Quante sono le funzioni continue / integrabili?
Salve, avrei bisogno di conoscere la cardinalita' di questi due insiemi:
1) le funzioni continue di $RR$ in se'
2) le funzioni integrabili (secondo L.) sempre di $RR$ in se'
Come posso fare? Grazie per l'aiuto
1) le funzioni continue di $RR$ in se'
2) le funzioni integrabili (secondo L.) sempre di $RR$ in se'
Come posso fare? Grazie per l'aiuto
Risposte
In effetti assumere subito $card(C(RR,RR))=card(RR^QQ)$ è troppo forte.
Come giustamente hai osservato a priori possiamo affermare che
$card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)$.
Nel post precedente ho fatto vedere che $card(RR^QQ)=c$ (in realtà adesso è sufficiente solo sapere che $card(RR^QQ)<=c$, l'altra disuguaglinza è superflua).
Dunque $card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)<=c$ .
Ma $card(C(RR,RR))>=c$, infatti, ad esempio, tutte le funzioni del tipo $y=a*x$ con $a in RR$ sono continue e la loro cardinalità è $c$.
Quindi $c<=card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)<=c$,
da cui segue la tesi.
Come giustamente hai osservato a priori possiamo affermare che
$card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)$.
Nel post precedente ho fatto vedere che $card(RR^QQ)=c$ (in realtà adesso è sufficiente solo sapere che $card(RR^QQ)<=c$, l'altra disuguaglinza è superflua).
Dunque $card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)<=c$ .
Ma $card(C(RR,RR))>=c$, infatti, ad esempio, tutte le funzioni del tipo $y=a*x$ con $a in RR$ sono continue e la loro cardinalità è $c$.
Quindi $c<=card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)<=c$,
da cui segue la tesi.
Grazie ancora per l'aiuto!
Piu' banalmente $RR \subset C (RR, RR)$ no?
Ma $card(C(RR,RR))>=c$, infatti, ad esempio, tutte le funzioni del tipo $y=a*x$ con $a in RR$ sono continue e la loro cardinalità è $c$.
Piu' banalmente $RR \subset C (RR, RR)$ no?
Non ho capito, $C(RR,RR)$ è l'insieme delle funzioni continue da $RR$ in $RR$, che vuol dire $RR subset C(RR,RR)$?
se $x \in RR$, sia $f_x$ la funzione di $RR$ in se' costante a $x$; l'applicazione
$x \in RR \mapsto f_x \in C(RR, RR)$ e' iniettiva e quindi ha senso vedere $RR$ come un sottoinsieme di $C(RR, RR)$, ti pare?
$x \in RR \mapsto f_x \in C(RR, RR)$ e' iniettiva e quindi ha senso vedere $RR$ come un sottoinsieme di $C(RR, RR)$, ti pare?
Mi pare di si
Facciamo un po' di ordine sulla dimostrazione che le funzioni continue da $RR$ in $RR$ hanno la potenza del continuo.
Premetto il seguente utile teorema.
Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi di $RR$, allora la cardinalità delle funzioni da $A$ in $B$ è data da:
$card(B^A)= c$ se $A$ è numerabile,
$card(B^A)=2^c$ se $A$ è non numerabile.
La dimostrazione è analoga a quella che ho utilizzato per dimostrare che $card(RR^QQ)=c$ e $card(RR^RR)=2^c$.
Ciò premesso, poichè una funzione continua è identificata dai suoi valori sull'insieme dei numeri razionali si ha $card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)$.
Ma $QQ$ è numerabile, dunque $card(RR^QQ)=c$.
Inoltre $card(C(RR,RR))>=c$, infatti, ad esempio, tutte le funzioni del tipo $y=a*x$ con $a in RR$ sono continue e la loro cardinalità è c.
Pertanto
$c<=card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)=c$.
A questo punto è facile rispondere all'altro topic che ho aperto.
Infatti una successione è una funzione da $NN$ in $RR$.
Quindi $card(a_n)=card(RR^NN)=c$
dato che $NN$ è numerabile.
Facciamo un po' di ordine sulla dimostrazione che le funzioni continue da $RR$ in $RR$ hanno la potenza del continuo.
Premetto il seguente utile teorema.
Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi di $RR$, allora la cardinalità delle funzioni da $A$ in $B$ è data da:
$card(B^A)= c$ se $A$ è numerabile,
$card(B^A)=2^c$ se $A$ è non numerabile.
La dimostrazione è analoga a quella che ho utilizzato per dimostrare che $card(RR^QQ)=c$ e $card(RR^RR)=2^c$.
Ciò premesso, poichè una funzione continua è identificata dai suoi valori sull'insieme dei numeri razionali si ha $card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)$.
Ma $QQ$ è numerabile, dunque $card(RR^QQ)=c$.
Inoltre $card(C(RR,RR))>=c$, infatti, ad esempio, tutte le funzioni del tipo $y=a*x$ con $a in RR$ sono continue e la loro cardinalità è c.
Pertanto
$c<=card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)=c$.
A questo punto è facile rispondere all'altro topic che ho aperto.
Infatti una successione è una funzione da $NN$ in $RR$.
Quindi $card(a_n)=card(RR^NN)=c$
dato che $NN$ è numerabile.
comunque da questa discussione e' emerso il dato interessante che le funzioni continue sono 'poche'
Indichiamo con $R(a,b)$ l’insieme delle funzioni Riemann integrabili su $[a,b]$, e con $L(a,b)$ quello delle funzioni Lebesgue integrabili.
Vale il seguente risultato:
Se $f in R(a,b)$ allora $f in L(a,b)$.
Dimostreremo che $card(R(a,b))=card(RR^RR)=2^c$, da cui, ricordando il risultato sopracitato , seguirà $card(L(a,b))=2^c$.
Per fare questo enunciamo il teorema di Vitali:
Sia $f: [a,b]->RR$ una funzione limitata. Si ha $f in R(a,b)$ se e solo se l’insieme dei punti di discontinuità di $f$ ha misura di Lebesgue nulla.
Ricordiamo anche alcune proprietà dell’insieme $K$ di Cantor:
la misura di $K$ è zero;
$card(K)=c$, da cui segue che $card(P(K))=2^c$.
Per ogni sottoinsieme $S in P(K)$ definiamo la funzione
$g : [0,1] ->RR$ tale che
$g(x) = 1$ se $x in S$
$g(x) = 0$ altrimenti
L’insieme di queste funzioni è in corrispondenza biunivoca con $P(K)$, pertanto ha cardinalità $2^c$. Inoltre sono Riemann integrabili per il teorema di Vitali ($m(K)=0$).
Sorprendentemente, le funzioni Riemann integrabili e quindi anche quelle Lebesgue integrabili sono tante quante le funzioni $f : RR->RR$!!!!!
Vale il seguente risultato:
Se $f in R(a,b)$ allora $f in L(a,b)$.
Dimostreremo che $card(R(a,b))=card(RR^RR)=2^c$, da cui, ricordando il risultato sopracitato , seguirà $card(L(a,b))=2^c$.
Per fare questo enunciamo il teorema di Vitali:
Sia $f: [a,b]->RR$ una funzione limitata. Si ha $f in R(a,b)$ se e solo se l’insieme dei punti di discontinuità di $f$ ha misura di Lebesgue nulla.
Ricordiamo anche alcune proprietà dell’insieme $K$ di Cantor:
la misura di $K$ è zero;
$card(K)=c$, da cui segue che $card(P(K))=2^c$.
Per ogni sottoinsieme $S in P(K)$ definiamo la funzione
$g : [0,1] ->RR$ tale che
$g(x) = 1$ se $x in S$
$g(x) = 0$ altrimenti
L’insieme di queste funzioni è in corrispondenza biunivoca con $P(K)$, pertanto ha cardinalità $2^c$. Inoltre sono Riemann integrabili per il teorema di Vitali ($m(K)=0$).
Sorprendentemente, le funzioni Riemann integrabili e quindi anche quelle Lebesgue integrabili sono tante quante le funzioni $f : RR->RR$!!!!!
"Piera":
Per ogni sottoinsieme $S in P(K)$ definiamo la funzione
$g : [0,1] ->RR$ tale che
$g(x) = 1$ se $x in S$
$g(x) = 0$ altrimenti
L’insieme di queste funzioni è in corrispondenza biunivoca con $P(K)$, pertanto ha cardinalità $2^c$. Inoltre sono Riemann integrabili per il teorema di Vitali ($m(S)=0$).
potresti spiegarmi meglio perche' $g$ e' continua sul complemento di $S$? non mi e' chiaro
grazie ancora per l'aiuto comunque!!!
Signori, sono appena sbarcato in questo forum (per il quale vi prego di accettare i miei complimenti) e devo confessare che questa discussione mi interessa molto.
Non è detto che la funzione sia continua sul complementare di $S$, ma su quello di $K$ si, per questo ho ricordato che $m(K)=0$.
Mi accorgo di aver scritto sopra $m(S)=0$, correggo!
Per essere più chiari:
il complementare di $K$ è unione di intervalli aperti, quindi $g(x)=0$ sarà continua su ognuno di questi intervalli aperti.
Mi accorgo di aver scritto sopra $m(S)=0$, correggo!
Per essere più chiari:
il complementare di $K$ è unione di intervalli aperti, quindi $g(x)=0$ sarà continua su ognuno di questi intervalli aperti.
"Piera":
Indichiamo con $R(a,b)$ l’insieme delle funzioni Riemann integrabili su $[a,b]$, e con $L(a,b)$ quello delle funzioni Lebesgue integrabili.
Vale il seguente risultato:
Se $f in R(a,b)$ allora $f in L(a,b)$.
Dimostreremo che $card(R(a,b))=card(RR^RR)=2^c$, da cui, ricordando il risultato sopracitato , seguirà $card(L(a,b))=2^c$.
Per fare questo enunciamo il teorema di Vitali:
Sia $f: [a,b]->RR$ una funzione limitata. Si ha $f in R(a,b)$ se e solo se l’insieme dei punti di discontinuità di $f$ ha misura di Lebesgue nulla.
Ricordiamo anche alcune proprietà dell’insieme $K$ di Cantor:
la misura di $K$ è zero;
$card(K)=c$, da cui segue che $card(P(K))=2^c$.
Per ogni sottoinsieme $S in P(K)$ definiamo la funzione
$g : [0,1] ->RR$ tale che
$g(x) = 1$ se $x in S$
$g(x) = 0$ altrimenti
L’insieme di queste funzioni è in corrispondenza biunivoca con $P(K)$, pertanto ha cardinalità $2^c$. Inoltre sono Riemann integrabili per il teorema di Vitali ($m(K)=0$).
Sorprendentemente, le funzioni Riemann integrabili e quindi anche quelle Lebesgue integrabili sono tante quante le funzioni $f : RR->RR$!!!!!
Nel leggere la tua dimostrazione mi vengono due dubbi che mi fanno capire con non l'ho capita:
1)Da dove discende che ogni sottoinsieme di misura nulla è un sottoinsieme di $K$.
2)Inoltre possono esistere funzioni distinte con lo stesso insieme di funzioni di discontinuità.
Saluti
Mistral
1) Ad ogni sottoinsieme $S$ appartenente a $P(K)$ associo una funzione caratteristica la quale è discontinua al più su $K$ che ha misura zero e quindi è integrabile; non ho mica detto che ogni sottoinsieme di misura nulla è un sottoinsieme di $K$.
2) non so se ho capito... comunque lo scopo è quello di dimostrare che le funzioni $g$ sono $2^c$, e siccome tutte le funzioni di $RR$ in sè hanno cardinalità $2^c$, anche le funzioni $R(a,b)$ avranno la stessa cardinalità visto che non può essere superiore.
Ah già dimenticavo... la dimostrazione non è proprio mia...
2) non so se ho capito... comunque lo scopo è quello di dimostrare che le funzioni $g$ sono $2^c$, e siccome tutte le funzioni di $RR$ in sè hanno cardinalità $2^c$, anche le funzioni $R(a,b)$ avranno la stessa cardinalità visto che non può essere superiore.
Ah già dimenticavo... la dimostrazione non è proprio mia...
"Piera":
1) Ad ogni sottoinsieme $S$ appartenente a $P(K)$ associo una funzione caratteristica la quale è discontinua al più su $K$ che ha misura zero e quindi è integrabile; non ho mica detto che ogni sottoinsieme di misura nulla è un sottoinsieme di $K$.
2) non so se ho capito... comunque lo scopo è quello di dimostrare che le funzioni $g$ sono $2^c$, e siccome tutte le funzioni di $RR$ in sè hanno cardinalità $2^c$, anche le funzioni $R(a,b)$ avranno la stessa cardinalità visto che non può essere superiore.
Ah già dimenticavo... la dimostrazione non è proprio mia...
Quindi il passaggio che consente di applicare il Teorema di Schroeder Berstein è
${funzioni\;g}\subset R[a,b]\subset L[a,b]\subset RR^RR$
Quindi la biezione $RR^RR\rightarrow{funzioni\;g}$ e la iniezione canonica ${funzioni\;g}\rightarrow L[a,b]$ consente di construire l'iniezione $RR^RR\rightarrowL[a,b]$. Ok ora ho capito, grazie, ingegnoso!!
Comunque $card{X\subset RR: X è "Borelliano"}=c$, altra cosa che non so dimostrare, mi aveva fatto pensare che $card(L[a,b])=c$
Saluti
Mistral
E' proprio cosi' Mistral!
Sostanziamente, nello scrivere la dimostrazione ho utilizzato le seguenti argomentazioni, trovate in rete:
The cardinality of the Riemann integrable functions on [0,1] is 2^c. It can not be larger because the family
of the real functions on [0,1] is c^c = 2^c. Moreover, a function
is Riemann integrable iff it is almost everywhere continuous, i.e.
the set of its points of discontinuity is of (Lebesgue) measure
zero. Hence every characteristic function of a subset of the Cantor
set is Riemann integrable, and the Cantor set has 2^c many subsets.
Sostanziamente, nello scrivere la dimostrazione ho utilizzato le seguenti argomentazioni, trovate in rete:
The cardinality of the Riemann integrable functions on [0,1] is 2^c. It can not be larger because the family
of the real functions on [0,1] is c^c = 2^c. Moreover, a function
is Riemann integrable iff it is almost everywhere continuous, i.e.
the set of its points of discontinuity is of (Lebesgue) measure
zero. Hence every characteristic function of a subset of the Cantor
set is Riemann integrable, and the Cantor set has 2^c many subsets.
ciao david_e.... mi potresti dire dove posso torvare la dimostrazione che la cardinalità delle funzioni continue da $RR$ a $RR$ è la stessa di $RR$???
grazie mille...
grazie mille...
Se guardi bene, la dimostrazione è stata scritta.
si grazie piera ma nn capisco la $f:QQ->P(NN)$ come è definita???
è una qualsiasi funzione che ad ogni valore di $QQ$ associa un valore di $P(NN)$
ciao piera scusa nn capisco due cose:
1) perchè $Card(C(RR,RR))<=Card(RR^QQ)$...?
2) perchè la funzione $D(f)$ è iniettiva????
1) perchè $Card(C(RR,RR))<=Card(RR^QQ)$...?
2) perchè la funzione $D(f)$ è iniettiva????
E' noto dall'analisi che una funzione continua è identificata dai suoi valori sull'insieme dei numeri razionali. Ciò significa che ad ogni funzione continua si può associare una funzione avente dominio $QQ$ e codominio $RR$, da cui segue la disuguaglianza $card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ).
Prendi l'insieme di tutte le funzioni da $QQ->P(NN)$, ognuna di esse avrà, per come è definito, un $D(f)$ diverso. Siccome $D(f) subset P(QQxNN)$, la funzione $D : P(NN)^QQ->P(QQxNN)$, che associa ad ogni funzione $f: QQ->P(NN)$ la $D(f)$, sarà iniettiva.
Prendi l'insieme di tutte le funzioni da $QQ->P(NN)$, ognuna di esse avrà, per come è definito, un $D(f)$ diverso. Siccome $D(f) subset P(QQxNN)$, la funzione $D : P(NN)^QQ->P(QQxNN)$, che associa ad ogni funzione $f: QQ->P(NN)$ la $D(f)$, sarà iniettiva.
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