Problema d'esame di Fisica I
Sono due anni che non mi fa dormire la notte...penso che ora possa avere le armi giuste (col vostro aiuto!)
http://imageshack.us/photo/my-images/42 ... sica1.png/
L'energia liberata dal cannoncino è E e viene usato per muovere sia la pallina che il cannoncino! Pensavo di servirmi di tre equazioni
(1) $0 = (M+m)V_c+m' v'$ Conservazione della quantità di moto del sistema (M+m+m').
(2) $1/2 I \omega^2 + 1/2 (M+m) V_c^2 + 1/2 m'v'^2 = E$ Conservazione dell'energia totale (l'energia totale iniziale era semplicemente E, immagazzinata dentro il cannoncino prima dello sparo).
Come terza equazione (qui ho un dubbio) mi piacerebbe (uso il condizionale) usare la conservazione del momento angolare rispetto al centro, infatti sarebbe dimensionalmente perfetto per risolvere il prob. Ma mi accorgo che nel momento dello sparo c'è un "momento" che accelera la velocità angolare del disco da 0 ad omega..ma è anche vero che se considero il sistema "totale", pallina compresa, tale momento è INTERNO AL SISTEMA, e non esterno...Questo mi garantisce che posso usare la conservazione del momento angolare, vero? Cioè che posso scrivere
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L'energia liberata dal cannoncino è E e viene usato per muovere sia la pallina che il cannoncino! Pensavo di servirmi di tre equazioni
(1) $0 = (M+m)V_c+m' v'$ Conservazione della quantità di moto del sistema (M+m+m').
(2) $1/2 I \omega^2 + 1/2 (M+m) V_c^2 + 1/2 m'v'^2 = E$ Conservazione dell'energia totale (l'energia totale iniziale era semplicemente E, immagazzinata dentro il cannoncino prima dello sparo).
Come terza equazione (qui ho un dubbio) mi piacerebbe (uso il condizionale) usare la conservazione del momento angolare rispetto al centro, infatti sarebbe dimensionalmente perfetto per risolvere il prob. Ma mi accorgo che nel momento dello sparo c'è un "momento" che accelera la velocità angolare del disco da 0 ad omega..ma è anche vero che se considero il sistema "totale", pallina compresa, tale momento è INTERNO AL SISTEMA, e non esterno...Questo mi garantisce che posso usare la conservazione del momento angolare, vero? Cioè che posso scrivere
Risposte
(3) $0 = m'v'R+I\omega$
Sono giuste queste tre equazioni? C'è qualche segno sbagliato?
Sono giuste queste tre equazioni? C'è qualche segno sbagliato?
Ti sei accorto che il centro di massa del sistema (disco + cannone) non è il centro del disco?
La logica dietro alla terza equazione è corretta, ma è conveniente esprimerla rispetto a questo centro di massa.
La logica dietro alla terza equazione è corretta, ma è conveniente esprimerla rispetto a questo centro di massa.
Poichè il proiettile è considerato un punto materiale, non so proprio come considerare il centro di massa in modo da includere il cannoncino il problema non mi da neanche la lunghezza del cannoncino..
Cmq il mio problema, il problema che vorrei risolvere, è strettamente un altro. Non riesco a capire come funzionano i corpi rigidi. Risulta infatti che se faccio scontrare x esempio due biglie, con velocità iniziali entrambe dirette verso l'asse X, se davvero valesse il principio di conservazione della qdm la velocità finale del centro di massa dpvrebbe fatalmente essere diretta nell'asse x, anche se i centri di massa delle biglie non sono allineati. Invece le biglie deviano dalla loro traiettoria, quindi risultano avere anche delle velocità y. Ma se io voglio trovarmi le velocità singole dele biglie, come posso fare?
In questo caso è come se ci fosse un urto tra la pallina e disco+cannoncino. Trascuriamo la massa della pallina perchè molto inferiore. Desumo che la velocità del cdm sia quasi uguale a quella di traslazione del disco.. Ma se voglio qualcosa di più preciso (mica è meccanica quantistica questa, fortunatamente l'indeterminazione di Heisemberg è ancora piccolissima per queste scale...è una battuta...va be non fa ridere) dicevo se voglio qualcosa di piu preciso che posso fare?
Cmq il mio problema, il problema che vorrei risolvere, è strettamente un altro. Non riesco a capire come funzionano i corpi rigidi. Risulta infatti che se faccio scontrare x esempio due biglie, con velocità iniziali entrambe dirette verso l'asse X, se davvero valesse il principio di conservazione della qdm la velocità finale del centro di massa dpvrebbe fatalmente essere diretta nell'asse x, anche se i centri di massa delle biglie non sono allineati. Invece le biglie deviano dalla loro traiettoria, quindi risultano avere anche delle velocità y. Ma se io voglio trovarmi le velocità singole dele biglie, come posso fare?
In questo caso è come se ci fosse un urto tra la pallina e disco+cannoncino. Trascuriamo la massa della pallina perchè molto inferiore. Desumo che la velocità del cdm sia quasi uguale a quella di traslazione del disco.. Ma se voglio qualcosa di più preciso (mica è meccanica quantistica questa, fortunatamente l'indeterminazione di Heisemberg è ancora piccolissima per queste scale...è una battuta...va be non fa ridere) dicevo se voglio qualcosa di piu preciso che posso fare?
Prima di tutto, mi stavo riferendo al centro di massa disco+cannone dopo l'esplosione, non stavo considerando il proiettile, quello è già stato sparato. Non credo sia trascurabile anche la massa del cannone rispetto al disco. E comunque, anche se lo fosse, bisogna comprendere il procedimento generale. Inoltre, eri più sulla buona strada prima, ora parli di velocità di traslazione quando invece sai benissimo che quel sistema ha un atto di moto di rototraslazione. Il discorso sulle biglie, che immagino tu voglia supporre non puntifirmi, lo riprendiamo più tardi.
Ho ricontrollato il testo nemmeno m' è trascurabile...pesa 0.5 kg contro i 10...il testo chiede
LA VELOCITA DI TRASLAZIONE DEL DISCO
LA VELOCITA' DI ROTAZIONE DEL DISCO
non credo di poter scrivere $ \omega = V_{trasl}/R$, perchè così mi troverei la velocità lineare ASSOCIATA ALLA ROTAZIONE DEL DISCO. Come mi trovo questa velocità di traslazione del disco dunque?
LA VELOCITA DI TRASLAZIONE DEL DISCO
LA VELOCITA' DI ROTAZIONE DEL DISCO
non credo di poter scrivere $ \omega = V_{trasl}/R$, perchè così mi troverei la velocità lineare ASSOCIATA ALLA ROTAZIONE DEL DISCO. Come mi trovo questa velocità di traslazione del disco dunque?
Poichè il proiettile è considerato un punto materiale, non so proprio come considerare il centro di massa in modo da includere il cannoncino il problema non mi da neanche la lunghezza del cannoncino..
La posizione del centro del sistema di masse m+M è determinabile.
Indicando con d la distanza del c.m. del sistema m+M dal centro del disco e lungo la congiungente al cannoncino, si ha:
(m+M)*d = m*R da cui d=m/(m+M)
Ovviamente la distanza del cannoncino dal C.M. vale : d'=M/(m+M)
La posizione del centro del sistema di masse m+M è determinabile.
Indicando con d la distanza del c.m. del sistema m+M dal centro del disco e lungo la congiungente al cannoncino, si ha:
(m+M)*d = m*R da cui d=m/(m+M)
Ovviamente la distanza del cannoncino dal C.M. vale : d'=M/(m+M)
NN ho ben capito
dici a me o a speculor?
Forse a entrambi:| ahaah...possiamo approssimare che il centro di massa si trovi lungo la verticale che passa per centro disco e cannoncino no?
Andava concettualmente bene il tuo primo procedimento:
1 - Conservazione energia.
2 - Conservazione quantità di moto.
3 - Conservazione momento angolare.
Le incognite sono la velocità del proiettile, la velocità del centro di massa del sistema disco+cannone e la velocità angolare sempre di quest'ultimo. Devi però determinare il centro di massa del sistema disco+cannone, immagina due masse puntiformi situate, una nel centro del disco, l'altra nel punto dove si trova il cannone, poi applica le formule. Quelle equazioni vanno scritte con tutte le grandezze relative a questo centro di massa, anche il momento angolare conviene conservarlo rispetto a questo punto.
1 - Conservazione energia.
2 - Conservazione quantità di moto.
3 - Conservazione momento angolare.
Le incognite sono la velocità del proiettile, la velocità del centro di massa del sistema disco+cannone e la velocità angolare sempre di quest'ultimo. Devi però determinare il centro di massa del sistema disco+cannone, immagina due masse puntiformi situate, una nel centro del disco, l'altra nel punto dove si trova il cannone, poi applica le formule. Quelle equazioni vanno scritte con tutte le grandezze relative a questo centro di massa, anche il momento angolare conviene conservarlo rispetto a questo punto.
Non approssimativamente ma esattamente il centro di massa si trova lungo la congiungente il centro del disco al centro del cannoncino
Aggiungo:
puoi trovarti la posizione del centro di massa imponendo uguali i prodotti delle singole masse per le distanze dei loro centri dagli assi di riferimento al prodotto della massa totale per la distanza del centro di massa dagli assi di riferimento.
In questo caso hai noto il fatto che il CM si trova lungo la congiungente centrodisco-cannoncino, non ti resta quindi che applicare quanto sopra detto scegliendo un asse arbitrario ortogonale a quella congiungente. Io sceglierei un asse passante per il centro del disco (cosi un prodotto va a zero) e perpendicolare alla congiungente.
ciao
Aggiungo:
puoi trovarti la posizione del centro di massa imponendo uguali i prodotti delle singole masse per le distanze dei loro centri dagli assi di riferimento al prodotto della massa totale per la distanza del centro di massa dagli assi di riferimento.
In questo caso hai noto il fatto che il CM si trova lungo la congiungente centrodisco-cannoncino, non ti resta quindi che applicare quanto sopra detto scegliendo un asse arbitrario ortogonale a quella congiungente. Io sceglierei un asse passante per il centro del disco (cosi un prodotto va a zero) e perpendicolare alla congiungente.
ciao
DETERMINAZIONE CDM
Metto lo 0 al centro del disco.
$y_c = (0M + Rm)/(M+m) = (Rm)/(R+m)$. Ma si può sapere a cosa mi serve tutto ciò?
Metto lo 0 al centro del disco.
$y_c = (0M + Rm)/(M+m) = (Rm)/(R+m)$. Ma si può sapere a cosa mi serve tutto ciò?
newton_1372:
DETERMINAZIONE CDM
Metto lo 0 al centro del disco.
$y_c = (0M + Rm)/(M+m) = (Rm)/(R+m)$. Ma si può sapere a cosa mi serve tutto ciò?
Ok, mentre stavo scrivendo tu hai scritto la formula con l'editor (che non so ancora usare)
Questo ti serve ad applicare quanto ti ha scritto speculor.
newton_1372:
DETERMINAZIONE CDM
Metto lo 0 al centro del disco.
$y_c = (0M + Rm)/(M+m) = (Rm)/(R+m)$. Ma si può sapere a cosa mi serve tutto ciò?
Atenzione pero' al denominatore
In ogni caso la velocità di yc equivale alla traslazione di disco + cannoncino...quindi quelle relazioni valgono cmq
Prima di fare questi esercizi, che non saranno impossibili, ma nemmeno banali, sarebbe il caso che ti studiassi un po' di teoria e ne vedessi di simili in un buon testo di esercitazioni. Io ti posso aiutare stasera, nel frattempo riflettici.

Si si ho sbagliato a digitare era $y_c = (Rm)/(M+m)$...avete ragione...
quello che non riesco a capire è come devo usare questo dato...le tre equazioni iniziali che ho usato infatti non dipendono dalla posizione del cdm...
quello che non riesco a capire è come devo usare questo dato...le tre equazioni iniziali che ho usato infatti non dipendono dalla posizione del cdm...
Mi suggerite di esprimere la (3) rispetto al cdm? Vediamo cosa esce
CONSERVAZIONE MOMENTO ANGOLARE RISP. AL CDM
$0 = mv( R-(Rm)/(M+m) )+ I\omega$
Forse ho capito...il sistema Cannoncino + Disco non ruota attorno al centro del disco, ma attorno al centro di massa....right?
CONSERVAZIONE MOMENTO ANGOLARE RISP. AL CDM
$0 = mv( R-(Rm)/(M+m) )+ I\omega$
Forse ho capito...il sistema Cannoncino + Disco non ruota attorno al centro del disco, ma attorno al centro di massa....right?
Considerando che non ho nè raggio ne lunghezza del cannoncino, posso assumere I = I disco?
newton_1372:
Mi suggerite di esprimere la (3) rispetto al cdm? Vediamo cosa esce
CONSERVAZIONE MOMENTO ANGOLARE RISP. AL CDM
$0 = mv( R-(Rm)/(M+m) )+ I\omega$
Forse ho capito...il sistema Cannoncino + Disco non ruota attorno al centro del disco, ma attorno al centro di massa....right?
... dato che il centro di massa non può avere componente verticale...
se il sistema ruotasse attorno al centro del disco il centro di massa si sposterebbe anche in verticale in funzione della posizione del cannoncino.
A questo punto occorre anche dire qualcosa a proposito di I. O no?