Studio della Funzione

[Bemipefe]

Salve!

Tra gli esrcizi degli esami passati ho trovato questo:

$f(x) = (log(x) -1) / (log(x) -1)$

E mi dice di studiare il grafico. Di trovare i punti di flesso, concavità convessità......

... e oi mi dice se la funzione esiste in x =0.

Io dico di no perche la base e l'argomento dell'algoritmo sono sempre > 0.

Quello che vi chiedo è......................potreste svogere questo esercizio?

....lo so lo so, non vi sto scambiando per calcolatori umani, ma semplicemente non ho mai fatto l'esame di Calcolo e quindi vorrei sapere come affrontare un esercizio del genere. In particolare non sò fino a che punto devo calcolarmi la funzione per accontentare il prof.....


Grazie anticipatamente!

[Bemipefe]

Scusa la mia ignoranza.......

.... ma funzione continua in $x$ = funzione definita in $x$.

Quindi se tu stesso hai detto che per $x=0$ c'è $ f(x) = 1$ allora la funzione non fà salti. La funzione è continua e definita in x = 0.

Perchè poi proprio il limite sinistro e non quello destro ?

Se fai la derivata opererai:

$(f(x+h) - f(x) )/ (x+h)-x $ con $h->0$

Quindi andrò a calcolare un valore di $f(x) $ con $>= 0$ visto che $x = 0$ ed anche $h$ tende a tale valore

Non capisco che cosa mi importi che che cosa faccia la funzione tra -1 ....boh non ci arrivo proprio

[Bemipefe]

Scusa la mia ignoranza.......

.... ma funzione continua in x = funzione definita in x.

Quindi se tu stesso hai detto che per x=0 c'è f(x)=1 allora la funzione non fà salti. La funzione è continua e definita in x = 0.

Perchè poi proprio il limite sinistro e non quello destro ?

Se fai la derivata opererai:

(f(x+h)-f(x))/ ((x+h)-x) con h→0

Quindi andrò a calcolare un valore di f(x) con x≥0 visto che x=0 ed anche h tende a tale valore

Non capisco che cosa mi importi che che cosa faccia la funzione tra -1 ....boh non ci arrivo proprio

[Camillo]

La funzione è così definita (esercizio 3 ):

$ f(x ) = 1+log(1-x-3x^2) ; x >=0$
$ = 2x^2+(a+3b-2)x-(2a-b-1) ; x < 0 $.

Funzione continua in $ x_0 $ vuol dire :
$lim_(x rarr x_0 ) f(x) = f( x_0 ) $ che è diverso da quello che dici tu : non basta che la funzione sia definita in $ x_0 $ , bisogna anche che il valore che assume in $ x_0$ sia uguale al limite che la funzione ha per $ x rarr x_0 $ ; quindi deve anche essere ( per essere continua ) : limite destro = limite sinistro = valore della funzione in $ x_0$ .
Poichè in $ x= 0 $ la funzione è definita e vale 1 ( basta sostituire nella prima espressione della f(x ) il valore 0 ) e anche chiaramente il $lim_(x rarr 0^+) = 1 $ , bisogna veder cosa vale il limite per $x rarr 0 ^-$[ e qui l'espressione da considerare è diversa : $ 2x^2+(a+3b-2)x-(2a-b-1) $ e il limite chiaramente vale : $ -2a+b+1$ e questo , per la continuità della funzione deve essere uguale a 1 ; quindi :

$ -2a+b+1 = 1 $ da cui :
$ b = 2a $
solo in questo caso la funzione è continua in $ x= 0 $ .

Camillo

[Bemipefe]

Finalmente ho capito GRAZIE!

Tuttavia sono ancora un pò dubbioso sull'uso del li ite destro e sinistro. Non nel senso del perchè vengano usati ma del come venganousati.
In altre parole, non ricordo con precisione come calcolare il limite non unilaterale.

Se ad esempio $x->0^-$ il valore a cui tende $x$ è un valore $v<0$.
Ma nel calcolo effettivo del limite......quanto lo devo far valere $v = x->0^-$ ?

Tu l'hai fatto valere 0 in quanto .
Ma l'hai forse considerato come -0,00..1 ?

Se in futuro avrò ad esempio

$lim x-> 0^-$ della funzione $f(x)= (x*1)$

$l = -0,0...01$ o devo considerare $l = 0$ ???

[cavallipurosangue]

Lo puoi considerare 0, quando così facendo non hai problemi di cambio di segno; o meglio se limite destro e sinistro hanno lo stesso segno.
Facciamo un esempio:
$\lim_{x\to0^+}1/x=+\infty$
$\lim_{x\to0^-}1/x=-\infty$

Mentre per esempio:
$\lim_{x\to0^+}1/{x+1}=1$
$\lim_{x\to0^-}1/{x+1}=1$

Infatti il denominatore cambia di segno in un intorno di $-1$ mentre in un intorno di 0 tutto è tranquillo.

[Bemipefe]

Quindi a livello di esercizio è il segno del limite parziale che fà la differenza.

Ok Grazie!

[Bemipefe]

Insieme di definizione $!=$ Insieme di Derivabilità ?

[_Tipper]

L'insieme di definizione è il dominio della funzione, cioè dove la funzione è definita, l'insieme di derivabilità è dove la funzione è derivabile.
Ad esempio se consideri la funzione y=|x| l'insieme di definizione è R mentre l'insieme di derivabilità è R - {0}

[Nidhogg]

"Bemipefe":Insieme di definizione $!=$ Insieme di Derivabilità ?

Certo che sono diversi.

[Bemipefe]

Perchè y= |x| non è derivabile in 0?

[carlo232]

"Bemipefe":Perchè y= |x| non è derivabile in 0?

Perchè in quel punto la funzione ha un punto angoloso, quindi la derivata non è definita.

Ciao!

[_Tipper]

Il limite del rapporto incrementale a sx di zero è -1, a dx di zero è +1, i valori sono diversi quindi la derivata in zero non esiste.

[Bemipefe]

Immaginate che all'esame di Calcolo Differenziale (Analisi I) vi chiedano di trovare l'inzieme di definizione della funzione citata......

voi fareste come ho fatto io?



dove è che sbaglio ?

[Giusepperoma2]

hai fatto un errore:

k(x) <0 per -1
ma poi, mi sembra che l'hai fatta troppo lunga...

basta dire che il primo radicale esiste sempre (somma di quadrati!)

il secondo invece esiste per x<-1 e x>1, questo, dunque, sara' il dominio.... no?

[cavallipurosangue]

Ha ragione Giuseppe, mai vista tanta roba per fare un dominio di una funzione così semplice.

[Bemipefe]

hai fatto un errore:

k(x) <0 per -1

...hai ragione ..... non mi sono ricordato di cambiare il verso della disequazione quando ho fatto -x<1 .
Infatti tra parentesi ho scrittox<-1 invece è x>-1 visto che si cambia verso col cambiare del segno.

Grazie della pazienza.......

Lo so lo so.......forse ho esagerato.
Ma voi come avete fatto all'esame si Calcolo ? Non avete scritto un bel pappiè?

[Giusepperoma2]

sinceramente non so cosa sia l'esame di calcolo...

ai miei tempi non esisteva nessun esame con questo nome...

cosa sarebbe? una sorta di primo modulo di analisi1? a che facolta'?

cmq io sul compito di analisi 1 scrivevo solo il dominio e i due conticini fatti per determinarlo..

[Giusepperoma2]

mi sono accorto solo ora che gia' hai detto di fare informatica... scusa!



comq Badii, ai miei tempi, era l'assistente di Analisi1 a Matematica...

[Bemipefe]

Badii ?

Lo conosci? Io l'ho visto una volta sola...... il giorno che sono andato a dare calcolo 1 (differenziale) ........ e non lo passato

....si lo so non c'è da ridere.


Speriamo di passarlo il 19 ......sono un anno che gli stò dietro tra prese e lasciate.
Lo devo passare!!!

Che uni fai tu?

[Bemipefe]

Che uni fai tu?