinistra per sollevarsi dovrebbe "lottare" contro la gravità forse è per questo che l'impulso è minore...
Avete qualche idea per qualcun altro esercizio? Ogni contributo è bene accetto, l'unione fa la forza!:)
Il risultato dovrebbe venire stranamente $(P')/P=1/2$...se uno dei due P è zero la cosa mi sembrerebbe veramente molto difficile...cmq provo a fare qualche considerazione.
Definizione di impulso angolare: $P=\tau\Delta t=\Delta L$ con delta L la variazione del momento angolare.
Il detto momento angolare nell'istante 0 sarebbe $Mvl\cos\theta=0$ perchè la velocità iniziale è nulla. Il momento angolare finale sarebbe dato da $Mvl$. L'impulso P sarebbe dunque Mvl. Adesso dovremmo considerare P'...e dimostrare che il suo impulso vale 1/2 Mvl (è l'unico modo per arrivare al risultato). Ho anche pensato che la gamba di destra, cadendo a terra, tende anche a far sollevare la gamba sinistra del tavolo (sembra abbastanza folle la cosa, me ne rendo conto!:| Un altra cosa...la gamba da sinistra per sollevarsi dovrebbe "lottare" contro la gravità forse è per questo che l'impulso è minore...
Avete qualche idea per qualcun altro esercizio? Ogni contributo è bene accetto, l'unione fa la forza!:)
Es n° 12.7
Segui il suggerimento del testo. Il momento di inerzia si riferisce all'asse di simmetria della calotta per cui non ti serve conoscere la posizione del centro di massa.
Segui il suggerimento del testo. Il momento di inerzia si riferisce all'asse di simmetria della calotta per cui non ti serve conoscere la posizione del centro di massa.
ESERCIZIO 12.7
MaMo...ho provato a usare quell'asse di simmetria, ma non mi viene il risultato del libro ($dI=8/3\pi r^4 \sigma$. Infatti se così fosse avrei come dI
(1) $dI=r^2 dm = r^2\sigma dA = r^2\sigma 2\pi rdy=2\pi \sigma r^3dy$. ora è evidente che y dipende dal raggio
(2) $y=\sqrt{R^2-r^2}\rightarrow dy=- r/(\sqrt{R^2-r^2)}dr$
quindi trasformare quel dy significherebbe mettere una R da qualche parte...credo proprio che non funzioni...
MaMo...ho provato a usare quell'asse di simmetria, ma non mi viene il risultato del libro ($dI=8/3\pi r^4 \sigma$. Infatti se così fosse avrei come dI
(1) $dI=r^2 dm = r^2\sigma dA = r^2\sigma 2\pi rdy=2\pi \sigma r^3dy$. ora è evidente che y dipende dal raggio
(2) $y=\sqrt{R^2-r^2}\rightarrow dy=- r/(\sqrt{R^2-r^2)}dr$
quindi trasformare quel dy significherebbe mettere una R da qualche parte...credo proprio che non funzioni...
"newton_1372":
.la gamba da sinistra per sollevarsi dovrebbe "lottare" contro la gravità forse è per questo che l'impulso è minore...
dipende a quanto estendi l'integrale:
se pure la gamba di sinistra si alzi, ricada, rimbalzi...
se considero il tempo da zero (quando la gamba destra urti il suolo, per esempio) a quando
è comunque ferma, $\Deltap=\vec0$;
Per quanto riguarda l'esercizio 12.17, uno dei più interessanti, puoi ottenere le seguenti equazioni:
(P'+P)dt = 2mwl/2 (Prima equazione cardinale della dinamica)
Pldt = 2mwl^2/3 (Seconda equazione cardinale della dinamica)
dove dt è l'intervallo temporale infinitesimo e w la velocità angolare, invariata prima e dopo l'urto perchè elastico.
Ricavando da entrambe il rapporto w/dt e uguagliando le due espressioni ottenute ottieni la soluzione.
(P'+P)dt = 2mwl/2 (Prima equazione cardinale della dinamica)
Pldt = 2mwl^2/3 (Seconda equazione cardinale della dinamica)
dove dt è l'intervallo temporale infinitesimo e w la velocità angolare, invariata prima e dopo l'urto perchè elastico.
Ricavando da entrambe il rapporto w/dt e uguagliando le due espressioni ottenute ottieni la soluzione.
Speculor non ho capito cosa hai fatto! E la seconda legge della dinamica è $\sum \tau=I\alpha $ :S
Vediamo aggiungendo dt
$\sum \tau dt = I\alpha dt$ cioè $\int \tau dt = I\int \alpha dt = I(\omega_1-\omega_0)$ da cui $ P = \Delta L$. Come applicarlo nel problema?
Vediamo aggiungendo dt
$\sum \tau dt = I\alpha dt$ cioè $\int \tau dt = I\int \alpha dt = I(\omega_1-\omega_0)$ da cui $ P = \Delta L$. Come applicarlo nel problema?
Premetto che si trascura la forza peso.
Prima equazione cardinale della dinamica:
mwl/2 quantità di moto prima dell'urto (diretta verso il basso)
mwl/2 quantità di moto dopo l'urto (diretta verso l'alto)
2mwl/2 variazione della quantità di moto
(P+P')dt impulso delle forze nell'intervallo temporale dt
Seconda equazione cardinale della dinamica:
ml^2/3 momento d'inerzia rispetto all'estremità sinistra
mwl^2/3 momento angolare prima dell'urto (senso orario rispetto all'estremità sinistra)
mwl^2/3 momento angolare dopo l'urto (senso antiorario rispetto all'estremità sinistra)
2mwl^2/3 variazione del momento angolare
Pldt impulso del momento delle forze nell'intervallo temporale dt
Prima equazione cardinale della dinamica:
mwl/2 quantità di moto prima dell'urto (diretta verso il basso)
mwl/2 quantità di moto dopo l'urto (diretta verso l'alto)
2mwl/2 variazione della quantità di moto
(P+P')dt impulso delle forze nell'intervallo temporale dt
Seconda equazione cardinale della dinamica:
ml^2/3 momento d'inerzia rispetto all'estremità sinistra
mwl^2/3 momento angolare prima dell'urto (senso orario rispetto all'estremità sinistra)
mwl^2/3 momento angolare dopo l'urto (senso antiorario rispetto all'estremità sinistra)
2mwl^2/3 variazione del momento angolare
Pldt impulso del momento delle forze nell'intervallo temporale dt
Premetto che si trascura la forza peso.
Prima equazione cardinale della dinamica:
(1)$mwl/2$ quantità di moto prima dell'urto (diretta verso il basso)
(2)$mwl/2 $quantità di moto dopo l'urto(diretta verso l'alto)
(3)$2mwl/2 $variazione della quantità di moto
(4)$(P+P')dt$ impulso delle forze nell'intervallo temporale dt
Seconda equazione cardinale della dinamica:
(5)$ml^2/3 $momento d'inerzia rispetto all'estremità sinistra
(6)$mwl^2/3 $momento angolare prima dell'urto (senso orario rispetto all'estremità sinistra)
(7)$mwl^2/3$ momento angolare dopo l'urto (senso antiorario rispetto all'estremità sinistra)
(8)$2mwl^2/3$ variazione del momento angolare
(9)$Pldt$ impulso del momento delle forze nell'intervallo temporale dt[/quote]
Prima equazione cardinale della dinamica:
(1)$mwl/2$ quantità di moto prima dell'urto (diretta verso il basso)
(2)$mwl/2 $quantità di moto dopo l'urto(diretta verso l'alto)
(3)$2mwl/2 $variazione della quantità di moto
(4)$(P+P')dt$ impulso delle forze nell'intervallo temporale dt
Seconda equazione cardinale della dinamica:
(5)$ml^2/3 $momento d'inerzia rispetto all'estremità sinistra
(6)$mwl^2/3 $momento angolare prima dell'urto (senso orario rispetto all'estremità sinistra)
(7)$mwl^2/3$ momento angolare dopo l'urto (senso antiorario rispetto all'estremità sinistra)
(8)$2mwl^2/3$ variazione del momento angolare
(9)$Pldt$ impulso del momento delle forze nell'intervallo temporale dt[/quote]
Non l'ho capita, a meno che sia un invito ad usare l'editor.
1) Perchè hai messo m/2 al posto della massa?
4). Perchè hai messo la somma (P+P')dt come impulso totale? Tra parentesi, P nel testo è L'IMPULSO ANGOLARE, non l'impulso delle forze..
(5) hai equiparato la panca a una sbarra?
4). Perchè hai messo la somma (P+P')dt come impulso totale? Tra parentesi, P nel testo è L'IMPULSO ANGOLARE, non l'impulso delle forze..
(5) hai equiparato la panca a una sbarra?
Ho schematizzato la panca con una sbarra. Confermo m come massa. Hai ragione, ho chiamato le reazioni vincolari del suolo P e P'.
In ogni modo, avendo trovato la relazione per le reazioni vincolari del suolo, vale anche per i loro impulsi, basta moltiplicare per dt.
In ogni modo, avendo trovato la relazione per le reazioni vincolari del suolo, vale anche per i loro impulsi, basta moltiplicare per dt.
P e P' sono il prodotto delle reazioni vincolari del terreno per il dt infinitesimo.
Cosa c'entra l'impulso angolare? Al limite l'impulso della forza.
Possibile che non riesci a interpretarle sapendo che m è la massa?
Cosa c'entra l'impulso angolare? Al limite l'impulso della forza.
Possibile che non riesci a interpretarle sapendo che m è la massa?
Ma nel testo P e P' sono identificati come IMPULSI ANGOLARI...leggi la definizione dal libro...
Il risultato P'/P dovrebbe venire 1/2 secondo il libro...volevo farti vedere un ragionamento che ho appena fatto io ora.
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITà DI MOTO
(1) $ mv_0=mv_1 =>m\omega_0 l =m\omega_1 l => \omega_0=\omega_1$
calcolo P'/P
(2) $(P')/P= (0-I\omega_1)/(I\omega_0-0) = \omega_1/\omega_0 = 1$
cosa c'è di sbagliato in quresto ragionamento?
Il risultato P'/P dovrebbe venire 1/2 secondo il libro...volevo farti vedere un ragionamento che ho appena fatto io ora.
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITà DI MOTO
(1) $ mv_0=mv_1 =>m\omega_0 l =m\omega_1 l => \omega_0=\omega_1$
calcolo P'/P
(2) $(P')/P= (0-I\omega_1)/(I\omega_0-0) = \omega_1/\omega_0 = 1$
cosa c'è di sbagliato in quresto ragionamento?
Il libro parla di impulsi. Da che mondo è mondo l'impulso è il prodotto di una forza per il tempo.
La quantità di moto non si conserva affatto, e poi, anche se si conservasse, sai scrivere la quantità di moto di quella sbarra prima e dopo l'urto?
Ti ricordo che la sbarra sta ruotando attorno a un punto e che la quantità di moto di un sistema è quella del suo batricentro. Quindi mwl/2 perchè in un atto di moto rotatorio, la velocità è wr ed r qui vale l/2 essendo il baricentro distante l/2 dal punto di rotazione. Tieni anche conto che la quantità di moto ha un segno. Altrimenti una pallina che rimbalza contro un muro avrebbe una variazione di quantità di moto uguale a zero. Invece, mv quando colpisce, -mv quando rimbalza, -mv-mv la variazione. Credo tu debba studiare un po' di teoria prima di fare questi esercizi. Stai andando un po' troppo a naso, e, per esperienza, non paga.
La quantità di moto non si conserva affatto, e poi, anche se si conservasse, sai scrivere la quantità di moto di quella sbarra prima e dopo l'urto?
Ti ricordo che la sbarra sta ruotando attorno a un punto e che la quantità di moto di un sistema è quella del suo batricentro. Quindi mwl/2 perchè in un atto di moto rotatorio, la velocità è wr ed r qui vale l/2 essendo il baricentro distante l/2 dal punto di rotazione. Tieni anche conto che la quantità di moto ha un segno. Altrimenti una pallina che rimbalza contro un muro avrebbe una variazione di quantità di moto uguale a zero. Invece, mv quando colpisce, -mv quando rimbalza, -mv-mv la variazione. Credo tu debba studiare un po' di teoria prima di fare questi esercizi. Stai andando un po' troppo a naso, e, per esperienza, non paga.
Quindi devo considerare P come IMPULSO LINEARE, non come IMPULSO ANGOLARE?
In ogni caso il momento angolare si conserva, giusto?
In ogni caso il momento angolare si conserva, giusto?
quindi $(P')/(P) = (F'\Delta t)/(F\Delta t) = (F')/F$.
Ora, per venire 1/2 evidentemente F' è il DOPPIO di F. Vorrei capire perchè...se è nel paragrafetto del momento angolare evidentemente c'entra qualcosa...
Ora, per venire 1/2 evidentemente F' è il DOPPIO di F. Vorrei capire perchè...se è nel paragrafetto del momento angolare evidentemente c'entra qualcosa...
No. L'esempio della pallina che rimbalza non è molto diverso da questo. Solo che qui hai due equazioni.
Quando la quantità di moto non si conserva, devi scrivere che l'impulso di tutte le forze, (P+P')dt, è uguale alla variazione di quantità di moto,
mwl/2-(-mwl/2). Quando il momento angolare non si conserva, devi scrivere che l'impulso del momento delle forze, Pldt, P' non compare perchè ha momento nullo rispetto al centro di rotazione agendo proprio lì, è uguale alla variazione del momento angolare, mwl^2/3-(-mwl^2/3). Sto spiegando solo meglio le equazioni che ti ho scritto all'inizio, è vero, non avevo messo i segni delle varie quantità iniziali e finali, ma avevo non a caso detto "verso l'alto" "verso il basso" "in senso orario" "in senso antiorario" perchè è un modo più intuitivo di vedere le cose.
Quando la quantità di moto non si conserva, devi scrivere che l'impulso di tutte le forze, (P+P')dt, è uguale alla variazione di quantità di moto,
mwl/2-(-mwl/2). Quando il momento angolare non si conserva, devi scrivere che l'impulso del momento delle forze, Pldt, P' non compare perchè ha momento nullo rispetto al centro di rotazione agendo proprio lì, è uguale alla variazione del momento angolare, mwl^2/3-(-mwl^2/3). Sto spiegando solo meglio le equazioni che ti ho scritto all'inizio, è vero, non avevo messo i segni delle varie quantità iniziali e finali, ma avevo non a caso detto "verso l'alto" "verso il basso" "in senso orario" "in senso antiorario" perchè è un modo più intuitivo di vedere le cose.
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