Serie: sum 1/((x_n+1)x_n), x_n = min{x \in Z^+: n | x(x+1)}

[Sk_Anonymous]

Siccome i miei problemi di TdN sembrano non piacervi molto, proviamo con qualcosa di diverso (forse!)...

"Posto $x_n := min\{x \in \mathbb{Z}^+: n | x(x+1)\}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$, stabilire se la serie numerica reale $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(x_n + 1)x_n}$ è convergente o divergente."

N.B.: prima che qualcuno lo chieda, preciso che il simbolo "|" si legge "divide", ok?!

EDIT: ora capisco perché io e carlo23 non ci si riusciva proprio a intendere (vedi oltre!)... Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa.

[Sk_Anonymous]

ho cambiato è vero quello che ho scritto?

[Sk_Anonymous]

"gaussz":[...] però scusa ma posso spezzare la serie come somma di due serie. $a_k=k(k+1)$ è la successione dei numeri scomponibili in k(k+1), quindi la tua serie diventa scomponibile in $a_j=j$ (poichè k Si dice che, di norma, il disordine notazionale è riflesso del disordine mentale. Che ne pensi, sarà vero?!

"gaussz":[...] che equivale a dire che $sum_{n=1}^infty\1/((x_n+1)*x_n)<=sum_{n=1}^infty\1/((j+1)*j)+sum_{n=1}^infty\1/((j-1)j)$

i) L'indice di sommazione è "n" e nell'espressione del termine generale della serie a secondo membro fa la sua comparsa dal cilindro un'inattesa imprevedibile "j"; ii) $j(j-1) = 0$, se $j = 1$, per cui gli estremi di sommazione andrebbero un attimo rivisti. Ma a parte questo... Mi spiegheresti come ti riesce di stabilire la maggiorazione indicata?!? Non vorrai mica farmi credere che, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$: $x_n(x_n+1) \ge n(n-1)/2$, o qualcosa del genere, vero?!

[Sk_Anonymous]

"HiTLeuLeR": Si dice che, di norma, il disordine notazionale è riflesso del disordine mentale. Che ne pensi, sarà vero?!
Non vorrai mica farmi credere che, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$: $x_n(x_n+1) \ge n(n-1)/2$, o qualcosa del genere, vero?!

si, è vero visto che sto intavolando un'altra discussione su un altro forum e mi si confondono le idee quando faccio due cose contemporaneamente. comunque tu non rispondi alla mia domanda il che indica un alto grado di disordine anche da parte tua. comunque te lo ripeto: è vero quello che ho scritto?

[Sk_Anonymous]

"gaussz":comunque te lo ripeto: è vero quello che ho scritto?

Se ritieni che sia vero, perché non lo dimostri?!

[Sk_Anonymous]

perchè è banale!:

$x_n=k=x_j$ se $n=k(k+1)$ con k={1,2,3,...}

$x_n=n-1=x_r$ se n non è scomponibile in k(k+1)

da cui deduco che se
${x_j}={1,2,3,...}in\ mathbb{N}$ i.e. $\sum_{j=1}^infty\1/(x_j*(x_j+1))=sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$
${x_r}={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,...}$ $in$ $mathbb{N}$ i.e. $\sum_{r=1}^infty\1/(x_r*(x_r+1))<=sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$

va bene adesso?

edit ore 2:00 : cacchio che confusione non mi riconosco: comunque HiTL ammettilo! per favore! l'idea c'è! la tua serie è minore della mia farneticazione che converge!

ps: 1)se ho detto un'altra ca***ta è per la birra
2)lasciate perdere HiTLeuLeR esagera ma è un mostro di cultura da cui trarre esempio
3)non mi piace fare il contabile
ciao!

[Sk_Anonymous]

"gaussz":perchè è banale!: $x_n=k=x_j$ se $n=k(k+1)$ con k={1,2,3,...}

$x_n = n-1 = x_r$ se n non è scomponibile in k(k+1)

...ma te le sogni la notte o cosa?! Dunque come spieghi che $x_{10} = 4$, ma $10 \ne 4 \cdot 5$, o che $x_{1000} = 375$? La matematica procede un po' come un'indagine di polizia ben impostata: a sostegno di OGNI tesi si esibiscono le prove. Se mai riuscirai a comprenderlo, gaussz, forse ancora mi degnerò in futuro di prenderti sul serio. Fino ad allora non ti meravigliare se glisserò con eleganza sulle tue farneticazioni...

[Giusepperoma2]

"HiTLeuLeR":...Fino ad allora non ti meravigliare se glisserò con eleganza sulle tue farneticazioni...

con eleganza?

forse mi sono perso qualche post, ma di eleganza non ne ho mai vista da parte tua se non, forse, in alcune dimostrazioni...

[Sk_Anonymous]

"Giusepperoma":con eleganza? forse mi sono perso qualche post, ma di eleganza non ne ho mai vista da parte tua se non, forse, in alcune dimostrazioni...

Mon Dieu, il mio stile letterario non è forse di tuo gusto, Giusepperoma? Posso capire che non ti piaccia il mio modo di fare matematica - d'altro canto è fatto certo che matematico non sono! - però non posso tollerare che qualcuno abbia a che ridire a proporco della mia scrittura...

[Giusepperoma2]

non sono tanto superficiale da riferirmi al tuo "stile letterario", ma al tuo modo di rivolgerti alle persone... lo trovo poco (ma molto molto poco) elegante, tutto qui!

Anzi, se permetti, trovo che molti dei tuoi post siano offensivi, cosi' come anche il "nome" che ti sei scelto.

Ovviamente non credo che questo mio parere ti possa inteeressare piu' di tanto, ma d'altra parte questo non interessa me piu' di tanto...

Sai, e' normale che se uno si sente superiore agli altri li tratti male, e' piuttosto raro, invece, che persone realmente al disopra della media si sentano superiori a qualcuno...

medita... se ti va se no, come dicono a Roma, chissene

[Sk_Anonymous]

"Giusepperoma":Sai, e' normale che se uno si sente superiore agli altri li tratti male, e' piuttosto raro, invece, che persone realmente al disopra della media si sentano superiori a qualcuno...

...è il solito concetto per cui alla gente piace piuttosto sentirsi presa per il culo (si può dire, no?!) che non ricevere una critica mirata unicamente a correggerne gli errori. Tanto più se la presa per il culo si accompagna a frasi di educata circostanza, affettato manierismo, succulenti salamelecchi e qualche generoso sorriso a denti stretti con cui suggellare il tutto col marchio della mediocrità. Questo detto, invito tutti - me compreso! - a rimettersi sul problema: ogni altra considerazione a latere è sostanzialmente fine a se stessa, mi pare...

[Giusepperoma2]

allora dovresti interprtetare il mio post in quest'ottica:

io ho evitato di "prenderti per il culo" e ti ho fatto una critica mirata unicamente a correggere un tuo errore

la verita' e' che non mi interessa correggere i tuoi errori... mi interessa che nessuno venga offeso (cosa che fai regolarmente). detto questo rituffati pure nel tuo problema, stai solo attento a non offendere nessuno, tutto qui

[ficus2002]

secondo me bisogna usare il fatto che $pi(n) approx n/{log n}$

[Sk_Anonymous]

"ficus2002":secondo me bisogna usare il fatto che $pi(n) approx n/{log n}$

...come?!

[ottusangolo]

La disuguaglianza di destra si ottiene analogamente a quella di sinistra aggiustando i termini che differiscono...e riordinando
precisamente:
Detta S(a(n)) la nostra serie
e
posto b(n)=a(n) se a(n)=1/(n+1)n

b(n)=L(n)/k^2 + 1/(n+1)n se a(n)=1/k(k+1) k
MA NON FUNZIONA,o almeno non lo ho dimostrato: sono stato troppo ingenuo e percipitoso . Riconosco
che il problema è molto, molto tosto e non avendo tempo per dedicarmici, spero che HiT
non ci lasci con questo terribile dilemma:diverge o no? E perche?(non so come ma ho
la sensazione che converga!mah!!
Un saluto a tutti
P.S. Specifico ora comunque quanto scritto perchè nella fretta sono stato impreciso e alquanto
criptico:
L(n) è il numero dei divisori di n(n+1) che non dividono n(n-1), (n-1)(n-2)...2*1, e la maggiorazione, in verità sovrabbondante, ma giusta, funziona, cioè serve allo scopo
se L(n) Cosa che mi sembrava intuitiva e non difficile da dimostrare e invece...senbra un lavoro
immane arrivare a una dim. rigorosa ammesso poi,che sia vero che converga Mah?

[ficus2002]

Io ho provato a ragionare così: considero la successione $y_k=k(k+1)$

$y_0=0, y_1=2, y_2=6, y_3=12, y_4=20, y_5=30, y_6=42...$

calcolando i divisori di $k(k+1)$ si determinano gli $n$ tali che $x_n=k$, per esempio:

$x_n=1$ per $n=1, 2$
$x_n=2$ per $n=3, 6$
$x_n=3$ per $n=4, 12$
$x_n=4$ per $n=5, 10, 20$
$x_n=5$ per $n=15, 30$
$x_n=6$ per $n=7, 14, 21, 42$

insomma anzichè dato $n$ calcolare $x_n$, si procede al contrario ossia dato $x_n$ si calcola $n$.

[Sk_Anonymous]

guardate su, tranquilli e buoni

[Sk_Anonymous]

"gaussz":$x_n=n-1=x_r$ se n non è scomponibile in k(k+1)

Questo è bellamente falso, lo vuoi capire?! Di conseguenza casca tutto quel che segue...

"gaussz": HiTL ammettilo! per favore! l'idea c'è! la tua serie è minore della mia farneticazione che converge!

Non saprei, in verità. Può darsi ch'esista pure una qualche dimostrazione basata su una maggiorazione mediante confronto con la serie di Mengoli, ma non è così che ho fatto mì!

[Sk_Anonymous]

"ficus2002":Io ho provato a ragionare così: calcolando i divisori di $k(k+1)$ si determinano gli $n$ tali che $x_n=k$ [...] insomma anzichè dato $n$ calcolare $x_n$, si procede al contrario ossia dato $x_n$ si calcola $n$.

Eccola qui l'IDEA!!! Adesso però bisogna svilupparla... Su, rimboccatevi le mani (asd)...

[Sk_Anonymous]

io faccio così:

$x_n=k=x_j$ se $n=k(k+1)$ con k={1,2,3,...}

$x_n=x_r$ se n non è scomponibile in k(k+1)

da cui deduco che se
${x_j}={1,2,3,...}in\ mathbb{N}$ i.e. $\sum_{j=1}^infty\1/(x_j*(x_j+1))=sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$
${x_r}={1,2,3,4,5-3,6,7,8,9-5,10,11-8,12,13-7,...}$ $in$ $mathbb{N}$ i.e. sia x=min{ n| x(x+1)} allora $(n)/d_m0$ i.e.dove $d_m$ è il massimo divisore di n diverso da n $\sum_{r=1}^infty\1/(x_r*(x_r+1))<=sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$
quindi $\sum_{n=1}^infty\1/(x_n*(x_n+1))=\sum_{r=1}^infty\1/(x_r*(x_r+1))+\sum_{j=1}^infty\1/(x_j*(x_j+1))<=2*sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$

il che basta (si richiede solo di calcolare la convergenza). certamente ci sono anche altre soluzioni + simpatiche.

ancora è completo forse dopo mi ci rimetto su, forse...

[Sk_Anonymous]

"gaussz":io faccio così:

$x_n=k=x_j$ se $n=k(k+1)$ con k={1,2,3,...}

$x_n=x_r$ se n non è scomponibile in k(k+1)

da cui deduco che se
${x_j}={1,2,3,...}in\ mathbb{N}$ i.e. $\sum_{j=1}^infty\1/(x_j*(x_j+1))=sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$
${x_r}={1,2,3,4,5-3,6,7,8,9-5,10,11-8,12,13-7,...}$ $in$ $mathbb{N}$ i.e. sia x=min{ n| x(x+1)} allora $x<=(n-1), x>0$ i.e. $\sum_{r=1}^infty\1/(x_r*(x_r+1))<=sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$
quindi $\sum_{n=1}^infty\1/(x_n*(x_n+1))=\sum_{r=1}^infty\1/(x_r*(x_r+1))+\sum_{j=1}^infty\1/(x_j*(x_j+1))<=2*sum_{n=1}^infty\1/(n*(n+1))$

il che basta (si richiede solo di calcolare la convergenza). certamente ci sono anche altre soluzioni + simpatiche.

Ok, provo a decifrare quel che scrivi, tu dimmi semplicemente se interpreto correttamente oppure no. Innanzitutto tu indichi con $x_j$ quegli $x_n$ per cui $n$ si scompone secondo un prodotto del tipo $k(k+1)$, dove $k > 0$ è un intero. Quindi poni $x_n = x_r$ in ogni altro caso, e osservi banalmente che $x_r \le n-1$, giusto?

Quindi scomponi la serie di partenza nella somma di due contributi: $\sum_{j=1}^infty \frac{1}{x_j*(x_j+1)}$ e $\sum_{r=1}^infty \frac{1}{x_r*(x_r+1)}$. Concludendo poi che il secondo, in particolare, è dominato dalla serie convergente $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)$. Senonché questo è falso, perché $x_r \le n-1 < n$ implica semmai che la sommatoria infinita $\sum_{r=1}^infty \frac{1}{x_r*(x_r+1)}$ è MINORATA dalla serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)$. Ricordi, no? Se $0 < a < b$, allora $1/a > 1/b$. Umpf... Come disse quel tale: "Ahiahiahi, signora Longari, lei mi è caduta proprio sul pisello!"