Serie
Determinare il raggio di convergenza della seguente serie di potenze:
$sum_(n=1)^(infty)(x+5)^(2n+1)/(2n*4^n)$
$sum_(n=1)^(infty)(x+5)^(2n+1)/(2n*4^n)$
Risposte
forse si può dimostrare che nemmeno diverge facendo un test integrale.....?
Forse, come ha notato Luca, la mia stima è sbagliata; in ogni caso, i due limiti risultano uno strettamente positivo perchè somma di numeri maggiori di zero e analogamente l'altro è strettamente negativo; quindi penso si possa rispondere così all'esercizio.
Simpatica la piccola diattriba tra GuillaumedeL'Hopital e Luca.Lussardi 
Come direbbe qualcuno : ..... Lasciali perdere....."SO MATEMATICI"!!!!
Come direbbe qualcuno : ..... Lasciali perdere....."SO MATEMATICI"!!!!
"Tex87":
Quindi alla fine di tutta questa diatriba possiamo dire che la serie che avevo proposto risulta essere indeterminata????
In poche parole, sì.
Almeno penso
....
Non credo si sia data una dimostrazione convincente che quella serie sia indeterminata.
Si ma fatto sta che la serie nè converge nè diverge e allora cos'altro può fare?????????
Perchè non diverge?
"Luca.Lussardi":
Non credo si sia data una dimostrazione convincente che quella serie sia indeterminata.
Scusa allora questo
"lore":
In ogni caso mi sembra di aver trovato una risposta, poi gli altri eventualmente mi correggeranno: la serie diverge se il limite di $S_t = sum_(n = 1)^(t) a_n$, cioè della generica somma parziale, risulta essere più o meno infinito per t tendente all'infinito. Ma dato che $S_(2k)$ e $S_(2k + 1)$ sono due sottosuccessioni di $S_t$ e $lim_(k->+oo)S_(2k) = L_1 != L_2 = lim_(k->+oo)S_(2k + 1)$, segue che $S_t$ non ammette limite e quindi la serie non può convergere nè divergere: è indeterminata.
Nota: $L_1 != L_2$ si ottiene osservando che $L_1$ è la somma di una serie a termini positivi diversi da zero, $L_2$ la somma di termini strettamente negativi.
Non basta a stabilire l'indeterminatezza?? Il limite delle somme parziali non esiste perchè le due sottosuccessioni hanno limiti diversi, quindi la serie è indeterminata... no?
Certo che basta, ma tu non hai dimostrato che il limite di $S_(2k)$ è diverso dal limite di $S_(2k+1)$; hai lavorato solo sul termine generale, non sulle somme parziali.
"Luca.Lussardi":
Certo che basta, ma tu non hai dimostrato che il limite di $S_(2k)$ è diverso dal limite di $S_(2k+1)$; hai lavorato solo sul termine generale, non sulle somme parziali.
Scusa dire che uno è strettamente positivo e l'altro strettamente negativo non basta a dire che sono diversi?
No, potrebbero convergere a 0 entrambi. E poi non mi pare sia così immediato dire che uno è positivo e uno è negativo: attenzione che $S_(2k)$ non è la somma dei termini di indice pari, ma la somma arrestata ad un indice pari.
Si ma allora si può sapere qual è il carattere della serie?????
La serie non converge, che poi diverga o sia indeterminata (probabilmente è quest'ultima la verità) poco importa; per una serie non ha importanza come si comporti se essa non converge.
Quindi mi stai dicendo che se il mio prof mi dice di studiare il carattere di una serie l'importante è che io gli dica se converga oppure no, non ha importanza cosa fa se non converge ????
No, non ha nessuna importanza, a meno che non sia una domanda mirata proprio a fare quello, ovvero che ti chieda esplicitamente se la serie converge, diverge o è indeterminata. Ma se la questione è "Studiare il comportamento della serie...", di solito si intende stabilire se la serie converge o non converge.
Comunque sia, se vogliamo, possiamo provare a dimostrare che quella serie effettivamente non diverge e non converge.
Comunque sia, se vogliamo, possiamo provare a dimostrare che quella serie effettivamente non diverge e non converge.
Si può provare a procedere così, ragionamento che è già stato iniziato da voi.
La serie in questione è
$sum_(n=1)^(+infty) (-1)^n (n+1)/(n+2)$;
denotiamo con $S_k$ la successione delle somme parziali arrestate all'indice $k$. Siccome la successione
$(n+1)/(n+2)$ è monotona crescente, allora risulta, come già osservato, $S_(2k)>0$ e $S_(2k+1)<0$. Ma
$S_(2k)=S_(2k-1)+(2k+1)/(2k+2)$, e
$S_(2k+1)=S_(2k)-(2k+2)/(2k+3)$. Quindi si ha
$S_(2k)<(2k+1)/(2k+2)$ e $S_(2k+1)> -(2k+2)/(2k+3)$.
Queste ultime due danno la tesi; infatti la prima delle due dice che la serie non può essere positivamente divergente, altrimenti la successione $S_k$ dovrebbe essere positivamente divergente, ed invece una sua estratta avrebbe limite < $lim_(k -> +infty)(2k+1)/(2k+2)=1$. Analogamente la seconda dice che la serie non può essere negativamente divergente.
La serie in questione è
$sum_(n=1)^(+infty) (-1)^n (n+1)/(n+2)$;
denotiamo con $S_k$ la successione delle somme parziali arrestate all'indice $k$. Siccome la successione
$(n+1)/(n+2)$ è monotona crescente, allora risulta, come già osservato, $S_(2k)>0$ e $S_(2k+1)<0$. Ma
$S_(2k)=S_(2k-1)+(2k+1)/(2k+2)$, e
$S_(2k+1)=S_(2k)-(2k+2)/(2k+3)$. Quindi si ha
$S_(2k)<(2k+1)/(2k+2)$ e $S_(2k+1)> -(2k+2)/(2k+3)$.
Queste ultime due danno la tesi; infatti la prima delle due dice che la serie non può essere positivamente divergente, altrimenti la successione $S_k$ dovrebbe essere positivamente divergente, ed invece una sua estratta avrebbe limite < $lim_(k -> +infty)(2k+1)/(2k+2)=1$. Analogamente la seconda dice che la serie non può essere negativamente divergente.
"Luca.Lussardi":
No, potrebbero convergere a 0 entrambi. E poi non mi pare sia così immediato dire che uno è positivo e uno è negativo: attenzione che $S_(2k)$ non è la somma dei termini di indice pari, ma la somma arrestata ad un indice pari.
Ma se $S_(2k)$ rappresenta la somma di una serie con termini positivi e si nota che almeno un termine è diverso da zero, si deduce che la somma stessa è maggiore strettamente di zero. Stesso dicasi per quella a termini dispari...
Ricaschi sempre nello stesso errore: $S_(2k)$ non è una somma di termini positivi, $S_(2k)$ è la somma parziale arrestata al termine $2k$; quindi stai sommando tutti i primi $2k$ addendi; che venga $S_(2k)>0$ è vero, ma discende dal fatto che la successione $(n+1)/(n+2)$ è monotona crescente.
Salve ragazzi sto facendo questa serie:
$sum_{n=1}^{oo}sqrt(n)(1-cos(1/n))$
ho applicato il criterio della radice e sono giunto a :
$lim_{n to +oo}nsqrt(sin(1/n))$
mi potete dire se va bene e come continuare?
GRAZIE!!!!!!
$sum_{n=1}^{oo}sqrt(n)(1-cos(1/n))$
ho applicato il criterio della radice e sono giunto a :
$lim_{n to +oo}nsqrt(sin(1/n))$
mi potete dire se va bene e come continuare?
GRAZIE!!!!!!
Non mi è chiaro come arrivi a quella forma usando il criterio della radice.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo