Quante sono le funzioni continue / integrabili?
Salve, avrei bisogno di conoscere la cardinalita' di questi due insiemi:
1) le funzioni continue di $RR$ in se'
2) le funzioni integrabili (secondo L.) sempre di $RR$ in se'
Come posso fare? Grazie per l'aiuto
1) le funzioni continue di $RR$ in se'
2) le funzioni integrabili (secondo L.) sempre di $RR$ in se'
Come posso fare? Grazie per l'aiuto
Risposte
"erasmo":
1) le funzioni continue di $RR$ in se'
Ti dico un po' di funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue in tutto il loro dominio:
$f(x) = x$
$f(x) = 2x$
$f(x) = 3x$
$f(x) = 4x$
$\vdots$
Bastano o devo continuare?
Non ho studiato l'integrazione secondo Lebesgue, ma penso sia la stessa zolfa di cui sopra...
Grazie per la dritta
E cosi' sappiamo che le funzioni continue sono almeno tante quante i numeri reali (veramente a questo ci ero arrivato pure io...
)...
Ma non potrebbero essere di piu'? E' questo il mio problema
E cosi' sappiamo che le funzioni continue sono almeno tante quante i numeri reali (veramente a questo ci ero arrivato pure io...
)...Ma non potrebbero essere di piu'? E' questo il mio problema
Ah, l'avevo fatto più semplice... avevi chiesto cardinalità, io ti ho risposto solo infinito!
"erasmo":
Grazie per la dritta
E cosi' sappiamo che le funzioni continue sono almeno tante quante i numeri reali (veramente a questo ci ero arrivato pure io...
Ma non potrebbero essere di piu'? E' questo il mio problema
sono sicuramente di piu
mah... non e' detto...
Magari dico una cavolata
ma basta pensare che abbiamo anche $x, x^2, x^3$ e cosi via
ma basta pensare che abbiamo anche $x, x^2, x^3$ e cosi via
"bestplace":
Magari dico una cavolata
ma basta pensare che abbiamo anche $x, x^2, x^3$ e cosi via
Secondo te bestplace, sono di più i numeri reali (tutti) o i numeri reali compresi fra zero e uno?
i numeri reali sono infiniti,
tra 0 e 1 abbiamo anche infiniti numeri
ma anche tra 1 e 2, tra 2 e 3 e cosi via quindi è sempre infinito ma i numeri reali sono di più
quello che volevo dire è che date le funzioni $f(x) = ax$
già questo insieme non dovrebbe avere la stessa cardinalità di $RR$ ?
poi abbiamo anche le funzioni $f(x) = ax^alpha$
e quindi gli elementi dell'insieme delle funzioni continue ha cardinalità maggiore dell'insieme dei numeri reali
e poi ci sono altre funzioni continue già solo quelle elementari e le combinazioni di queste quindi sono chiaramente di più
tra 0 e 1 abbiamo anche infiniti numeri
ma anche tra 1 e 2, tra 2 e 3 e cosi via quindi è sempre infinito ma i numeri reali sono di più
quello che volevo dire è che date le funzioni $f(x) = ax$
già questo insieme non dovrebbe avere la stessa cardinalità di $RR$ ?
poi abbiamo anche le funzioni $f(x) = ax^alpha$
e quindi gli elementi dell'insieme delle funzioni continue ha cardinalità maggiore dell'insieme dei numeri reali
e poi ci sono altre funzioni continue già solo quelle elementari e le combinazioni di queste quindi sono chiaramente di più
"bestplace":
ma anche tra 1 e 2, tra 2 e 3 e cosi via quindi è sempre infinito ma i numeri reali sono di più
Che io sappia i numeri reali fra 0 e 1 sono tanti quanti i numeri reali (tutti). Con questo volevo dire che, secondo me, non basta dire che si sono anche $x^2$, $x^3$, e così via, per dire che le funzioni continue sono più dei numeri reali.
Occhio bestplace che gli infiniti sono brutte bestie... 
...
Qualche esempio:
- i numeri naturali pari sono tanti quanti i numeri naturali (che contengono anche i dispari...)
;
- i numeri reali positivi sono tanti quanti i numeri reali (che contengono anche lo 0 e i negativi...) ;
- i numeri naturali sono tanti quanti i numeri razionali (che contengono, oltre ai naturali, anche gli interi negativi e le frazioni...) ;
- i numeri reali tra 0 e 1...
L'infinito è terreno di Dio...ma anche del diavolo...
...Qualche esempio:
- i numeri naturali pari sono tanti quanti i numeri naturali (che contengono anche i dispari...)
;- i numeri reali positivi sono tanti quanti i numeri reali (che contengono anche lo 0 e i negativi...)
;- i numeri naturali sono tanti quanti i numeri razionali (che contengono, oltre ai naturali, anche gli interi negativi e le frazioni...)
;- i numeri reali tra 0 e 1...
L'infinito è terreno di Dio...ma anche del diavolo...
Hai ragione non possiamo dire quale dei due infiniti sia più grande,
però se io prendo tutti gli elementi di $RR$ per costruire l'insieme delle funzioni $ax$,
per costruire un altro insieme di funioni continue utilizzando un altra funzione ad esempio $x^2$ oppure $sinx$
dovrò prendere nuovamente tutti gli elementi di $RR$, quindi non ho ottenuto due insiemi che hano la stessa
cardinalità di $RR$ ? Sommati non la supero ?
però se io prendo tutti gli elementi di $RR$ per costruire l'insieme delle funzioni $ax$,
per costruire un altro insieme di funioni continue utilizzando un altra funzione ad esempio $x^2$ oppure $sinx$
dovrò prendere nuovamente tutti gli elementi di $RR$, quindi non ho ottenuto due insiemi che hano la stessa
cardinalità di $RR$ ? Sommati non la supero ?
"bestplace":
$x^2$ oppure $sinx$
Però prima parlavi solo di $x, x^2, x^3, \ldots$
@erasmo: io proverei a vedere se i tuoi insiemi hanno la potenza del continuo o sono una infinità numerabile, ovvero se ogni elemento di questi insiemi può essere associato, ad esempio, ad elementi dell'insieme dei reali o dei razionali.
spero di non aver detto troppe eresie...
spero di non aver detto troppe eresie...
Se tali funzioni sono (almeno) tante quante i numeri reali, è ovvio che l'insieme ha la potenza del continuo.
Forse si potrebbe considerare il fatto che lo spazio delle funzioni continue e delle funzioni integrabili sono spazi a dimensione infinita. Puoi mettere in corrispndenza biunivoca $R$ con $R^n$ per n finito, ma non se lo spazio ha dimensione infinita.
secondo me non sono neanche un infinito numerabile.... cmq questo è un argomento molto complesso... dovresti chiedere a qulache prof
Non ho ancora capito,
considerando le funzioni costanti si ha che $RR$ è contenuto nell'insieme delle funzioni continue,
se poi considero che gli insiemi di prima hanno tutti cardinalità uguale a quella dei numeri reali e che ognuno
di questi insiemi è contenuto nell'insieme delle funzioni continue, questo non basta a dire che ha cardinalità superiore ad $RR$?
considerando le funzioni costanti si ha che $RR$ è contenuto nell'insieme delle funzioni continue,
se poi considero che gli insiemi di prima hanno tutti cardinalità uguale a quella dei numeri reali e che ognuno
di questi insiemi è contenuto nell'insieme delle funzioni continue, questo non basta a dire che ha cardinalità superiore ad $RR$?
"bestplace":
Non ho ancora capito,
considerando le funzioni costanti si ha che $RR$ è contenuto nell'insieme delle funzioni continue,
se poi considero che gli insiemi di prima hanno tutti cardinalità uguale a quella dei numeri reali e che ognuno
di questi insiemi è contenuto nell'insieme delle funzioni continue, questo non basta a dire che ha cardinalità superiore ad $RR$?
Purtroppo (o per fortuna) no.
Per esempio i numeri razionali $QQ$ contengono $NN$ ma anche $ZZ$ che è la copia negativa di $NN$ e in piú tutte le frazioni eppure la cardinalità di $QQ$ è la stessa di $NN$, ovvero sono entrambi insiemi numerabili...
...gli infiniti...brutte bestiacce...
E' un esercizio mooolto difficile. Conosco le risposte, ma solo per la 2) mi ricordo la dimostrazione... (certamente io da solo non sarei mai riuscito a trovare le dimostrazioni)
Non ho capito, però, se preferite le risposte buttate li o qualche hint...
Per la 2) dico solo 2 cose:
1. Occhio che la cosa cambia di molto usando Riemann piuttosto che Lebesgue
2. Bisogna considerare il ternario di Cantor e la proprietà di completezza della misura di L.
Non ho capito, però, se preferite le risposte buttate li o qualche hint...
Per la 2) dico solo 2 cose:
1. Occhio che la cosa cambia di molto usando Riemann piuttosto che Lebesgue
2. Bisogna considerare il ternario di Cantor e la proprietà di completezza della misura di L.
Forse puo' essere utile ricordare, una volta tanto, la vera definizione di funzione, ovvero come sottoinsieme di un prodotto cartesiano. Una funzione da $\RR$ in $\RR$, per esempio, e' un sottoinsieme di $\RR x \RR$ fatto in un certo modo; da qui segue una stima dall'alto per la cardinalita' dell'insieme di tutte le funzioni. Va poi controllata una stima dal basso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo