Errore applicazione principio di conservazione energia meccanica
Una scatola inizialmente ferma di massa $m=1,6 kg$ sotto l'azione di una forza di modulo $F=4 N$ che forma con l'orizzontale un angolo di $\alpha= 30°$ raggiunge una certa velocità finale dopo aver percorso un tratto di lunghezza $l=1,8 m$. Il coefficiente di attrito tra pavimento e scatola vale $\mu =0,15$. Calcolare il modulo della velocità finale $v_f$
svolgimento senza principi energetici.
Calcoliamo il modulo dell'accelerazione totale $a_t$ che agisce sulla scatola.
$a_t=\frac{F_t}{m}=\frac{F_x-F_a}{m}=\frac{F\cos\alpha-(mg-F\sen\alpha)\mu}{m}$
infine usando la legge oraria del moto uniformemente accelerato calcoliamo la velocità finale
$v_f= a_t \cdot t_f= a_t \cdot \sqrt{\frac{2l}{a_t}}=1,8 \frac{m}{s}$
svolgimento col teorema lavoro-energia
$ | \Delta E| = | W_a|$
l'unica forza non conservativa sembrerebbe essere la forza di attrito dinamico
$| \Delta E|= | F_a \cdot l |$
ovverosia
$ \frac{1}{2}m v_f^2 = F_a \cdot l $
da cui
$v_f= \sqrt{\frac{2lF_a}{m}}= 2,1 \frac{m}{s}$
dov'è l'errore?
svolgimento senza principi energetici.
Calcoliamo il modulo dell'accelerazione totale $a_t$ che agisce sulla scatola.
$a_t=\frac{F_t}{m}=\frac{F_x-F_a}{m}=\frac{F\cos\alpha-(mg-F\sen\alpha)\mu}{m}$
infine usando la legge oraria del moto uniformemente accelerato calcoliamo la velocità finale
$v_f= a_t \cdot t_f= a_t \cdot \sqrt{\frac{2l}{a_t}}=1,8 \frac{m}{s}$
svolgimento col teorema lavoro-energia
$ | \Delta E| = | W_a|$
l'unica forza non conservativa sembrerebbe essere la forza di attrito dinamico
$| \Delta E|= | F_a \cdot l |$
ovverosia
$ \frac{1}{2}m v_f^2 = F_a \cdot l $
da cui
$v_f= \sqrt{\frac{2lF_a}{m}}= 2,1 \frac{m}{s}$
dov'è l'errore?
Risposte
l'unica spiegazione che mi viene in mente é aver ipotizzato il vettore forza di attrito di modulo costante. Magari svolgendo un integrale assumendo il modulo variabile otterrei un sottografico di misura inferiore a quella del rettangolo.Tuttavia se per calcolare l'accelerazione media ho assunto costante il valore del modulo della forza di attrito non vedo come mai ora dovrei assumerlo variabile
Non hai considerato il lavoro della forza esterna
la forza esterna é di tipo dissipativo? non devo considerare il lavoro delle forze di attrito?
Devi considerare il lavoro della forza d'attrito come hai fatto, ma devi anche considerare che la forza esterna $F$ compie lavoro, esattamente come ad esempio compie lavoro la forza peso (vedi poi la relativa energia potenziale) quando un grave cade
nel teorema lavoro-energia si considera il lavoro di forze non conservative.Quindi potresti essere un po' piú preciso? perché devo considerare il lavoro di altre forze? le scelgo a caso? grazie
Ti stai confondendo. Tu sai che la variazione dell'energia CINETICA è uguale al lavoro di TUTTE le forze che agiscono sul corpo. $\Delta K=W_{cons}+W_{noncons}$
Se poi alcune di queste forze sono conservative, usando il fatto che per definizione l'energia potenziale è $\Delta U=-W_{cons}$ a partire dalla relazione precedente puoi scrivere che $\Delta K-W_{cons}=W_{noncons}$ da cui $\Delta E=W_{noncons}$ dove $E=K+U$ è l'energia meccanica TOTALE. Quindi tu alla fine hai in mano due risultati (che sono modi diversi di dire la stessa cosa)
1)il lavoro di tutte le forze è uguale alla variazione di energia cinetica
2)il lavoro delle forze non conservative è uguale alla variazione di energia meccanica totale (somma di cinetica e potenziale)
Qua ovviamente il risultato più immediato da applicare è il primo. Nulla ti vieta però di associare un potenziale a quella forza costante che agisce sul corpo e usare il secondo. Però sicuramente è sbagliato dire che la variazione di energia cinetica è uguale solo al lavoro della forza non conservativa. Come d'altronde è naturale che sia, se tu applichi una forza di $1N$ o di $100000N$ è chiaro che nel secondo caso l'energia cinetica finale sarà maggiore.
Se poi alcune di queste forze sono conservative, usando il fatto che per definizione l'energia potenziale è $\Delta U=-W_{cons}$ a partire dalla relazione precedente puoi scrivere che $\Delta K-W_{cons}=W_{noncons}$ da cui $\Delta E=W_{noncons}$ dove $E=K+U$ è l'energia meccanica TOTALE. Quindi tu alla fine hai in mano due risultati (che sono modi diversi di dire la stessa cosa)
1)il lavoro di tutte le forze è uguale alla variazione di energia cinetica
2)il lavoro delle forze non conservative è uguale alla variazione di energia meccanica totale (somma di cinetica e potenziale)
Qua ovviamente il risultato più immediato da applicare è il primo. Nulla ti vieta però di associare un potenziale a quella forza costante che agisce sul corpo e usare il secondo. Però sicuramente è sbagliato dire che la variazione di energia cinetica è uguale solo al lavoro della forza non conservativa. Come d'altronde è naturale che sia, se tu applichi una forza di $1N$ o di $100000N$ è chiaro che nel secondo caso l'energia cinetica finale sarà maggiore.
ma io ho applicato il teorema punto e basta.
Non capisco la puntualizzazione.
Ho anche scritto che $\Delta E= W_a$.
Quindi ripeto ancora... in base a cosa la forza assegnata nell'esercizio dovrebbe essere dissipativa?
Non capisco la puntualizzazione.
Ho anche scritto che $\Delta E= W_a$.
Quindi ripeto ancora... in base a cosa la forza assegnata nell'esercizio dovrebbe essere dissipativa?
Ok forse ho capito il problema. Tu dici che assumendo $\vec F= \nabla U$ a quel punto nel computo di $\Delta U$ dovrei tenerne conto ed hai ragione. Come uno sciocco mi sono lasciato ingannare dal fatto che siccome nel caso particolare del potenziale gravitazionale $\Delta U=0$ perché il piano é orizzontale allora anche per l'altro potenziale mi aspettavo variazione nulla ma é sbagliato. Grazie per avermi fatto notare proprio l'errore concettuale.
Pertanto il teorema lavoro energia é inutilizzabile alle scuole superiori perché dubito che i bambini sappiano calcolare un potenziale.
Pertanto il teorema lavoro energia é inutilizzabile alle scuole superiori perché dubito che i bambini sappiano calcolare un potenziale.
La primitiva di una funzione costante (il caso del campo gravitazionale uniforme) o di una funzione lineare (caso della forza elastica) è assolutamente alla portata di uno studente di 5a superiore ed è incluso nel loro programma di studio.
"Brufus":Si però poi metti $\Delta E=1/2 mv^2$ che è sbagliato.
Ho anche scritto che ΔE=Wa.
"Brufus":Io non conosco i nomi dei teoremi, che cosa dovrebbe affermare con esattezza questo teorema?
ma io ho applicato il teorema punto e basta.
"Brufus":Non è necessario introdurre il potenziale, basta che tieni conto che la variazione di energia cinetica è il lavoro di tutte le forze. Calcolare il lavoro di una forza costante lo sai fare anche in seconda liceo.
perché dubito che i bambini sappiano calcolare un potenziale.
@Loret314
il teorema che hai scritto :
ha il semplice nome di “teorema dell’energia cinetica” . Basta calcolare il lavoro di tutte le forze, quelle conservative e quelle non conservative , e farne la somma algebrica.
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... a_cinetica
Ne approfitto per segnalare quest’altre perle di Wikipedia, nel link sopra riportato, al paragrafo sulla origine del nome :
Ad introdurre per primo questa denominazione è Leibniz (1646 - 1716), celebre matematico e scienziato tedesco, che nel suo "Specimen Dynamicum" contrappone due tipi di forze. Una di queste è la "vis mortua", ossia quella forza che un corpo possiede per mettersi in movimento mentre è a riposo e che concettualmente corrisponde all'energia potenziale di un corpo. L'altra forza ad essa contrapposta è proprio la "vis viva", più significativa dal punto di vista della dinamica, che è determinata dalla capacità di un corpo di provocare effetti sul sistema a seguito del suo movimento. Questa forza, secondo Leibniz, si conserva sia nel caso particolare di urto tra due corpi,[3] che nel sistema globale in generale.
il teorema che hai scritto :
Tu sai che la variazione dell'energia CINETICA è uguale al lavoro di TUTTE le forze che agiscono sul corpo. ΔK=Wcons+Wnoncons
ha il semplice nome di “teorema dell’energia cinetica” . Basta calcolare il lavoro di tutte le forze, quelle conservative e quelle non conservative , e farne la somma algebrica.
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... a_cinetica
Ne approfitto per segnalare quest’altre perle di Wikipedia, nel link sopra riportato, al paragrafo sulla origine del nome :
Ad introdurre per primo questa denominazione è Leibniz (1646 - 1716), celebre matematico e scienziato tedesco, che nel suo "Specimen Dynamicum" contrappone due tipi di forze. Una di queste è la "vis mortua", ossia quella forza che un corpo possiede per mettersi in movimento mentre è a riposo e che concettualmente corrisponde all'energia potenziale di un corpo. L'altra forza ad essa contrapposta è proprio la "vis viva", più significativa dal punto di vista della dinamica, che è determinata dalla capacità di un corpo di provocare effetti sul sistema a seguito del suo movimento. Questa forza, secondo Leibniz, si conserva sia nel caso particolare di urto tra due corpi,[3] che nel sistema globale in generale.
Si però poi metti$\Delta E=\frac{1}{2}mv^2$ che è sbagliato
Nel particolare esercizio il fatto che $\Delta E=\Delta K$ era una pura coincidenza dovuta al fatto che $\Delta U_(grav)=0$ poichè il piano è orizzontale ed io non stavo considerando il potenziale $U'$ tale che $\nabla
U'=\vec F$
Non è necessario introdurre il potenziale, basta che tieni conto che la variazione di energia cinetica è il lavoro di tutte le forze. Calcolare il lavoro di una forza costante lo sai fare anche in seconda liceo.
Ok siamo d'accordo ma così stai invocando un altro teorema detto appunto teorema dell'energia cinetica.
Io invece volevo usare il teorema lavoro-energia.
"Lampo1089":
La primitiva di una funzione costante (il caso del campo gravitazionale uniforme) o di una funzione lineare (caso della forza elastica) è assolutamente alla portata di uno studente di 5a superiore ed è incluso nel loro programma di studio.
Certo ma questo è il caso banale in cui i bambini del liceo imparano a memoria il potenziale.
$U_(grav)=mgh+c$ cioè il potenziale della forza peso che sanno essere una forza conservativa
$U_(elas)=\frac{1}{2}kx^2$ che prende il nome di energia potenziale elastica.
Quello che non saprebbero fare è un esercizio come quello che ho pubblicato perchè non appena nel testo appare una forza diversa dalla forza elastica e dalla forza peso loro non potrebbero mai e poi mai applicare il teorema lavoro-energia.
Se lo dici tu... Inoltre: secondo me non è corretto introdurre una energia potenziale in questa situazione. O meglio: introduciamola pure, ma da che parte il testo mi dice che, se la massa percorre un circuito chiuso (immaginiamo che percorrre prima una distanza l in avanti, e poi ritorna indietro al punto di partenza) nella seconda parte la forza agisce contrariamente alla direzione del moto? Non mi sembra in linea di principio appropriato in questa situazione introdurre questo concetto.
Più semplicemente, come già detto da altri, i "bambini" lo risolverebbero usando direttamente la definizione di lavoro.
Per campi di forze posizionali generici conservativi, invece, ti dò ragione: un liceale incontrerebbe difficoltà, ma immagino che anche uno studente universitario qualche grattacapo lo incontrerebbe.
Più semplicemente, come già detto da altri, i "bambini" lo risolverebbero usando direttamente la definizione di lavoro.
Per campi di forze posizionali generici conservativi, invece, ti dò ragione: un liceale incontrerebbe difficoltà, ma immagino che anche uno studente universitario qualche grattacapo lo incontrerebbe.
"Lampo1089":
Se lo dici tu... Inoltre: secondo me non è corretto introdurre una energia potenziale in questa situazione. O meglio: introduciamola pure, ma da che parte il testo mi dice che, se la massa percorre un circuito chiuso (immaginiamo che percorrre prima una distanza l in avanti, e poi ritorna indietro al punto di partenza) nella seconda parte la forza agisce contrariamente alla direzione del moto? Non mi sembra in linea di principio appropriato in questa situazione introdurre questo concetto.
Più semplicemente, come già detto da altri, i "bambini" lo risolverebbero usando direttamente la definizione di lavoro.
Per campi di forze posizionali generici conservativi, invece, ti dò ragione: un liceale incontrerebbe difficoltà, ma immagino che anche uno studente universitario qualche grattacapo lo incontrerebbe.
temo di non capire la tua obiezione. Non capisco cosa intendi con l'andare avanti e indietro. Il calcolo del potenziale di un campo vettoriale è un problema abbastanza semplice. Dal punto di vista matematico si può discettare se la forma differenziale sia esatta o meno, se il dominio sia semplicemente connesso e via discorrendo..se il campo vettoriale è di classe C1 o liscio..... Il campo vettoriale in questione è uniforme almeno in una regione del piano e quindi il calcolo del potenziale è semplicissimo.
l calcolo del potenziale di un campo vettoriale è un problema abbastanza semplice.
qui non è definito un campo vettoriale. Viene detto solamente che agisce una forza sul corpo fatta in un certo modo. Quindi, domanda per te: come verificheresti che la forza esterna è conservativa?
E ancora, se definisci un campo vettoriale uniforme e costante - come vorresti fare tu - va bene per risolvere il problema, ma ribadisco, stai introducendo assunzioni ulteriori: cioé che se, per amor di discussione, il corpo dovesse muoversi in verso contrario, la forza esterna non sarebbe più motrice ma frenante.
Perché mai complicare e complicarsi quando non serve nulla e confonde solo le idee?
Ribadisco, perché prima sono stato un po' estremo, non è sbagliato come ragionamento e il risultato è ovviamente corretto: però il tirare in ballo un potenziale per una forza non posizionale mi pare bruttino ...
"Lampo1089":l calcolo del potenziale di un campo vettoriale è un problema abbastanza semplice.
qui non è definito un campo vettoriale. Viene detto solamente che agisce una forza sul corpo fatta in un certo modo. Quindi, domanda per te: come verificheresti che la forza esterna è conservativa?
E ancora, se definisci un campo vettoriale uniforme e costante - come vorresti fare tu - va bene per risolvere il problema, ma ribadisco, stai introducendo assunzioni ulteriori: cioé che se, per amor di discussione, il corpo dovesse muoversi in verso contrario, la forza esterna non sarebbe più motrice ma frenante.
Perché mai complicare e complicarsi quando non serve nulla e confonde solo le idee?
Ribadisco, perché prima sono stato un po' estremo, non è sbagliato come ragionamento e il risultato è ovviamente corretto: però il tirare in ballo un potenziale per una forza non posizionale mi pare bruttino ...
Ma come sarebbe a dire che non é definito un campo vettoriale ?
$\vec F(x,y)= (F \cos\alpha,F\sin\alpha)$
definito almeno nella regione di piano $\Omega$ in cui la scatola si muove.
Provocazione: con il tuo stesso ragionamento potresti introdurre un campo di forze e una energia potenziale per una forza d'attrito dinamico (tanto è una forza costante) , o sbaglio 
? e quindi, perché non lo introduci (ovviamente non lo fai, e perché)?
Ripeto: quello che fai è corretto, ma stai andando ben al di là di quanto richieda e dica il testo. E' un po' come dire, esasperando la situazione e andando in 3D, altra domanda per te: hai un carretto tirato da una forza costante lungo la direzione del moto. Come definiresti il campo di forze? come definiresti l'energia potenziale (ammesso che sia definibile)?
? e quindi, perché non lo introduci (ovviamente non lo fai, e perché)?Ripeto: quello che fai è corretto, ma stai andando ben al di là di quanto richieda e dica il testo. E' un po' come dire, esasperando la situazione e andando in 3D, altra domanda per te: hai un carretto tirato da una forza costante lungo la direzione del moto. Come definiresti il campo di forze? come definiresti l'energia potenziale (ammesso che sia definibile)?
l'unica forza non conservativa assegnata nell'esercizio é quella di attrito. Per l'altra assumo per ipotesi che sia conservativa e procedo in quel modo.
"Lampo1089":
Provocazione: con il tuo stesso ragionamento potresti introdurre un campo di forze e una energia potenziale per una forza d'attrito dinamico (tanto è una forza costante) , o sbaglio
Ripeto: quello che fai è corretto, ma stai andando ben al di là di quanto richieda e dica il testo. E' un po' come dire, esasperando la situazione e andando in 3D, altra domanda per te: hai un carretto tirato da una forza costante lungo la direzione del moto. Come definiresti il campo di forze? come definiresti l'energia potenziale (ammesso che sia definibile)?
Ma infatti tu puoi introdurre una funzione potenziale anche per la forza di attrito limitatamente ad una regione del piano $\Omega$ . Se $\Omega$ è un insieme semplicemente connesso puoi anche avere conservatività. Ovviamente non puoi sperare che la circuitazione sia nulla per ogni laccio dell'insieme di definizione altrimenti non avresti per ipotesi che quel campo vettoriale era non conservativo. Nel nostro esercizio ad esempio puoi definire il potenziale $U(x,y)=2 \sqrt3x $ per la forza $\vec F$ ed il potenziale $U'(x,y)=- 2x$ per la forza di attrito $\vec F_a$. Poi applichi la conservazione dell'energia e risolvi.
$U_A+K_A -U_B-K_B=0$
$-2\sqrt3 \cdot l+2\cdot l-\frac{1}{2}mv_B^2=0$
$v_B=\sqrt (\frac{4l(\sqrt 3-1)}{m})=1,8 \frac {m}{s}$
Il fatto che un campo vettoriale non sia conservativo nel proprio dominio $D$ non significa che non possa esistere un aperto semplicemente connesso $\Omega \subset D$ in cui il campo sia conservativo. Ad esempio il campo induzione magnetica generato da un magnete sarà conservativo per ogni aperto semplicemente connesso non contenente il magnete. Sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo