Serie: sum 1/((x_n+1)x_n), x_n = min{x \in Z^+: n | x(x+1)}

[Sk_Anonymous]

Siccome i miei problemi di TdN sembrano non piacervi molto, proviamo con qualcosa di diverso (forse!)...

"Posto $x_n := min\{x \in \mathbb{Z}^+: n | x(x+1)\}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$, stabilire se la serie numerica reale $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(x_n + 1)x_n}$ è convergente o divergente."

N.B.: prima che qualcuno lo chieda, preciso che il simbolo "|" si legge "divide", ok?!

EDIT: ora capisco perché io e carlo23 non ci si riusciva proprio a intendere (vedi oltre!)... Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa.

[carlo232]

Dal titolo leggo x_n = min{x \in Z^+: n ma allora $x_n=0$.

Mi sembra troppo facile, ho frainteso immagino...

Ciao!

[Sk_Anonymous]

"carlo23":Dal titolo leggo x_n = min{x \in Z^+: n | x}, ma allora $x_n=0$. Mi sembra troppo facile [...]

Più che facile, sarebbe un problema mal posto! Conosci la storia della divisione per zero, no? E comunque... da quand'è che $\mathbb{Z}^+$ include lo zero?!

[carlo232]

"HiTLeuLeR":[quote="carlo23"]Dal titolo leggo x_n = min{x \in Z^+: n | x}, ma allora $x_n=0$. Mi sembra troppo facile [...]

Più che facile, sarebbe un problema mal posto! Conosci la storia della divisione per zero, no? E comunque... da quand'è che $\mathbb{Z}^+$ include lo zero?! [/quote]

Ha già, niente zero in $Z^+$. Beh, allora rimarebbe $x_n=n$, o no?

Ciao!

[Sk_Anonymous]

"carlo23":Ha già, niente zero in $Z^+$. Beh, allora rimarebbe $x_n=n$, o no?

Appunto, NO! Ad es., $x_2 = 1$...

[carlo232]

"HiTLeuLeR":[quote="carlo23"]Ha già, niente zero in $Z^+$. Beh, allora rimarebbe $x_n=n$, o no?

Appunto, NO! Ad es., $x_2 = 1$...[/quote]

Come, 1 è il minor numero $x$ in $Z^+$ tale che $2|x$. Continuo a non capire....

[Sk_Anonymous]

Debbo essere ubriaco... Non mi sono reso conto di aver scritto ben altro da quel che intendevo! Correggo subito, prova a rileggere adesso la consegna del problema.

[carlo232]

"HiTLeuLeR":Debbo essere ubriaco... Non mi sono reso conto di aver scritto ben altro da quel che intendevo! Correggo subito, prova a rileggere adesso la consegna del problema.

Eh, mi sembrava strano

[Sk_Anonymous]

"carlo23":Dove ho sbagliato?

Siccome sembri fremere dalla voglia di saperlo, beh... ti accontento subito!

"carlo23":Consideriamo gli $n$ tali che $n=p^a$ per qualche numero primo $p$. Si ha che $x_n=p^a$ da cui sommmando su $a$

Questo è un primo errore, ancorché veniale! Se infatti $n > 1$ è potenza di un numero primo, allora $x_n = n - 1$, che è di poco diverso (ma pur sempre diverso!) dal dire che $x_n = n$.

"carlo23":$sum(a=1)^infty 1/(p^(2a)+p^a) > sum(a=1)^infty 1/(p^a) - 1/(p^(a-1))$ $
=(p-1)sum(a=1)^infty 1/(p^a)$

Comunque ci hai provato: a ultimo membro non è $p-1$, bensì $1-p$, se fai caso un attimo ai segni...

EDIT: uh, si direbbe proprio che tu abbia cancellato il tuo ultimo post! Poco male, ti ho beccato lo stesso...

[carlo232]

"HiTLeuLeR":EDIT: uh, si direbbe proprio che tu abbia cancellato il tuo ultimo post! Poco male, ti ho beccato lo stesso...

eh già, pensavo non fosse ancora stato letto, e invece...

[carlo232]

Vabbeh, ci riprovo, come hai detto te per $n=p^a$ potenza di numero primo si ha $x_n=p^a-1$ se $a !=0 $ altrimenti $x_n=1$, prendiamo ora la somma

$sum_(a=0)^infty 1/(x_n(x_n+1))=1/2+sum_(a=1)^infty 1/(p^(2a)-p^a)>1/2+sum_(a=1)^infty 1/(p^(2a))=-1/2+1/(1-p^-2)>1/5$ per $p>2$

segue di nuovo che essendo infiniti i numeri primi la serie di HiTLeuLeR diverge.

Speriamo in bene...

[Sk_Anonymous]

"carlo23":[...] prendiamo la somma $sum_(a=0)^infty 1/(x_n(x_n+1))=1/2+sum_(a=1)^infty 1/(p^(2a)-p^a)>1/2+sum_(a=1)^infty 1/(p^(2a))=-1/2+1/(1-p^-2)>1/5$ per $p>2$

Mi spiace, continua a non andare bene, per il semplice fatto che, così procedendo, finisci per sommare infinite volte il termine relativo ad $n = 1$. In pratica, la tua idea si direbbe (più o meno) questa qui:

"se $\mathfrak{P}$ è l'insieme di tutti e soli i numeri primi di $\mathbb{N}$, allora $\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{x_n(x_n + 1) \ge \sum_{p \in \mathfrak{P}} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{x_{p^k}(x_{p^k}+1)}$ $= \sum_{p \in \mathfrak{P}} (p^2/(p^2-1) - 1/2)$, il che è SBAGLIATO! Casomai $\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{x_n(x_n + 1) \ge 1/2 + \sum_{p \in \mathfrak{P}} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{x_{p^k}(x_{p^k}+1)}$ $ = 1/2 + \sum_{p \in \mathfrak{P}} \frac{1}{p^2-1}$. Ti ritrovi, no? Peccato che da qui si possa però concludere ben poco...

"carlo23":Speriamo in bene...

Qualcuno ha detto che a viver di speranze si muore disperati... Ma d'altro canto la speranza è pur sempre una fra le teologali, seconda (questo credo!) soltanto alla pazienza. Perciò...

[Sk_Anonymous]

HiTLeuLer questo tuo problema mi pare una colossale cavolata ma sicuramente mi sfugge qualcosa:
$x_n=n$ se n è scomponibile in k(k+1) EDIT: (n o k non c'è differenza)
$x_n=n-1$ in caso contrario
da cui si deduce che la serie converge in ogni caso.

che cosa sbaglio? è forse scritto male il testo?

[Sk_Anonymous]

mio commento(chiedo anche il parere di HiTLeuLeR):

cacchio come dei cambiamenti di riferimento possono far apparire difficilissimo un problema...è un bel problema che però sinceramente mi fa un pò paura

[Sk_Anonymous]

Infatti ci manca ancora un pezzo, nonostante abbia già modificato più volte il post di apertura, sigh...

[Sk_Anonymous]

"HiTLeuLeR":Siccome i miei problemi di TdN sembrano non piacervi molto, proviamo con qualcosa di diverso (forse!)...

"Posto $x_n := min\{x \in \mathbb{Z}^+: n | x(x+1)\}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$, stabilire se la serie numerica reale $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(x_n + 1)x_n}$ è convergente o divergente."

N.B.: prima che qualcuno lo chieda, preciso che il simbolo "|" si legge "divide", ok?!

EDIT: ora capisco perché io e carlo23 non ci si riusciva proprio a intendere (vedi oltre!)... Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa.

non è cambiato un bel niente, temo che tu ci stia prendendo per i fondelli...

[ottusangolo]

Ciao!
Comincio a temerlo anch'io.
Non è che alla fine, HiT, mi farai concordare con Gaussz?
Per come ho capito il testo (probabilmente male) i termini a(n) della serie dovrebbero essere
a(1)=1/1*2
a(2)=1/1*2
a(3)=1/2*3
a(4)=1/3*4
a(5)=1/4*5
a(6)=1/2*3
a(7)=1/6*7
a(8)=1/7*8
a(9)=1/8*9
a(10)=1/4*5
.......
Ma se così fosse sembrerebbe convergere un po' troppo facilmente
( 3/2 per i tuoi gusti.
Qualcuno potrebbe essere così gentile da esplicitarmi qualche termine nella speranza
di capire di quale serie si discute?
Grazie

P.S corretto 1 in L

[Sk_Anonymous]

"gaussz": non è cambiato un bel niente, temo che tu ci stia prendendo per i fondelli...

Invece ti sbagli: prima ci mancava un "min"...

[Sk_Anonymous]

"ottusangolo":Ciao!
Per come ho capito il testo (probabilmente male) i termini a(n) della serie dovrebbero essere
a(1)=1/1*2
a(2)=1/1*2
a(3)=1/2*3
a(4)=1/3*4
a(5)=1/4*5
a(6)=1/2*3
a(7)=1/6*7
a(8)=1/7*8
a(9)=1/8*9
a(10)=1/4*5

Tranquillo, il testo l'hai capito benissimo! Solo che, a questo punto...

"ottusangolo":Ma se così fosse convergerebbe un po' troppo facilmente ( 3/2 per i tuoi gusti.

...come dimostri la disuguaglianza qui sopra?! La disuguaglianza di destra, intendo, l'altra serve a ben poco.

[Sk_Anonymous]

bè hitl il min prima l'avevo letto dal titolo del post, anche perchè senza min il testo non avrebbe avuto senso
però scusa ma posso spezzare la serie come somma di due serie. $a_k=k(k+1)$ è la successione dei numeri scomponibili in k(k+1), quindi la tua serie diventa scomponibile in $a_j=j$ (poichè k

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[Sk_Anonymous]

"gaussz":[...] bè hitl il min prima l'avevo letto dal titolo del post [...]

...bene, ma ti ripeto che nel testo del problema avevo scordato di mettercelo! Quindi...

"gaussz":[...] posso spezzare la serie come somma di due serie. $a_k=k(k+1)$ è la successione dei numeri scomponibili in k(k+1), quindi la tua serie diventa scomponibile in $a_j=j$ (poichè k Innanzitutto la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x_n(x_n+1)}$ è solo lontanamente imparentata con l'altra a cui tu e ottusangolo vi ostinate riferirvi - intendo la serie di Mengoli, e.g. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$. In secondo luogo non ho capito una mazza di quel che hai scritto.