Conservazione moto ed urto anelastico
Assumendo l'assenza di forza gravitazionale, la conservazione della quantita' di moto dovrebbe permettermi di determinare quanto una molla venga compressa nel caso in cui venga "impattata" da un corpo di massa m che viaggia a velocita' costante v.
Come cambia la "questione" se al posto di tale corpo considerassi una analoga massa d'acqua con velocita' e portata costante ?
Ho seri dubbi su come poter "modellare" la continua presenza della massa di acqua durante lo spostamento della molla dalla propria posizione di riposo.
Come cambia la "questione" se al posto di tale corpo considerassi una analoga massa d'acqua con velocita' e portata costante ?
Ho seri dubbi su come poter "modellare" la continua presenza della massa di acqua durante lo spostamento della molla dalla propria posizione di riposo.
Risposte
"MenoInfinito":
Intendo esattamente quello.
Appurato che l'equilibrio si ha/avrebbe nel punto $ x = frac{(Mv)}{k} $, cosa succede laddove la lunghezza $ l $ della molla a riposo è inferiore ad $ frac{(Mv)}{k} $ ?
Mi sembra di aver detto cosa succederebbe in quel caso proprio nel messaggio precedente, e di aver spiegato che è un limite della modellazione in se che non ritengo molto interessante (il problema che dici ci sarebbe anche nel caso classico di massa collegata ad una molla se parto da condizioni iniziali che farebbero comprimere molto la molla).
NB: la compressione dela molla è $ frac{(dot m v)}{k} $ con $dot m$ portata del getto d'acqua, la massa del corpo collegato alla molla non incide sul punto di equilibrio assumendo che ci troviamo su un piano orizzontale.
Ed infatti nessuno ha detto che questo non fosse un "limite" anche nel caso del normale caso dell'oscillatore armonico.
Detto questo mi sembra debba essere una situazione da prendere in considerazione visto che nulla assicura che ciò non possa avvenire.
Il fatto che il punto di equilibrio dipenda dalla sola massa del fluido ($M$ o $\dot m$), in questo contesto, non mi sembra faccia nessuna differenza (Trattandosi comunque di una costante): se $l$ è minore della quantità nota (Soluzione particolare) il punto di equilibrio non viene raggiunto.
Detto questo mi sembra debba essere una situazione da prendere in considerazione visto che nulla assicura che ciò non possa avvenire.
Il fatto che il punto di equilibrio dipenda dalla sola massa del fluido ($M$ o $\dot m$), in questo contesto, non mi sembra faccia nessuna differenza (Trattandosi comunque di una costante): se $l$ è minore della quantità nota (Soluzione particolare) il punto di equilibrio non viene raggiunto.
"MenoInfinito":
Ed infatti nessuno ha detto che questo non fosse un "limite" anche nel caso del normale caso dell'oscillatore armonico.
Detto questo mi sembra debba essere una situazione da prendere in considerazione visto che nulla assicura che ciò non possa avvenire.
Ok, ma a me continua a sembrare una cosa ovvia che essendo presente in tutti i problemi in cui si modella il comportamento di una molla non meriti più di tanti commenti, (più "simpatica" trovo invece la natura della soluzione che può essere oscillante attorno all'equilibrio o no), ma certo è una questione di opinioni.
"MenoInfinito":
Il fatto che il punto di equilibrio dipenda dalla sola massa del fluido ($M$ o $\dot m$), in questo contesto, non mi sembra faccia nessuna differenza (Trattandosi comunque di una costante): se $l$ è minore della quantità nota (Soluzione particolare) il punto di equilibrio non viene raggiunto.
Certo non fa differenza, lo avevo messo come nota a pedice, anche se forse l'NB (lo intendevo come semplice PS) poteva far pensare che c'entrasse con l'argomento... Era solo per ricordare e riportare l'espressione giusta.
"Faussone":
...più "simpatica" trovo invece la natura della soluzione che può essere oscillante attorno all'equilibrio o no...
Certo che anche questa situazione è interessante.
Infatti in caso di oscillazioni che tendono comunque a dominuire in ampiezza attorno al punto di equilibrio... il modello diviene semplicemente inattendibile laddove la lunghezza della molla non sia sufficiente oppure si può supporre che l'energia della forza del fluido incidente venga dissipata nel momento in cui la molla viene compressa per tutta la sua lunghezza (Inferiore per ipotesi ad $\frac{(Mv)}{k}$) ?
"MenoInfinito":
Infatti in caso di oscillazioni che tendono comunque a dominuire in ampiezza attorno al punto di equilibrio... il modello diviene semplicemente inattendibile laddove la lunghezza della molla non sia sufficiente
Ma sei proprio in fissa con questo discorso della lunghezza non sufficiente, eh!
Insieme a quello dovresti considerare allora che quando ci si avvicina a quelle condizioni il legame forza e deformazione della molla non è più lineare, quindi le cose si complicherebbero parecchio.
"MenoInfinito":
oppure si può supporre che l'energia della forza del fluido incidente venga dissipata nel momento in cui la molla viene compressa per tutta la sua lunghezza (Inferiore per ipotesi ad $\frac{(Mv)}{k}$) ?
Il concetto di "energia della forza del fluido incidente" ha poco di fisico...
Peraltro una volta che la molla è tutta compressa (se supponiamo che resti compressa mentre il fluido continua a impattare sul corpo collegato alla molla) non viene dissipata più alcuna energia, l'energia cinetica del fluido rimarrebbe inalterata nelle ipotesi che abbiamo fatto, semplicemente la velocità del fluido cambierebbe direzione, le forze esercitate dalla massa collegata alla molla sul fluido non compiono infatti lavoro.
L'unica energia che va dissipata è quando la molla "corta" si comprime e si ferma, (diciamo più bruscamente di quanto si fermerebbe se la lunghezza della molla fosse sufficiente), ed è l'energia cinetica della massa collegata alla molla, che infatti si dissipa grazie al lavoro di deformazione fornito dalla molla, che dato il legame non più lineare tra deformazione e spostamento è diverso d quello del caso di molla ideale appunto. Se la dissipazione fornita dalla molla non fosse ancora sufficiente si produrrebbe un urto tra le spire della molla su cui andrebbero fatte altre ipotesi.. Quindi le cose si possono complicare a volontà.
"Faussone":
Ma sei proprio in fissa con questo discorso della lunghezza non sufficiente, eh!
Insieme a quello dovresti considerare allora che quando ci si avvicina a quelle condizioni il legame forza e deformazione della molla non è più lineare, quindi le cose si complicherebbero parecchio.
A 'sto punto assumo che la lunghezza della molla sia sufficiente tale da escludere che...
Si in effetti è una questione che mi stavo ponendo abbastanza attentamente... ma mi sembra di capire che effettivamente in questo caso "limite" le cose si complichino e come dici la linearità della forza elastica non possa più essere "assunta" come valida.
"Faussone":
...
L'unica energia che va dissipata è quando la molla "corta" si comprime e si ferma, (diciamo più bruscamente di quanto si fermerebbe se la lunghezza della molla fosse sufficiente), ed è l'energia cinetica della massa collegata alla molla, che infatti si dissipa grazie al lavoro di deformazione fornito dalla molla, che dato il legame non più lineare tra deformazione e spostamento è diverso d quello del caso di molla ideale appunto...
Quindi una volta raggiunta la massima compressione della molla (Lasciando perdere per un momento la non linearità della forza elastica in prossimità della massima compressione) l'energia cinetica del fluido incidente resterebbe invariata in modulo e cambierebbe solo in direzione ?
p.s.: con M indicavo la massa in portata del fluido mentre con m la massa del corpo collegato alla molla. L'equazione risultava difatti:
$m\ddotx = -m\dotx -kx + Mv$
"MenoInfinito":
Quindi una volta raggiunta la massima compressione della molla (Lasciando perdere per un momento la non linearità della forza elastica in prossimità della massima compressione) l'energia cinetica del fluido incidente resterebbe invariata in modulo e cambierebbe solo in direzione ?
Sì (nell'ipotesi che il fluido non deformi in alcun modo la massa attaccata alla molla bloccata).
"MenoInfinito":
p.s.: con M indicavo la massa in portata del fluido mentre con m la massa del corpo collegato alla molla. L'equazione risultava difatti:
$ m\ddotx = -m\dotx -kx + Mv $
Vabbè ma è sbagliato pure così
. Nella tua notazione sarebbe allora:$ m\ddotx = -M\dotx -kx + Mv $
"Faussone":
Vabbè ma è sbagliato pure così
$ m\ddotx = -M\dotx -kx + Mv $
Hai ragione... sono riuscito a sbagliare dopo averla scritta per 900 volte...
Altra questione... volendo fare una semplice simulazione numerica (Più eventuale visualizzazione grafica) si può approssimare in prima istanza anche con il metodo di eulero o per questo tipo di soluzioni (Esponenziali) meglio impiegare metodi di approssimazione più sofisticati ?
In questo caso essendo nota la soluzione analitica non vedo la necessità di usare una soluzione numerica (Eulero, Eulero implicito, Crank-Nicholson, Runge-Kutta o che si voglia).
Si tratta di dover effettuare una simulazione numerica (in via programmatica) per poi visualizzare graficamente l'evoluzione del moto a "passi discreti".
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