Problema d'esame di Fisica I
Sono due anni che non mi fa dormire la notte...penso che ora possa avere le armi giuste (col vostro aiuto!)
http://imageshack.us/photo/my-images/42 ... sica1.png/
L'energia liberata dal cannoncino è E e viene usato per muovere sia la pallina che il cannoncino! Pensavo di servirmi di tre equazioni
(1) $0 = (M+m)V_c+m' v'$ Conservazione della quantità di moto del sistema (M+m+m').
(2) $1/2 I \omega^2 + 1/2 (M+m) V_c^2 + 1/2 m'v'^2 = E$ Conservazione dell'energia totale (l'energia totale iniziale era semplicemente E, immagazzinata dentro il cannoncino prima dello sparo).
Come terza equazione (qui ho un dubbio) mi piacerebbe (uso il condizionale) usare la conservazione del momento angolare rispetto al centro, infatti sarebbe dimensionalmente perfetto per risolvere il prob. Ma mi accorgo che nel momento dello sparo c'è un "momento" che accelera la velocità angolare del disco da 0 ad omega..ma è anche vero che se considero il sistema "totale", pallina compresa, tale momento è INTERNO AL SISTEMA, e non esterno...Questo mi garantisce che posso usare la conservazione del momento angolare, vero? Cioè che posso scrivere
http://imageshack.us/photo/my-images/42 ... sica1.png/
L'energia liberata dal cannoncino è E e viene usato per muovere sia la pallina che il cannoncino! Pensavo di servirmi di tre equazioni
(1) $0 = (M+m)V_c+m' v'$ Conservazione della quantità di moto del sistema (M+m+m').
(2) $1/2 I \omega^2 + 1/2 (M+m) V_c^2 + 1/2 m'v'^2 = E$ Conservazione dell'energia totale (l'energia totale iniziale era semplicemente E, immagazzinata dentro il cannoncino prima dello sparo).
Come terza equazione (qui ho un dubbio) mi piacerebbe (uso il condizionale) usare la conservazione del momento angolare rispetto al centro, infatti sarebbe dimensionalmente perfetto per risolvere il prob. Ma mi accorgo che nel momento dello sparo c'è un "momento" che accelera la velocità angolare del disco da 0 ad omega..ma è anche vero che se considero il sistema "totale", pallina compresa, tale momento è INTERNO AL SISTEMA, e non esterno...Questo mi garantisce che posso usare la conservazione del momento angolare, vero? Cioè che posso scrivere
Risposte
newton_1372:
Considerando che non ho nè raggio ne lunghezza del cannoncino, posso assumere I = I disco?
Il cannoncino consideralo come massa concentrata nell'estremo del diametro del disco.
Please ho bisogno di conferme. E' giusto dire che il disco + cannoncino ruota attorno al CENTRO DI MASSA DEL DISCO?
Riguardo a I, pensavo di fare $I = 1/2 M(y_c)^2+m(R-y_c)^2$
Riguardo a I, pensavo di fare $I = 1/2 M(y_c)^2+m(R-y_c)^2$
newton_1372:
Please ho bisogno di conferme. E' giusto dire che il disco + cannoncino ruota attorno al CENTRO DI MASSA DEL DISCO?
Riguardo a I, pensavo di fare $I = 1/2 M(y_c)^2+m(R-y_c)^2$
da dove esce fuori $ 1/2 M(y_c)^2$ ?
Quanto vale il momento di inerzia di un disco di massa M e raggio R rispetto ad un asse diverso dall'asse baricentrico ma parallelo a quest'ultimo?
Teorema di Huygens Steiner
$ I = 1/2 M R^2 +MY_c^2$
Cmq non ho ancora capito il dettaglio fondamentale: il disco + cannoncino RUOTA ATTORNO AL CENTRO DI MASSA?
$ I = 1/2 M R^2 +MY_c^2$
Cmq non ho ancora capito il dettaglio fondamentale: il disco + cannoncino RUOTA ATTORNO AL CENTRO DI MASSA?
ma il testo cosa dice esattamente?
il cannoncino immagino sia attaccato al disco...
il disco è vincolato ad un moto di puro rotolamento sul piano o può strisciare?
se fosse puro rotolamento il cannoncino ruota attorno al centro del disco e il disco, in ogni istante, attorno al centro di istantanea rotazione che è per definizione il punto di contatto col piano.
comunque,
se non sbaglio il cdm del sistema ha componenti, rispetto un riferimento con origine nel punto di contatto iniziale tra il disco e il piano, con un asse parallela al piano e una lungo il diametro del disco:
$Xg = (Xd*M + Xc*mc + Xp*m p)/(M+mc+m p)$ con Xp ho indicato l'ascissa del proiettile e con mp la sua massa, con Xd quella del cdm del disco e con Xc quella del cdm del cannoncino.
$Yg = (R*M + 2R*mc + Yp*m p)/(M+mc+m p)$ con $Yp=2R$ costante.
all'inizio (Xc=Xd=Xp=0) si ha dunque $G - O = ( 0 , R*(M + 2(mc + m p))/(M+mc+m p))$
o rispetto al centro del disco: $C - O = (0, R*(mc + m p)/(M+mc+m p))$
la quantità di moto totale del sistema è $vec(Q) = vec(q)d + vec(q)c + vec(q)p = vec(Q)1 + vec(q)p$ dove con $vec(Q)1=vec(q)d + vec(q)c$ ho indicato la quantità di moto del sistema disco + cannoncino.
in ogni caso si ha$vec(Q) = vec(0)$ cioè $vec(Q)1 = - vec(q)p$
sai che per un sistema vale $M*vec(V)g = vec(Q)$ quindi hai $(M + mc)*vec(V)g1 = - m p*Vp$ (con g1 intendo il baricentro del sistema disco-cannoncino)
dove Vg = velocità del cdm del sistema disco + cannoncino e Vp = velocità del proiettile (se non sbaglio V' in figura)
e qui puoi fare le considerazioni che ti servono
potevi anche arrivarci tramite la posizione del cdm del sistema d+c+p, infatti derivando le prime eq (Xg,Yg) hai
$dot(Y)g = 0$ (ok, il cdm si muove solo parallelamente al piano)
$dot(X)g = (dot(X)d*M + dot(X)c*mc + dot(X)p * m p)/(M+mc+m p) = (qd + qc + qp)/(M+m p+mc) = (Q t ot)/(M t ot)$ (all'inizio è 0)
dunque il cdm si muove con velocità parallela al piano e per la conservazione della quantità di moto si ha
$Q = 0$ cioè dalla precedente $qd + qc = - qp$ quindi il cdm del sistema disco + cannoncino si muove gseguendo: $(M+mc)*Vg1 = - m p*Vp$
infatti il cdm di tutto il sistema rimane fermo...
ammesso che sia giusto questo ragionamento come andresti avanti?
il cannoncino immagino sia attaccato al disco...
il disco è vincolato ad un moto di puro rotolamento sul piano o può strisciare?
se fosse puro rotolamento il cannoncino ruota attorno al centro del disco e il disco, in ogni istante, attorno al centro di istantanea rotazione che è per definizione il punto di contatto col piano.
comunque,
se non sbaglio il cdm del sistema ha componenti, rispetto un riferimento con origine nel punto di contatto iniziale tra il disco e il piano, con un asse parallela al piano e una lungo il diametro del disco:
$Xg = (Xd*M + Xc*mc + Xp*m p)/(M+mc+m p)$ con Xp ho indicato l'ascissa del proiettile e con mp la sua massa, con Xd quella del cdm del disco e con Xc quella del cdm del cannoncino.
$Yg = (R*M + 2R*mc + Yp*m p)/(M+mc+m p)$ con $Yp=2R$ costante.
all'inizio (Xc=Xd=Xp=0) si ha dunque $G - O = ( 0 , R*(M + 2(mc + m p))/(M+mc+m p))$
o rispetto al centro del disco: $C - O = (0, R*(mc + m p)/(M+mc+m p))$
la quantità di moto totale del sistema è $vec(Q) = vec(q)d + vec(q)c + vec(q)p = vec(Q)1 + vec(q)p$ dove con $vec(Q)1=vec(q)d + vec(q)c$ ho indicato la quantità di moto del sistema disco + cannoncino.
in ogni caso si ha$vec(Q) = vec(0)$ cioè $vec(Q)1 = - vec(q)p$
sai che per un sistema vale $M*vec(V)g = vec(Q)$ quindi hai $(M + mc)*vec(V)g1 = - m p*Vp$ (con g1 intendo il baricentro del sistema disco-cannoncino)
dove Vg = velocità del cdm del sistema disco + cannoncino e Vp = velocità del proiettile (se non sbaglio V' in figura)
e qui puoi fare le considerazioni che ti servono
potevi anche arrivarci tramite la posizione del cdm del sistema d+c+p, infatti derivando le prime eq (Xg,Yg) hai
$dot(Y)g = 0$ (ok, il cdm si muove solo parallelamente al piano)
$dot(X)g = (dot(X)d*M + dot(X)c*mc + dot(X)p * m p)/(M+mc+m p) = (qd + qc + qp)/(M+m p+mc) = (Q t ot)/(M t ot)$ (all'inizio è 0)
dunque il cdm si muove con velocità parallela al piano e per la conservazione della quantità di moto si ha
$Q = 0$ cioè dalla precedente $qd + qc = - qp$ quindi il cdm del sistema disco + cannoncino si muove gseguendo: $(M+mc)*Vg1 = - m p*Vp$
infatti il cdm di tutto il sistema rimane fermo...
ammesso che sia giusto questo ragionamento come andresti avanti?
Mon dieu! Aspetta aspetta...il disco si muove di moto ROTOTRASLATORIO...ed è poggiato su un tavolo privo di attrito...
newton_1372:
Teorema di Huygens Steiner
$ I = 1/2 M R^2 +MY_c^2$
Cmq non ho ancora capito il dettaglio fondamentale: il disco + cannoncino RUOTA ATTORNO AL CENTRO DI MASSA?
Supponi per un attimo che il sistema ruoti attorno al centro del disco, ipotizza quindi una posizione del disco+cannoncino ad un istante diverso da quello iniziale e determina la quota del centro di massa in questo nuovo istante. Otterrai ovviamente una quota diversa da quella iniziale e cio comporterebbe un movimento del sistema che ha componente anche lungo la direzione ortogonale a quella del moto della massa m' espulsa dal cannoncino. Questo significa che il sistema ha stranamanete acquisito moto lungo cotal'ultima direzione. Puo' essere?
sto correggendo man mano gli errori dovuti alle interpretazioni non volute nelle formule quindi se ci sono delle formule senza senso prova a refreshare
cyd:
ma il testo cosa dice esattamente?
il cannoncino immagino sia attaccato al disco...
il disco è vincolato ad un moto di puro rotolamento sul piano o può strisciare?
se fosse puro rotolamento il cannoncino ruota attorno al centro del disco e il disco, in ogni istante, attorno al centro di istantanea rotazione che è per definizione il punto di contatto col piano.
Mi sembra di aver capito che il disco e' poggiato orizzontalmente su un piano orizzontale (e non verticalmente su un piano orizzontale) . Si specifichi chiaramente se non è cosi'.
Non capisco non riesco proprio a capire! Da dove viene questa direzione ortogonale...
Cyd ma non possiamo semplicemente trascurare m' e assumere che il cdm sia allineato con il centro del disco e il cannoncino?
Cyd ma non possiamo semplicemente trascurare m' e assumere che il cdm sia allineato con il centro del disco e il cannoncino?
"Xato":
[quote="cyd"]ma il testo cosa dice esattamente?
il cannoncino immagino sia attaccato al disco...
il disco è vincolato ad un moto di puro rotolamento sul piano o può strisciare?
se fosse puro rotolamento il cannoncino ruota attorno al centro del disco e il disco, in ogni istante, attorno al centro di istantanea rotazione che è per definizione il punto di contatto col piano.
Mi sembra di aver capito che il disco e' poggiato orizzontalmente su un piano orizzontale (e non verticalmente su un piano orizzontale) . Si specifichi chiaramente se non è cosi'.[/quote]
****, pensa che mi ero immaginato un piano orizzontale su cui il disco poteva rotolare XD, in effeti non ha senso...
"newton_1372":
Non capisco non riesco proprio a capire! Da dove viene questa direzione ortogonale...
Cyd ma non possiamo semplicemente trascurare m' e assumere che il cdm sia allineato con il centro del disco e il cannoncino?
no, se poni m' = 0 allora al proiettile associ una quantità di moto sempre nulla e il tuo sistema non si muove
il baricentro di tutto il sistema poichè non ci sono forze esterne è FISSO, cioè non si sposta, il sistema disco+cannoncino si sposta in modo che il baricentro del sistema totale resti fermo, quindi si muove in funzione di m' e V'
Ma infatti il disco sta ROTOLANDO!!!!!
yaaaaaaaaaaaaaaah!!! Sto impazzendo...ragazzi l'esercizio è solo un mero pretesto per tentare di capire cosa avviene TEORICAMENTE quando un corpo rigido sbatte contro un altro...
Allora
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITà DI MOTO
Quantità di moto iniziale = quantità di moto finale
0 = quantità di moto centro di massa disco piu cannoncino + quantità di moto pallina
Sta cosa almeno è giusta?
yaaaaaaaaaaaaaaah!!! Sto impazzendo...ragazzi l'esercizio è solo un mero pretesto per tentare di capire cosa avviene TEORICAMENTE quando un corpo rigido sbatte contro un altro...
Allora
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITà DI MOTO
Quantità di moto iniziale = quantità di moto finale
0 = quantità di moto centro di massa disco piu cannoncino + quantità di moto pallina
Sta cosa almeno è giusta?
certo
è semplice, piccolo rpassino di teoria:
prendi un sistema formato da N punti (questi N punti possono essere in generale i cdm di altri sistemi ma vabbe)
la quantità di moto totale è $vec(Q) = sum vec(q)$
equazione cardinale $ d/(dt) vec(Q) = sum vec(F)ext$
questo perchè le forze interne sono equivalenti ad un sistema di coppie di braccio nullo (una annulla l'altra e non combinano un ****)
quindi se non ci sono forze esterne hai $d/(dt)vec(Q) = 0$ e cioè $vec(Q) = vec(cost)$ cioè la quantità d moto è un vettore costante, se in particolare hai condizione iniziale $vec(Q)(0) = vec(0)$ allora nasce la famosa legge della conservazione della qdm... e come noti $vec(Q) = M*vec(V)g = vec 0$ cioè il baricentro sta fermo qualsiasi cosa succeda all'interno, cascasse il mondo.
se $vec(Q)(0)=vec(Q)o$ hai $M*vec(V)g = Vec(Q)o$ e cioè il baricentro senza forze esterne avrà sempre la stessa velocità costante, si muove di moto rettilineo uniforme, qualsiasi cosa succeda all'interno
cos'è che non ti è chiaro?
è semplice, piccolo rpassino di teoria:
prendi un sistema formato da N punti (questi N punti possono essere in generale i cdm di altri sistemi ma vabbe)
la quantità di moto totale è $vec(Q) = sum vec(q)$
equazione cardinale $ d/(dt) vec(Q) = sum vec(F)ext$
questo perchè le forze interne sono equivalenti ad un sistema di coppie di braccio nullo (una annulla l'altra e non combinano un ****)
quindi se non ci sono forze esterne hai $d/(dt)vec(Q) = 0$ e cioè $vec(Q) = vec(cost)$ cioè la quantità d moto è un vettore costante, se in particolare hai condizione iniziale $vec(Q)(0) = vec(0)$ allora nasce la famosa legge della conservazione della qdm... e come noti $vec(Q) = M*vec(V)g = vec 0$ cioè il baricentro sta fermo qualsiasi cosa succeda all'interno, cascasse il mondo.
se $vec(Q)(0)=vec(Q)o$ hai $M*vec(V)g = Vec(Q)o$ e cioè il baricentro senza forze esterne avrà sempre la stessa velocità costante, si muove di moto rettilineo uniforme, qualsiasi cosa succeda all'interno
cos'è che non ti è chiaro?
Quindi l'equazione 1) che ho usato (vedere primo post) è corretta.
Si conserva l'energia totale. Questo è giusto? Vedere equazione 2 del primo post....ovviamente per "sistema intendiamo sistema m+M+m'...ho posto la somma delle energie cinetiche = E, con E l'energia potenziale immagazzinata nel cannoncino prima dello sparo
Si conserva l'energia totale. Questo è giusto? Vedere equazione 2 del primo post....ovviamente per "sistema intendiamo sistema m+M+m'...ho posto la somma delle energie cinetiche = E, con E l'energia potenziale immagazzinata nel cannoncino prima dello sparo
Quale è la corretta interpretazione?
questa
http://img8.imageshack.us/i/foto569q.jpg/
o questa?
http://img195.imageshack.us/i/foto568.jpg/
questa
http://img8.imageshack.us/i/foto569q.jpg/
o questa?
http://img195.imageshack.us/i/foto568.jpg/
"newton_1372":
Quindi l'equazione 1) che ho usato (vedere primo post) è corretta.
Si conserva l'energia totale. Questo è giusto? Vedere equazione 2 del primo post....ovviamente per "sistema intendiamo sistema m+M+m'...ho posto la somma delle energie cinetiche = E, con E l'energia potenziale immagazzinata nel cannoncino prima dello sparo
se con Vc intendi la velocità del centro del disco NO, perchè il cdm non coincide col centro del disco dovrebbe essere$(M+mc)vec(V)g = -m'*vec(V)'$
la velocità di un generico punto del corpo rigido è esprimibile come $vec v = vec(V)O + vec(omega)xx(P-O)$ dove O è un punto del corpo e P-O il suo vettore posizione e $omega$ la velocità angolare,
(sempre se non mi sto sbagliando)
se il corpo è piano e $vec(omega) = (0,0,omega)$ con l'asse x3 perpendicolare al piano allora l'energia cinetica (solo del disco più carrello) sarà
$T = 1/2 (M+m) v^2 = 1/2 [Io] vec(omega)*vec(omega) + 1/2 (M+m) VO^2$ dove è la matrice d'inerzia rispetto a quel punto.
se l'asse è principale d'inerzia (e quindi O=Baricentro=G) e considerando che l'asse di rotazione è perpendicolare, diretta come $omega$ si semplifica e diventa $T = 1/2 Iz omega^2 + 1/2 M Vg^2$ quindi devi calcolare il momento d'inerzia rispetto l'asse perpendicolare al piano e incidente ad esso nel baricentro
una volta che sai dov'è il baricentro (come ti ho detto prima)
calcolare Iz è semplice
$Iz = (1/2 M R^2 - Md1^2 + m*R^2 -md2^2) $ cioè calcoli il I rispetto a O e poi applichi $Io = Ig + md^2 -> Ig=Io - md^2$
(sempre se non mi sto sbagliando)
se il corpo è piano e $vec(omega) = (0,0,omega)$ con l'asse x3 perpendicolare al piano allora l'energia cinetica (solo del disco più carrello) sarà
$T = 1/2 (M+m) v^2 = 1/2 [Io] vec(omega)*vec(omega) + 1/2 (M+m) VO^2$ dove è la matrice d'inerzia rispetto a quel punto.
se l'asse è principale d'inerzia (e quindi O=Baricentro=G) e considerando che l'asse di rotazione è perpendicolare, diretta come $omega$ si semplifica e diventa $T = 1/2 Iz omega^2 + 1/2 M Vg^2$ quindi devi calcolare il momento d'inerzia rispetto l'asse perpendicolare al piano e incidente ad esso nel baricentro
una volta che sai dov'è il baricentro (come ti ho detto prima)
calcolare Iz è semplice
$Iz = (1/2 M R^2 - Md1^2 + m*R^2 -md2^2) $ cioè calcoli il I rispetto a O e poi applichi $Io = Ig + md^2 -> Ig=Io - md^2$
Cyd credo che la matrice di inerzia non si faccia in Fisica 1...dico "CREDO". NON RIESCO a scomporre i moti traslatorio e rotazionale...non credo che sia un problema di teoria, ma proprio di comprensione della teoria..
Che cos'è quel V0? Facendomi uno schizzo ho pensato che v0 fosse la velocità DELL'ASSE di rotazione...
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