Serie
Determinare il raggio di convergenza della seguente serie di potenze:
$sum_(n=1)^(infty)(x+5)^(2n+1)/(2n*4^n)$
$sum_(n=1)^(infty)(x+5)^(2n+1)/(2n*4^n)$
Risposte
Aspetta un attimo... in effetti non sono così sicuro della mia affermazione precedente... diciamo che possiamo affermare con sicurezza solo che la serie non converge.
c'è qualcuno che ha le idee chiare a proposito?????
Una serie può :
convergere
divergere
essere indeterminata ; es la serie : $sum (-1)^n= +1-1+1-1+....$
convergere
divergere
essere indeterminata ; es la serie : $sum (-1)^n= +1-1+1-1+....$
Sottolineo il fatto che dice Camillo, puntualizzando che ci sono voluti quasi 2000 anni per capire che la serie che ha riportato Camillo non ammette somma finita nè infinita.
e sbagli la somma finita la ammette $sum_{n=1}^k(-1)^n=-1$ se k è dispari 0 se k è pari. addirittura 2000 anni per capire questo?
Come al solito arrivi a conclusioni affrettate ed errate: la somma che io intendevo è la somma della serie, non la somma arrestata. E' ovvio che la somma di un numero finito di addendi è finita, non credi? E' il limite di quello che hai scritto che non esiste.
"Luca.Lussardi":
non ammette somma finita nè infinita
come al solito sei poco chiaro, non si capisce bene quello che dici, somma finita si può confondere (oltre a quello che intendi tu) anche con somma arrestata, e poi non è vero che arrivo sempre a conclusioni affrettate, infine perchè 2000 anii per capirlo? un pò troppi non ti sembra?????
Allora io ho scritto:
"ci sono voluti quasi 2000 anni per capire che la serie che ha riportato Camillo non ammette somma finita nè infinita."
La "serie non ammette somma finita"; la serie, non la sua somma parziale. Non vedo scorrettezze, probabilmente sai molto poco sull'argomento, e questo spiegherebbe anche perchè non capisci per quale motivo ci siano voluti cosi' tanti anni per capirlo.
"ci sono voluti quasi 2000 anni per capire che la serie che ha riportato Camillo non ammette somma finita nè infinita."
La "serie non ammette somma finita"; la serie, non la sua somma parziale. Non vedo scorrettezze, probabilmente sai molto poco sull'argomento, e questo spiegherebbe anche perchè non capisci per quale motivo ci siano voluti cosi' tanti anni per capirlo.
se io ci sono riuscito in tre secondi, mi sembrava un pò esagerato, cmq la cosa mi incuriosisce, potrebbe delucidarmi?
Secondo me significa che la somma della serie per $n$ che tende all'infinito è indeterminata, non la somma per un determinato $n$ che si calcola come hai detto tu.
Tu ci sei riuscito in 3 secondi perchè conosci, credo, il concetto di limite di successione e di serie convergente. Mettiti nei panni dei matematici greci...
"Luca.Lussardi":
Tu ci sei riuscito in 3 secondi perchè conosci, credo, il concetto di limite di successione e di serie convergente. Mettiti nei panni dei matematici greci...
ma in realtà credo non serva sapere questi concetti, basta il concetto di somma (credo noto anche ai matematici greci) e un pò di logica, certo anche il concetto di 0 e numero relativo in effetti che non so se erano noti, comunque non vedo il senso di questo paragone, come evidenziare una difficoltà che si cela dietro quel risultato ma che non esiste perchè fondata sulla conoscenza di pochi concetti fondamentali
Mettila cosi': se tu raccogli (1-1)+(1-1)+... allora quella somma infinita fa 0. Se invece raccogli 1-(1-1)-(1-1)... allora la somma fa 1. E allora, chi ha ragione?
"Luca.Lussardi":
Mettila cosi': se tu raccogli (1-1)+(1-1)+... allora quella somma infinita fa 0. Se invece raccogli 1-(1-1)-(1-1)... allora la somma fa 1. E allora, chi ha ragione?
nessuno dei due, poichè c'è un teorema che non dice che il limite se esiste è unico, se una funzione ammettesse più di un limite si arriverebbe ad una contraddizione logica quindi in quel caso il limite non esiste
Appunto, vai tu a spiegare questo teorema ai matematici prima di Newton e Leibniz; proprio qui loro non sapevano concludere. Loro credevano che era possibile manipolare le somme infinite come le finite, e arrivavano a contraddizioni logiche, per esempio quella.
Ma non avevano concepito il concetto di serie convergente, ovvero il concetto di limite di una successione.
Ma non avevano concepito il concetto di serie convergente, ovvero il concetto di limite di una successione.
Quindi alla fine di tutta questa diatriba possiamo dire che la serie che avevo proposto risulta essere indeterminata????
"Tex87":
c'è qualcuno che ha le idee chiare a proposito?????
Scusa ma l'esercizio ti chiede di stabilire se la serie converge, o di studiare il carattere della serie?
In ogni caso mi sembra di aver trovato una risposta, poi gli altri eventualmente mi correggeranno: la serie diverge se il limite di $S_t = sum_(n = 1)^(t) a_n$, cioè della generica somma parziale, risulta essere più o meno infinito per t tendente all'infinito. Ma dato che $S_(2k)$ e $S_(2k + 1)$ sono due sottosuccessioni di $S_t$ e $lim_(k->+oo)S_(2k) = L_1 != L_2 = lim_(k->+oo)S_(2k + 1)$, segue che $S_t$ non ammette limite e quindi la serie non può convergere nè divergere: è indeterminata.
Nota: $L_1 != L_2$ si ottiene osservando che $L_1$ è la somma di una serie a termini positivi diversi da zero, $L_2$ la somma di termini strettamente negativi.
Nota: $L_1 != L_2$ si ottiene osservando che $L_1$ è la somma di una serie a termini positivi diversi da zero, $L_2$ la somma di termini strettamente negativi.
di studiarne il carattere
Quello che hai scritto è corretto, ma non credo che nella serie postata sia possibile valutare le somme parziali $S_(2k)$ e $S_(2k+1)$; l'unica risposta è che quella serie non converge, poi faccia quello che vuole...
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