Serie

[Sk_Anonymous]

Determinare il raggio di convergenza della seguente serie di potenze:

$sum_(n=1)^(infty)(x+5)^(2n+1)/(2n*4^n)$

[Luca.Lussardi]

E' abbastanza semplice, basta fare la radice n-esima di $1/(2n*4^n)$, e passare al limite.

[Sk_Anonymous]

non era quella la serie bensì questa:

$sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1)*(x-5)^n)/(n*3^n)$

[Luca.Lussardi]

Poco cambia, calcola la radice $n$-esima di $1/(n*3^n)$, passa al limite ed il gioco è fatto.

[Sk_Anonymous]

come giustifico il fatto di trascurare i restanti fattori?(se possibile)


Grazie

[Luca.Lussardi]

Il $(-1)^(n-1)$ viene assorbito dal valore assoluto, poichè la quantità da passare al limite sarebbe la radice $n$-esima del valore assoluto del fattore che moltiplica $(x-5)^n$. Infine si applica il ben noto Teorema sulle serie di potenze.

[Sk_Anonymous]

non comprendo ancora bene (evidentemente ho dimenticato molto)comunque grazie

[Luca.Lussardi]

Data una serie di potenze
$\sum_(n=0)^infty a_n (x-x_0)^n$,
allora posto
$1/R=\lim_(n ->+\infty)|a_n|^(1/n)$, con la convenzione $1/0=\infty$ e $1/infty=0$, si ha che la serie data converge uniformemente nell'intervallo $(x_0-R,x_0+R)$ e non converge se $x>x_0+R$ o $x

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[Sk_Anonymous]

"Luca.Lussardi":Il $(-1)^(n-1)$ viene assorbito dal valore assoluto, poichè la quantità da passare al limite sarebbe la radice $n$-esima del valore assoluto del fattore che moltiplica $(x-5)^n$. Infine si applica il ben noto Teorema sulle serie di potenze.

IL TEOREMA DI ABEL?
come si ottiene da $root(n)(|(-1)^(n-1)*(x-5)^n/(n*3^n)|$ quello che asserisci tu?

[Luca.Lussardi]

Non so se si chiama così, è il Teorema che dà direttamente l'intervallo di convergenza di una serie di potenze. Sostanzialmente è il criterio della radice, e si vede anche da come lo hai scritto tu, osservando però che sotto radice c'è $(x-5)^n$, non $(x-5)$.

[Tex87]

salve ragazzi mi aiutereste a studiare il carattere delle seguenti serie??



$ sum_{n=1}^{oo}(-1)^n *(n+1)/(n+2) $


$ sum_{n=1}^{oo}((3)^n*n!)/n^n $


GRAZIE A TUTTI!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Luca.Lussardi]

Per la prima non hai convergenza, dal momento che il termine genarale è oscillante.

Per la seconda prova il criterio del rapporto.

[vecchio1]

no...Luca non sta parlando del Th. di Abel...bensì dei due teoremi che si usano per trovare il raggio di convergenza.
quello usato da lui è il Th. di D'Alembert, l'altro è il Th. di Cauchy-Hadamard...

saluti
il vecchio

[Tex87]

si ma mi potreste aiutare a risolverle con dei "passaggi"in modo tale che le possa confrontare con quelle che ho fatte io?



GRAZIE

[Luca.Lussardi]

Posta tu quello che hai fatto, così correggiamo gli eventuali errori.

[Tex87]

ecco come ho svolto la seconda serie per quanto riguarda la prima ti kiedo se cortesemente mi puoi far vedere i passaggi.


$sum_{n=1}^oo(3^n*n!)/n^n =((3^(n+1)*(n+1)!)/(n+1)^(n+1))*n^n/(3^n*n!)=(3*n^n*(n+1))/(n+1)^(n+1)=(3n^n)/(n+1)^n=lim_{n to oo}(3n^n)/(n+1)^n=3>1tosum_{n=1}^oo(3^n*n!)/n^n =+oo$

quindi a me risulta che la serie diverge.Mi dici dove eventualmente ho sbagliato e mi puoi suggerire cortesemente i passaggi invece dell'altra serie?

GRAZIE

[freddofede]

Il procedimento per la seconda pare corretto. Per quanto riguarda la prima, tieni semplicemente conto che $lim_(n->+oo)(-1)^n(n+1)/(n+2) = lim_(n->+oo)(-1)^n$ che non esiste, perchè la funzione oscilla. Dato che una condizione necessaria perchè una serie $sum_(n=1)^(+oo) a_n$ converga è che $lim_(n->+oo) a_n = 0$, segue che la tue serie diverge.

[Tex87]

scusate se insisto ma volevo fare due domande per schiarirmi le idee: perchè la prima serie può essere ricondotta semplicemente a $(-1)^n$ e perchè essa non può essere indeterminata?


GRAZIE

[freddofede]

"Tex87":scusate se insisto ma volevo fare due domande per schiarirmi le idee: perchè la prima serie può essere ricondotta semplicemente a $(-1)^n$ e perchè essa non può essere indeterminata?


GRAZIE

1- Perchè $lim_(n->+oo)(n+1)/(n+2) = 1$.
2- $(-1)^n$ non ha limite, perchè $lim_(k->+oo)(-1)^(2k) = 1 != lim_(k->+oo)(-1)^(2k + 1) = -1$. Quindi, dato che le due sottosuccessioni non convergono allo stesso limite, segue che il limite della successione non esiste. Puoi notarlo anche disegnando il grafico.

[Tex87]

scusa ma allora la serie non dovrebbe divergere ma dovrebbe essere indeterminata o no?

[freddofede]

"Tex87":scusa ma allora la serie non dovrebbe divergere ma dovrebbe essere indeterminata o no?

No, è l'argomento della serie che è indeterminato: una serie o converge o diverge, non è possibile che una somma di numeri sia indeterminata... nel nostro caso non abbiamo la condizione per la convergenza, sicchè la serie diverge.