Conservazione moto ed urto anelastico
Assumendo l'assenza di forza gravitazionale, la conservazione della quantita' di moto dovrebbe permettermi di determinare quanto una molla venga compressa nel caso in cui venga "impattata" da un corpo di massa m che viaggia a velocita' costante v.
Come cambia la "questione" se al posto di tale corpo considerassi una analoga massa d'acqua con velocita' e portata costante ?
Ho seri dubbi su come poter "modellare" la continua presenza della massa di acqua durante lo spostamento della molla dalla propria posizione di riposo.
Come cambia la "questione" se al posto di tale corpo considerassi una analoga massa d'acqua con velocita' e portata costante ?
Ho seri dubbi su come poter "modellare" la continua presenza della massa di acqua durante lo spostamento della molla dalla propria posizione di riposo.
Risposte
\(\displaystyle F = \frac{\partial{q}}{\partial{t}} \)
Essendoci la presenza della molla dovrebbe accadere che, all'equilibrio, tale forza va ad equilibrare la forza elastica (di richiamo) della molla.
Ho come l'impressione che tu mi stia portando all'equazione che hai scritto all'inizio...
Essendoci la presenza della molla dovrebbe accadere che, all'equilibrio, tale forza va ad equilibrare la forza elastica (di richiamo) della molla.
Ho come l'impressione che tu mi stia portando all'equazione che hai scritto all'inizio...
Esatto.
L'unica difficoltà è che per esplicitare, in maniera rigorosa, la derivata della quantità di moto rispetto al tempo per il volume di fluido va usato il teorema del trasporto di Reynolds.
$\frac{d}{dt} int_{V(t)} rho vec v dV = int_{V_c} \frac{\partial (rho vec v)}{ partial t} dV + \int_{S_c} rho vec v (vec v * vec n) dS$
(con $V_c$ si intende il volume di fluido considerato e con $S_c$ la superficie di contorno).
Se il flusso è stazionario il primo addendo scompare e resta solo l'integrale di superficie attorno al volume di fluido considerato che dà appunto per la componente orizzontale la formula che avevo scritto.
L'unica difficoltà è che per esplicitare, in maniera rigorosa, la derivata della quantità di moto rispetto al tempo per il volume di fluido va usato il teorema del trasporto di Reynolds.
$\frac{d}{dt} int_{V(t)} rho vec v dV = int_{V_c} \frac{\partial (rho vec v)}{ partial t} dV + \int_{S_c} rho vec v (vec v * vec n) dS$
(con $V_c$ si intende il volume di fluido considerato e con $S_c$ la superficie di contorno).
Se il flusso è stazionario il primo addendo scompare e resta solo l'integrale di superficie attorno al volume di fluido considerato che dà appunto per la componente orizzontale la formula che avevo scritto.
Una maniera intuitiva, senza ricorrere al teorema del trasporto di Reynolds, per scrivere la variazione della quantità di moto rispetto al tempo del getto continuo, e giungere a quella formula, è la seguente.
Consideriamo una certa porzione di volume del fluido (detto volume di controllo), per esempio quella compresa tra l'uscita del tubo che spara il getto e il muro (o la massa collegata alla molla). Se il flusso è stazionario nel corso del tempo la quantità di moto delle particelle di fluido in questo volume resta invariata, occorre tener conto però che in un istante di tempo $Delta t$ c'è una quantità di fluido che entra in questo volume di controllo con una quantità di moto pari a $dot m Delta t vec v_i$ (con $dot m$ portata massica e $vec v_i$ velocità del fluido all'ingresso) e una certa quantità di fluido che esce con quantità di moto $dot m Delta t vec v_u$.
Ora considerando solo la quantità di moto orizzontale per l'ingresso si ha
$dot m Delta t v_x$
e per l'uscita si ha $0$ visto che abbiamo assunto che il fluido impatta il muro e devia in alto o in basso senza più componente orizzontale.
La variazione della quantità di moto rispetto al tempo (la derivata rispetto al tempo della quantità di moto) è pertanto $-dot m v_x$ che sarà pari alla forza orizzontale esercitata sul fluido che cambiata di segno è la forza che il fluido eserciata sul muro.
Consideriamo una certa porzione di volume del fluido (detto volume di controllo), per esempio quella compresa tra l'uscita del tubo che spara il getto e il muro (o la massa collegata alla molla). Se il flusso è stazionario nel corso del tempo la quantità di moto delle particelle di fluido in questo volume resta invariata, occorre tener conto però che in un istante di tempo $Delta t$ c'è una quantità di fluido che entra in questo volume di controllo con una quantità di moto pari a $dot m Delta t vec v_i$ (con $dot m$ portata massica e $vec v_i$ velocità del fluido all'ingresso) e una certa quantità di fluido che esce con quantità di moto $dot m Delta t vec v_u$.
Ora considerando solo la quantità di moto orizzontale per l'ingresso si ha
$dot m Delta t v_x$
e per l'uscita si ha $0$ visto che abbiamo assunto che il fluido impatta il muro e devia in alto o in basso senza più componente orizzontale.
La variazione della quantità di moto rispetto al tempo (la derivata rispetto al tempo della quantità di moto) è pertanto $-dot m v_x$ che sarà pari alla forza orizzontale esercitata sul fluido che cambiata di segno è la forza che il fluido eserciata sul muro.
Grazie molte per l'argomentazione dettagliata.
Lo stesso puo' valere anche nel caso si assuma che all'interno dell'ipotetico condotto la velocita' del fluido sia costante (velocità_i = velocità_f) ?
In tal caso avendo, al momento dell'impatto, una variazione della quantità di moto pari a \(\displaystyle -mv \) otteniamo una "forza d'impatto" (esercitata dal fluido) pari quindi a \(\displaystyle mv \) ?
Lo stesso puo' valere anche nel caso si assuma che all'interno dell'ipotetico condotto la velocita' del fluido sia costante (velocità_i = velocità_f) ?
In tal caso avendo, al momento dell'impatto, una variazione della quantità di moto pari a \(\displaystyle -mv \) otteniamo una "forza d'impatto" (esercitata dal fluido) pari quindi a \(\displaystyle mv \) ?
Scusate..so.che non è direttamente attinente a questo.problema però è una domanda.sempre sulla quantità di moto.quindi può essere utile anche a te... Avrei dei dubbi sull'impulso di una forza..Ho un'asta il cui estremo è agganciato ad un perno attorno al quale sta ruotando ...Se l'asta si sgancia e comincia a rototraslare ,la.soluzione del problema dice che tutte le forze nel momento in cui sì sgancia,subiscono in un tempo trascurabile una variazione finita e trasferiscono quindi un impulso trascurabile..Io non riesco a capire come posso dire che è una variazione finita dal momento che dovrebbe esserci una forza impulsiva che agisce nel perno...e soprattutto quando l'asta sì era agganciata rprecedentemente la soluzione non ipotizza una conservazione della quantità di moto...perché dopo sì?
"MenoInfinito":
Lo stesso puo' valere anche nel caso si assuma che all'interno dell'ipotetico condotto la velocita' del fluido sia costante (velocità_i = velocità_f) ?
Certo che sì.
"MenoInfinito":
In tal caso avendo, al momento dell'impatto, una variazione della quantità di moto pari a \(\displaystyle -mv \) otteniamo una "forza d'impatto" (esercitata dal fluido) pari quindi a \(\displaystyle mv \) ?
Non ho capito: volevi scrivere $dot m v$ forse? Insomma con $m$ intendi la portata in massa di fluido? (Se così meglio chiamarla $dot m$ allora).
Se sì allora è corretto, anche se non la chiamerei forza di impatto, ma semplicemente forza che il fluido esercita sulla superficie su cui impatta.
"kateledger":
Ho un'asta il cui estremo è agganciato ad un perno attorno al quale sta ruotando ...Se l'asta si sgancia e comincia a rototraslare ,la.soluzione del problema dice che tutte le forze nel momento in cui sì sgancia,subiscono in un tempo trascurabile una variazione finita e trasferiscono quindi un impulso trascurabile..Io non riesco a capire come posso dire che è una variazione finita dal momento che dovrebbe esserci una forza impulsiva che agisce nel perno...e soprattutto quando l'asta sì era agganciata rprecedentemente la soluzione non ipotizza una conservazione della quantità di moto...perché dopo sì?
Ho visto che hai messo lo stesso messaggio un un'altra discussione.
Non è consentito dal regolamento postare la stessa cosa in più discussioni....
Scusate..ho letto il regolamento,ma questo mi era sfuggito
"Faussone":
[quote="MenoInfinito"]
Lo stesso puo' valere anche nel caso si assuma che all'interno dell'ipotetico condotto la velocita' del fluido sia costante (velocità_i = velocità_f) ?
Certo che sì.
"MenoInfinito":
In tal caso avendo, al momento dell'impatto, una variazione della quantità di moto pari a \(\displaystyle -mv \) otteniamo una "forza d'impatto" (esercitata dal fluido) pari quindi a \(\displaystyle mv \) ?
Non ho capito: volevi scrivere $dot m v$ forse? Insomma con $m$ intendi la portata in massa di fluido? (Se così meglio chiamarla $dot m$ allora).
Se sì allora è corretto, anche se non la chiamerei forza di impatto, ma semplicemente forza che il fluido esercita sulla superficie su cui impatta.[/quote]
Si, facevo riferimento alla portata in massa del fluido (Poniamo quindi $m$ = $dot m$).
Aspetto poco chiaro da parte mia: assieme alla massa $dot m$ di cui sopra non occorre considerare opportunamente anche la massa del corpo contro il quale il fluido va ad impattare (Assumendo che sia di entità non trascurabile) ?
"MenoInfinito":
Aspetto poco chiaro da parte mia: assieme alla massa $dot m$ di cui sopra non occorre considerare opportunamente anche la massa del corpo contro il quale il fluido va ad impattare (Assumendo che sia di entità non trascurabile) ?
Se stiamo considerando un muro come oggetto contro cui il fluido va ad impattare, o se stiamo considerando, come dicevi all'inizio, un oggetto qualunque collegato ad una molla a sua volta collegata ad un muro, la massa del muro o dell'oggetto non contano. A meno che ovviamente non fossimo interessati alla situazione in transitorio, cioè a come si sposta in funzione del tempo l'oggetto collegato alla molla quando viene colpito dal fluido.
L'interesse è proprio di determinare la funzione che regola il moto del corpo collegato alla molla.
Per questo chiedevo come mai non fosse ritenuta rilevante la mossa di tale corpo che, credo, debba andare af influire sulla determinazione della velocita' immediatamente dopo che e' avvenuto l'urto.
In tal caso come potrebbe essere modificata la situazione ?
Per questo chiedevo come mai non fosse ritenuta rilevante la mossa di tale corpo che, credo, debba andare af influire sulla determinazione della velocita' immediatamente dopo che e' avvenuto l'urto.
In tal caso come potrebbe essere modificata la situazione ?
Be', se hai capito come determinare la forza che agisce su un muro fermo sottoposto al getto di fluido, allora la forza che agisce su un corpo collegato alla molla si determina allo stesso modo, solo che se si vuole considerare quello che accade non all'equilibrio, ma quando il corpo è in movimento occorre tener presente che la velocità orizzontale del fluido dopo l'impatto è pari alla velocità del corpo (collegato alla molla):
$M ddot x = - k x + dot m (v - dot x)$
dove con $v$ si intende la velocità del getto di fluido prima dell'impatto e con $M$ la massa del corpo collegato alla molla.
$M ddot x = - k x + dot m (v - dot x)$
dove con $v$ si intende la velocità del getto di fluido prima dell'impatto e con $M$ la massa del corpo collegato alla molla.
Allora... Ti dico come stavo ragionando io, Tu dimmi dove sto dicendo fesserie, ok ?
Le forze in gioco, che determinano il moto del corpo collegato alla molla, una volta che questo e' stato colpito per la "prima volta", sono la forza esercitata dal fluido sul sistema massa-molla e la forza elastica della molla cui il corpo e' direttamente attaccato.
Queste forze dovrebbero sommarsi.
Per la seconda legge di Newton si dovrebbe avere $F_{1} + F_{2} = M*a$, con $M$ "massa totale" (Fluido + corpo).
Posto che $F_{1}$ sia la forza elastica (Di verso opposto rispetto allo spostamento) ed $F_{2}$ quella esercitata dal fluido , abbiamo che $F_{2}$, determinabile come variazione della quantità di moto, è data dalla differenza della qm, appunto, tra il momento in cui avviene l'impatto (Poniamo x = 0, molla a riposo e $v$ velocità determinata dall'urto anelastico) e quello "corrente" in cui la compressione della molla vale $x$ (Per ottenere tale differenza si sottrae, quindi, alla velocità "iniziale" quella "corrente", determinata come derivata della posizione).
Sapendo che all'equilibrio la velocità corrente deve essere nulla avremo
$M\dot dot x = −kx + \dot m * (v − 0)$
che ci riporta proprio alla "situazione" di cui avevamo discusso in precedenza.
Mentre $M$ rappresenta la massa "totale" \dot m rappresenta la sola portata massica del fluido.
Le forze in gioco, che determinano il moto del corpo collegato alla molla, una volta che questo e' stato colpito per la "prima volta", sono la forza esercitata dal fluido sul sistema massa-molla e la forza elastica della molla cui il corpo e' direttamente attaccato.
Queste forze dovrebbero sommarsi.
Per la seconda legge di Newton si dovrebbe avere $F_{1} + F_{2} = M*a$, con $M$ "massa totale" (Fluido + corpo).
Posto che $F_{1}$ sia la forza elastica (Di verso opposto rispetto allo spostamento) ed $F_{2}$ quella esercitata dal fluido , abbiamo che $F_{2}$, determinabile come variazione della quantità di moto, è data dalla differenza della qm, appunto, tra il momento in cui avviene l'impatto (Poniamo x = 0, molla a riposo e $v$ velocità determinata dall'urto anelastico) e quello "corrente" in cui la compressione della molla vale $x$ (Per ottenere tale differenza si sottrae, quindi, alla velocità "iniziale" quella "corrente", determinata come derivata della posizione).
Sapendo che all'equilibrio la velocità corrente deve essere nulla avremo
$M\dot dot x = −kx + \dot m * (v − 0)$
che ci riporta proprio alla "situazione" di cui avevamo discusso in precedenza.
Mentre $M$ rappresenta la massa "totale" \dot m rappresenta la sola portata massica del fluido.
"MenoInfinito":
Allora... [....]
Le forze in gioco, che determinano il moto del corpo collegato alla molla, una volta che questo e' stato colpito per la "prima volta", sono la forza esercitata dal fluido sul sistema massa-molla e la forza elastica della molla cui il corpo e' direttamente attaccato.
Queste forze dovrebbero sommarsi.
Fin qui tutto ok.
"MenoInfinito":
Per la seconda legge di Newton si dovrebbe avere $ F_{1} + F_{2} = M*a $, con $ M $ "massa totale" (Fluido + corpo).
Perché massa totale? La forza è esercitata dal fluido e dalla molla solo sul corpo attaccato alla molla.
Stiamo considerando che il fluido impatta il corpo attaccato alla molla e acquisisce istantaneamente velocità orizzontale pari a quella istantanea del corpo, allontanandosi poi dal corpo lungo le sue pareti verticali (mi pare fossero queste le condizioni che hai posto all'inizio). Se vuoi proprio considerare la massa di fluido che resta attaccata al corpo dovresti scrivere tale massa come funzione del tempo, visto che all'inizio è nulla, e/o supporre arbitrariamente una massa di fluido massima che rimane sempre attaccata al corpo (una frazione che potremmo ben trascurare credo in una prima ottica).
"MenoInfinito":
Posto che $ F_{1} $ sia la forza elastica (Di verso opposto rispetto allo spostamento) ed $ F_{2} $ quella esercitata dal fluido , abbiamo che $ F_{2} $, determinabile come variazione della quantità di moto, è data dalla differenza della qm, appunto, tra il momento in cui avviene l'impatto (Poniamo x = 0, molla a riposo e $ v $ velocità determinata dall'urto anelastico) e quello "corrente" in cui la compressione della molla vale $ x $ (Per ottenere tale differenza si sottrae, quindi, alla velocità "iniziale" quella "corrente", determinata come derivata della posizione).
Sapendo che all'equilibrio la velocità corrente deve essere nulla avremo
$ M\dot dot x = −kx + \dot m * (v − 0) $
che ci riporta proprio alla "situazione" di cui avevamo discusso in precedenza.
Mentre $ M $ rappresenta la massa "totale" \dot m rappresenta la sola portata massica del fluido.
Qui non ho capito nulla.
Puoi rileggerti il mio precedente messaggio e dirmi se hai capito e se no cosa non ti è chiaro?
"Faussone":
Perché massa totale? La forza è esercitata dal fluido e dalla molla solo sul corpo attaccato alla molla.
Stiamo considerando che il fluido impatta il corpo attaccato alla molla e acquisisce istantaneamente velocità orizzontale pari a quella istantanea del corpo, allontanandosi poi dal corpo lungo le sue pareti verticali (mi pare fossero queste le condizioni che hai posto all'inizio). Se vuoi proprio considerare la massa di fluido che resta attaccata al corpo dovresti scrivere tale massa come funzione del tempo, visto che all'inizio è nulla, e/o supporre arbitrariamente una massa di fluido massima che rimane sempre attaccata al corpo (una frazione che potremmo ben trascurare credo in una prima ottica).
Credo che effettivamente con l'ipotesi iniziale che il fluido che impatta "scorre" via direi che sia possibile prendere in considerazione la sola massa del corpo attaccato alla molla.
Per cui, secondo questa "configurazione" l'equazione di moto dovrebbe risultare la seguente:
\(\displaystyle \dot m*(v-\dot x) - kx = ma\) dove $\dotm$ è la portata in massa del fluido, $m$ è la massa del corpo collegato alla molla ed $x$ la posizione "corrente" del corpo.
A questo punto l'accelerazione risultante, $a$, dovrebbe essere effettivamente identificata come derivata seconda della posizione corrente (Ovvero corrisponde a $\dot dot x$) e quindi quella che si ottiene è un'equazione differenziale di 2 ° grado non omogenea.
In merito all'altra "considerazione" per la quale sono stato piuttosto confuso intendevo capire come poter tornare alla situazione di equilibrio di cui ci eravamo interessati inizialmente.
In tal caso, in effetti, la velocità e l'accelerazione della massa collegata al corpo sono entrambe nulle.
Perciò i soli fattori rimanenti, che si devono uguagliare, sono proprio $\dot mv$ e $kx$.
Volevo sapere se questo, complessivamente, può essere un "modello" plausibile del sistema considerato.
"MenoInfinito":
[....]
A questo punto l'accelerazione risultante, $ a $, dovrebbe essere effettivamente identificata come derivata seconda della posizione corrente (Ovvero corrisponde a $ \dot dot x $) e quindi quella che si ottiene è un'equazione differenziale di 2 ° grado non omogenea.
Ok.
"MenoInfinito":
In merito all'altra "considerazione" per la quale sono stato piuttosto confuso intendevo capire come poter tornare alla situazione di equilibrio di cui ci eravamo interessati inizialmente.
In tal caso, in effetti, la velocità e l'accelerazione della massa collegata al corpo sono entrambe nulle.
Perciò i soli fattori rimanenti, che si devono uguagliare, sono proprio $ \dot mv $ e $ kx $.
Ok.
"MenoInfinito":
Volevo sapere se questo, complessivamente, può essere un "modello" plausibile del sistema considerato.
Le ipotesi possono essere ragionevoli o meno a secondo di ciò che dobbiamo modellare e della precisione richiesta.
Mi pare in prima approssimazione sia una modellazione plausibile.
L'assunzione più forte che è stata fatta è quella di supporre che il fluido si comporti da fluido perfetto e che impattando il corpo ne acquisisca istantaneamente la velocità orizzontale. A secondo dei casi il fluido potrebbe rimbalzare sul corpo, rendendo non vera tale assunzione.
In quel caso le cose si complicano notevolmente e non è possibile un calcolo semplice (almeno di altre assunzioni e considerando inoltre l'altra situazione estrema in cui l'energia si conserva).
Bene.
L'assunzione piuttosto grossolana cui facevi riferimento è in realtà la sola sulla quale sono sicuro poter fare affidamento visto che è chiaramente indicata come "dato" da prendere come se fosse reale (Requisito di "progetto").
Ora vedo come poter "studiare" il modello così delineato... sperando che poi tu possa darmi una mano.
Intanto molte grazie per avermi aiutato e delucidato più e più volte.
L'assunzione piuttosto grossolana cui facevi riferimento è in realtà la sola sulla quale sono sicuro poter fare affidamento visto che è chiaramente indicata come "dato" da prendere come se fosse reale (Requisito di "progetto").
Ora vedo come poter "studiare" il modello così delineato... sperando che poi tu possa darmi una mano.
Intanto molte grazie per avermi aiutato e delucidato più e più volte.
Torno un momento sulla questione per sapere una cosa circa la modalità di risoluzione e studio del sistema.
Per lo spazio delle soluzioni si può procedere sia mediante lo studio "diretto" dell'equazione (Sol. dell'omogenea associata, sol. particolare, etc.) oppure è maggiormente indicato procedere con lo "studio" del sistema a due equazioni e ue incognite associato all'equazione ?
Per lo spazio delle soluzioni si può procedere sia mediante lo studio "diretto" dell'equazione (Sol. dell'omogenea associata, sol. particolare, etc.) oppure è maggiormente indicato procedere con lo "studio" del sistema a due equazioni e ue incognite associato all'equazione ?
L'equazione da risolvere è perfettamente equivalente a quella di una massa vincolata ad una molla in presenza di attrito proporzionale alla velocità (insomma la classica equazione tipo $m ddot z + b dot z + k z =0$).
Per cui valgono le stesse considerazioni che si fanno per quel tipo di moto: si possono avere oscillazioni smorzate o il sistema potrebbe non oscillare e muoversi verso il punto di equilibrio, a secondo (nel problema del getto) del rapporto tra la massa del piatto, la velocità del getto, la sua portata e la costante elastica della molla.
Per renderti conto di ciò basta porre nella equazione differenziale $x=z+\frac{m dot v}{k}$ con $b=dot m $.
Per cui valgono le stesse considerazioni che si fanno per quel tipo di moto: si possono avere oscillazioni smorzate o il sistema potrebbe non oscillare e muoversi verso il punto di equilibrio, a secondo (nel problema del getto) del rapporto tra la massa del piatto, la velocità del getto, la sua portata e la costante elastica della molla.
Per renderti conto di ciò basta porre nella equazione differenziale $x=z+\frac{m dot v}{k}$ con $b=dot m $.
Quindi valgono le "stesse" coonsiderazioni che si fanno nel caso di oscillatore armonico smorzato, senza bisogno di passare al sistema lineare (del prim'ordine) associato ?
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