Serie: sum 1/((x_n+1)x_n), x_n = min{x \in Z^+: n | x(x+1)}

[Sk_Anonymous]

Siccome i miei problemi di TdN sembrano non piacervi molto, proviamo con qualcosa di diverso (forse!)...

"Posto $x_n := min\{x \in \mathbb{Z}^+: n | x(x+1)\}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$, stabilire se la serie numerica reale $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(x_n + 1)x_n}$ è convergente o divergente."

N.B.: prima che qualcuno lo chieda, preciso che il simbolo "|" si legge "divide", ok?!

EDIT: ora capisco perché io e carlo23 non ci si riusciva proprio a intendere (vedi oltre!)... Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa.

[Sk_Anonymous]

"gaussz":[...] provo a chiarire: se $n=k(k+1)/2$ (scomponibile in tale modo) allora poichè gli n sono tutti diversi allora anche i k sono tutti diversi e i k sono multipli di 2 inoltre $x_n=k$ quindi per d=2 prendo la successione $x_c=1/(2c(2c+1))+1/(2c(2c-1))$ che contiene sicuramente tutti i multipli di 2 indi tutti i k, (2c=x_n)
lo stesso ragionamento si fa per d=3,d=4,...fino all'infinito [...]

Bel modo di generalizzare: siccome $P(d)$ è una proprietà valida per $d = 2$, voilà... $P(d)$ è valida per ogni intero $d = 2, 3, ...$ Torno a ripeterti che la matematica si fonda su prove certe e inconfutabili, non su impressioni o scarne intuizioni.

"HiTLeuLeR":[...] E che mi dici di $n = 35$? Si trova che $x_{35} = 14$, eppure $14 \ne ak(ak+1)$, quali che siano $a, k \in \mathbb{Z}^+$.

Evidentemente non hai colto! Dunque, senti... Limitati semplicemente - te lo chiedo come cortesia! - a rispondermi "sì, è così" oppure "no, non è così": le chiacchiere lasciale a un'altra occasione! La tua idea - a questo punto pare chiara! - sarebbe quella di provare che ogni termine della sequenza $x_1, x_2, ...$ è presente nell'uno o nell'altro fra gli insiemi $\{ak(ak+1)\}_{a, k \in \mathbb{Z}^+}$ e $\{ak(ak-1)\}_{a, k \in \mathbb{Z}^+}$, ovvero che $X := \{x_n: n \in \mathbb{Z}^+\} \subseteq \{ak(ak\pm 1): a, k \in \mathbb{Z}^+\}\setminus\{0\} =: A$. Per dedurne quindi che $\sum_{x \in X} \frac{1}{x(x+1)} \le \sum_{u\in A}\frac{1}{u}$, e concludere che la serie del mio problema è convergente, poiché maggiorata da una serie convergente. Bene, il punto è che la relazione di inclusione sopra indicata:

"HiTLeuLeR":$\{x_n: n \in \mathbb{Z}^+\} \subseteq \{ak(ak\pm 1): a, k \in \mathbb{Z}^+\}\setminus\{0\}$

è FALSA! L'esempio del $35$ te lo DIMOSTRA - ed è naturalmente solo uno di infiniti altri. Lodevole tentativo, ti ripeto, però destinato a fallimento certo! A meno di non approfondire l'argomento di ficus2002 in ALTRI termini...

[Sk_Anonymous]

allora forse si può fare così:

per ogni $n in NN$ esistono e sono unici (k_min,d) tali che $n=k(k+1)/d$ per hp $n in NN$ then d|k or k+1 then per ogni d=a allora tutti gli n possibili sono diversi tra loro allora anche i k sono diversi tra loro poichè dato k ottengo un unico n ed è vero anche il contrario. e la proprietà è verificata (non ci vuole molto).

[Sk_Anonymous]

"gaussz":allora forse si può fare così: per ogni $n in NN$ esistono e sono unici (k_min,d) tali che $n=k(k+1)/d$ per hp $n in NN$ then d|k or k+1 [...]

FALSO! Può darsi benissimo che $d$ divida $k(k+1)$, senza tuttavia che $d$ divida né $k$ né $k+1$. Ripeto: l'esempio del $35$ è illuminante, ma a quanto pare laggiù la tenebra è troppo fitta...

[Sk_Anonymous]

"HiTLeuLeR":[quote="gaussz"]allora forse si può fare così: per ogni $n in NN$ esistono e sono unici (k_min,d) tali che $n=k(k+1)/d$ per hp $n in NN$ then d|k or k+1 [...]

FALSO! Può darsi benissimo che $d$ divida $k(k+1)$, senza tuttavia che $d$ divida né $k$ né $k+1$. Ripeto: l'esempio del $35$ è illuminante, ma a quanto pare laggiù la tenebra è troppo fitta... [/quote]

umpf...per quasi. però forse...al 35 ci avevo già pensato e l'avevo risolto...35=14*15/6...

[Sk_Anonymous]

"gaussz":[...] però forse...al 35 ci avevo già pensato e l'avevo risolto...35=14*15/6...

E' proprio il caso di dirlo: tu dai i numeri!!! Basta, mi sono scocciato: primo e unico caso nella storia, moi risolverà un problema proposto da lui medesmo! Garantisco che raramente accade... Almeno potrò smettere di darti filo.

[Sk_Anonymous]

io mica ti ho chiesto di darmi filo..sei tu che hai proposto il problema per poi comportarti in modo incivile sono io che mi sono scocciato a risolvere i tuoi stupidi problemi a tempo perso

[Sk_Anonymous]

"HiTLeuLeR":"Posto $x_n := min\{x \in \mathbb{Z}^+: n | x(x+1)\}$, per ogni $n \in \mathbb{Z}^+$, stabilire se la serie numerica reale $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(x_n + 1)x_n}$ è convergente o divergente."

Ingegneria inversa: fissato $k \in \mathbb{Z}^+$, ci chiediamo quanti siano al più gli interi positivi $n$ tali che $n$ divide $k(k+1)$. Se $v_k$ è codesto numero, banalmente $v_k \le \tau(k(k+1)) = \tau(k) \cdot \tau(k+1)$, ove $\tau(\cdot): \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ è la funzione (moltiplicativa) che ad ogni $k \in \mathbb{Z}^+$ fa corrispondere il numero dei suoi divisori interi positivi. Risulta pertanto $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(x_n+1)x_n} \le \sum_{k=1}^\infty \frac{\tau(k(k+1))}{k(k+1)} \le \sum_{k=1}^\infty \frac{\tau(k) \cdot \tau(k+1)}{k^2}$. Intendiamo provare che la serie a ultimo membro è convergente. A questo scopo, sarà sufficiente dimostrare che esiste una costante reale $c > 0$ tale che, per ogni $k \in \mathbb{Z}^+$: $\tau(k) \le c k^{1/3}$. Senonché, questo posso lasciarlo anche a voi come esercizio! Ah, mi raccomando, gaussz: almeno questa volta... cerca di imbastire discorsi logicamente consistenti, su! La discussione continua qui, FINE.