Quante sono le funzioni continue / integrabili?
Salve, avrei bisogno di conoscere la cardinalita' di questi due insiemi:
1) le funzioni continue di $RR$ in se'
2) le funzioni integrabili (secondo L.) sempre di $RR$ in se'
Come posso fare? Grazie per l'aiuto
1) le funzioni continue di $RR$ in se'
2) le funzioni integrabili (secondo L.) sempre di $RR$ in se'
Come posso fare? Grazie per l'aiuto
Risposte
"Lorenzo Pantieri":
Sono completamente d'accordo! Ho sempre visto CH nella teoria ZFC del prim'ordine un po' come il V postulato nella geometria assoluta (geometria assoluta = primi 4 postulati di Euclide):
ZFC + CH = matematica cantoriana; ZFC + negazione di CH = matematica non cantoriana;
Analogamente:
Geometria assoluta + V postulato = geometria euclidea; Geometria assoluta + negazione del V postulato = geometrie non euclidee.
...
Ciao,
L.
Le geometrie non euclidee hanno avuto un notevole impatto sull'intera Matematica; avverra' lo stesso anche con la Matematica "non cantoriana"? So che ci sono gia' stati sviluppo a proposito, ma che proporzioni possono assumere?
"TomSawyer":
Le geometrie non euclidee hanno avuto un notevole impatto sull'intera Matematica; avverra' lo stesso anche con la Matematica "non cantoriana"? So che ci sono gia' stati sviluppo a proposito, ma che proporzioni possono assumere?
Mah, difficile dirlo per chiunque non sia uno specialista di teoria degli insiemi.
Per quanto mi riguarda cercherei formulazioni della teoria degli insiemi che "risolvano" CH, come del resto è stato fatto negli ultimi 50 anni, attraverso ad esempio la ricerca di nuovi assiomi. Godel ad esempio era di questo avviso. Cohen invece suggeriva invece di lasciar perdere tale ricerca. Tuttavia cercherei anche una logica più espressiva di quella del prim'ordine, ma molto meno di quella del secondo. Woodin in effetti ha introdotto qualcosa di davvero originale, ovvero una specie di nuova logica per la teoria degli insiemi. Per ora non ho nemmeno lontanamente il tempo per tentare di leggere il lavoro di Woodin, e forse non lo avrò mai
Ciao Fileds, permettimi di aggiungere qualcosa. Come dice (credo) Cohen, "il concetto di insieme è troppo vago perché si possa decidere l'ipotesi del continuo". Ora, l'indecidibilità di CH stride, di primo acchito, con la tua affermazione secondo cui "visto che $RR$ è univocamente definito, ha senso chiedersi se esiste un sottoinsisme di $RR$ con cardinalità strettamente compresa tra quella di $NN$ e quella di $RR$ stesso". Come si risolve, questa apparente contraddizione?
Il punto, secondo me, è questo. $RR$ è un campo ordinato completo in cui ogni insieme superiormente limitato ammette sup: è vero che ogni altro campo siffatto è isomorfo ad $RR$. Tuttavia, la definizione di $RR$ poggia sul concetto di insieme. Visto che CH non è decisa dalla teoria degli insiemi, non è possibile dare una risposta alla tua domanda! Cioè, in ZFC+CH la risposta sarà: no. In ZFC+non CH la risposta sarà: sì.
In altre parole: $RR$ è sì definito univocamente, ma all'interno della teoria ZFC. Poiché la teoria ZFC non decide CH, non è possibile rispondere alla domanda "esiste un sottoinsisme di $RR$ con cardinalità strettamente compresa tra quella di $NN$ e quella di $RR$ stesso?". Questa domanda, d'altra parte, fa riferimento ad $RR$, che è un insieme, ai suoi sottoinsiemi e al concetto di cardinalità, concetti che poggiano tutti pesantemente sulla teoria ZFC!
Analogamente, in geometria assoluta non è possibile rispondere alla domanda "esiste un triangolo la cui somma degli angoli interni sia uguale a due retti?". Non si può rispondere di sì (altrimenti saremmo in geometria euclidea, e avremmo dimostrato che il quinto postulato discende dagli altri quattro), ma neanche di no (altrimenti saremmo in geometria iperbolica e avremmo provato che la geometria euclidea non esiste). Questo (l'imposibilità di ripondere a delle domande che di primo acchito una risposta ce l'hanno) è, forse, un paradosso... ma la matematica ne è ricca!
Che ne pensi?
Ciao,
L.
P.S. Comunque questi concetti sono davvero spinosi: è facile capire perché i matematici e i logici che li hanno sviscerati ci hanno, a volte, perso il senno...
Il punto, secondo me, è questo. $RR$ è un campo ordinato completo in cui ogni insieme superiormente limitato ammette sup: è vero che ogni altro campo siffatto è isomorfo ad $RR$. Tuttavia, la definizione di $RR$ poggia sul concetto di insieme. Visto che CH non è decisa dalla teoria degli insiemi, non è possibile dare una risposta alla tua domanda! Cioè, in ZFC+CH la risposta sarà: no. In ZFC+non CH la risposta sarà: sì.
In altre parole: $RR$ è sì definito univocamente, ma all'interno della teoria ZFC. Poiché la teoria ZFC non decide CH, non è possibile rispondere alla domanda "esiste un sottoinsisme di $RR$ con cardinalità strettamente compresa tra quella di $NN$ e quella di $RR$ stesso?". Questa domanda, d'altra parte, fa riferimento ad $RR$, che è un insieme, ai suoi sottoinsiemi e al concetto di cardinalità, concetti che poggiano tutti pesantemente sulla teoria ZFC!
Analogamente, in geometria assoluta non è possibile rispondere alla domanda "esiste un triangolo la cui somma degli angoli interni sia uguale a due retti?". Non si può rispondere di sì (altrimenti saremmo in geometria euclidea, e avremmo dimostrato che il quinto postulato discende dagli altri quattro), ma neanche di no (altrimenti saremmo in geometria iperbolica e avremmo provato che la geometria euclidea non esiste). Questo (l'imposibilità di ripondere a delle domande che di primo acchito una risposta ce l'hanno) è, forse, un paradosso... ma la matematica ne è ricca!
Che ne pensi?
Ciao,
L.
P.S. Comunque questi concetti sono davvero spinosi: è facile capire perché i matematici e i logici che li hanno sviscerati ci hanno, a volte, perso il senno...
Uhm, Lorenzo, capisco bene quello che vuoi dire. Da formalista quale sono, ti darei senz'altro ragione. Gli oggetti e gli universi matematici si definiscono attraverso assiomi, e non ha senso riferirsi ad oggetti e universi che non siano prima rigorosamente definiti. Se il concetto di insieme, formulato attraverso ZFC, non decide CH, semplicemente vuol dire che esso non è univocamente determinato, e quindi interrogarsi sulla verità di CH non ha senso, poiché la verità di CH dipende dalla particolare "istanza" del concetto di insieme via via considerata.
Tuttavia, consideriamo PA, l'aritmetica di Peano al prim'ordine. PA non definisce univocamente i naturali: sappiamo che esistono modelli non standard di PA. Per definire $NN$ abbiamo bisogno parlare dei sottinsiemi di $NN$. Ecco dunque che anche nella banale definizione dei naturali, abbiamo bisogno di ZFC
. Tuttavia, una facile argomentazione mostra che esistono modelli di ZFC in cui $NN$ viene interpretato come un insieme con una cardinalità pari a quella di $RR$. Evidentemente ZFC non basta a definire $NN$.
Dobbiamo allora rassegnarci al fatto che anche i naturali non sono univocamente definiti? Il concetto di $NN$ è vago? Dunque non ha senso chiederci se certe affermazioni sui naturali sono vere o false? (parlo di quelle indecidibili in PA)
Noi tutti sappiamo che $NN$ contiene $0,1,2,3.........$ e nient'altro, tuttavia le formulazioni assiomatiche, comprese quelle che fanno uso di ZFC, a volte buttano dentro $NN$ gente che non c'entra niente, e non riescono ad esprimere che in $NN$ non c'è nient'altro oltre a $0,1,2,...$. Tuttavia io, come molti altri, ho bene in mente cosa sia esattamente $NN$, e mi sento di parlare di verità e falsità delle affermazioni indecidibili in PA. Sicché, perché non dovrei parlare di verità o falsità anche di CH?
Bada bene, questi sono interrogativi di cui ovviamente non ho risposta.
ps: Effettivamente la questione è molto ardua
Tuttavia, consideriamo PA, l'aritmetica di Peano al prim'ordine. PA non definisce univocamente i naturali: sappiamo che esistono modelli non standard di PA. Per definire $NN$ abbiamo bisogno parlare dei sottinsiemi di $NN$. Ecco dunque che anche nella banale definizione dei naturali, abbiamo bisogno di ZFC
. Tuttavia, una facile argomentazione mostra che esistono modelli di ZFC in cui $NN$ viene interpretato come un insieme con una cardinalità pari a quella di $RR$. Evidentemente ZFC non basta a definire $NN$.Dobbiamo allora rassegnarci al fatto che anche i naturali non sono univocamente definiti? Il concetto di $NN$ è vago?
Dunque non ha senso chiederci se certe affermazioni sui naturali sono vere o false? (parlo di quelle indecidibili in PA)Noi tutti sappiamo che $NN$ contiene $0,1,2,3.........$ e nient'altro, tuttavia le formulazioni assiomatiche, comprese quelle che fanno uso di ZFC, a volte buttano dentro $NN$ gente che non c'entra niente, e non riescono ad esprimere che in $NN$ non c'è nient'altro oltre a $0,1,2,...$. Tuttavia io, come molti altri, ho bene in mente cosa sia esattamente $NN$, e mi sento di parlare di verità e falsità delle affermazioni indecidibili in PA. Sicché, perché non dovrei parlare di verità o falsità anche di CH?
Bada bene, questi sono interrogativi di cui ovviamente non ho risposta.
ps: Effettivamente la questione è molto ardua
"fields":
Tuttavia, una facile argomentazione mostra che esistono modelli di ZFC in cui $NN$ viene interpretato come un insieme con una cardinalità pari a quella di $RR$.
Teorema di compattezza e Löwenheim–Skolem Ascendente?
"fields":
Noi tutti sappiamo che $NN$ contiene $0,1,2,3.........$ e nient'altro, tuttavia le formulazioni assiomatiche, comprese quelle che fanno uso di ZFC, a volte buttano dentro $NN$ gente che non c'entra niente, e non riescono ad esprimere che in $NN$ non c'è nient'altro oltre a $0,1,2,...$.
Che tipo di gente buttano dentro (o non riescono a buttar fuori da
) $NN$?
"fields":
Uhm, Lorenzo, capisco bene quello che vuoi dire. Da formalista quale sono...
Eh, siamo (almeno) in due...
"fields":
Tuttavia, consideriamo PA, l'aritmetica di Peano al prim'ordine. PA non definisce univocamente i naturali: sappiamo che esistono modelli non standard di PA. ...una facile argomentazione mostra che esistono modelli di ZFC in cui $NN$ viene interpretato come un insieme con una cardinalità pari a quella di $RR$.
Guarda, non so entrare nel merito preciso di quanto dici, ma... mi sembra impossibile. Oddio, la matematica è ricca di sorprese (dalla scoperta dell'esistenza degli irrazionali in poi...), ma davvero mi sembra troppo pensare ad $NN$ equipotente ad $RR$!
Magari questo potrebbe essere vero in qualche logica "strana" e/o con qualche ipotesi aggiuntiva "esotica". Ma nella matematica "normale", mi sembra davvero impossibile. Se così fosse, dovrei buttar via quasi tutti i libri su cui ho studiato. Grazie per i tuoi interventi, sempre preziosi e stimolanti.
Ciao,
L.
P.S. Forse la cosa è un po' come dire che, in realtà, si può fare la derivata della funzione di Heaviside. Non si può fare, ma esiste una teoria in cui si può estendere il concetto di funzione e di derivata. Allora si può dire che "la derivata del gradino è la delta", ma questo solo in un certo senso (che non è quello delle funzioni ordinarie).
"TomSawyer":
[quote="fields"]Tuttavia, una facile argomentazione mostra che esistono modelli di ZFC in cui $NN$ viene interpretato come un insieme con una cardinalità pari a quella di $RR$.
Teorema di compattezza e Löwenheim–Skolem Ascendente?
[/quote]
Eh, eh, ottimo TomSawyer, hai capito al volo l'argomentazione
. Ci sono dei modelli di $PA$ che in $NN$ buttano dentro della gente che non sono numeri naturali. Non saprei dirti chi sia questa gente! 
Bisognerebbe definire costruttivamente tali modelli. Immagino che si usino le ultra potenze (vedi ultra power e ultra product) di $NN$ per farlo."Lorenzo Pantieri":
Ma nella matematica "normale", mi sembra davvero impossibile. Se così fosse, dovrei buttar via quasi tutti i libri su cui ho studiato.
No, Lorenzo, non devi buttare i libri che hai studiato. Qui ci scontriamo con i limiti della formalizzazione. Noi accettiamo che $NN$ sia ben definito, intuitivamente, sebbene nessun sistema assiomatico davvero rigoroso sia in grado di definire $NN$.
Ti dò un idea. Come è definito $NN$ in ZFC? Un insieme $X$ si dice induttivo se $\emptyset \in X$ e se $\alpha\in X$ implica $\alpha uu{\alpha}in X$. ZFC dice, come assioma, che esiste un insieme induttivo $Y$. $NN$ si definisce allora come l'intersezione di tutti i sottinsiemi induttivi di $Y$. Dal momento che $P(Y)$ potra' farsi "scappare" qualche sottinsieme di $Y$, possiamo immaginare intuitivamente che in $NN$ possano comparire degli "intrusi" oltre a $0=\emptyset$, $1={\emptyset}$, $2={\emptyset,{\emptyset}}$, etc.
Capisci dunque perche' ho detto che il concetto di insieme potenza e' problematico? Considera l'assioma dell'insieme potenza.
$\forall y \exists P(y)\forall x (x\sube y \rightarrow x\in P(y))$
Come puoi notare, il problema e' la quantificazione $\forall x$. Essa si riferisce agli insiemi gia' presenti nel modello . Ovvero, l'assioma dice che se un insieme $x$ e' nel modello e se $x$ e' un sottinsieme di $y$, allora $x\in P(y)$. Per funzionare, l'assioma dell'insieme potenza, avrebbe bisogno che un Demiurgo mettesse preventivamente nel modello tutti i sottinsiemi di $y$. Inutile dirlo, tale Demiurgo non c'e'.
"fields":
Dal momento che $P(Y)$ potra' farsi "scappare" qualche sottinsieme di $Y$, possiamo immaginare intuitivamente che in $NN$ possano comparire degli "intrusi" oltre a $0=\emptyset$, $1={\emptyset}$, $2={\emptyset,{\emptyset}}$, etc.
Qui non ho capito come $P(Y)$ possa farsi scappare qualche sottoinsieme di $Y$. Non dovrebbe essere per definizione l'insieme di tutti i sottoinsiemi di $Y$?
"TomSawyer":
[quote="fields"]Dal momento che $P(Y)$ potra' farsi "scappare" qualche sottinsieme di $Y$, possiamo immaginare intuitivamente che in $NN$ possano comparire degli "intrusi" oltre a $0=\emptyset$, $1={\emptyset}$, $2={\emptyset,{\emptyset}}$, etc.
Qui non ho capito come $P(Y)$ possa farsi scappare qualche sottoinsieme di $Y$. Non dovrebbe essere per definizione l'insieme di tutti i sottoinsiemi di $Y$?[/quote]
$P(y)$ certamente, per definizione, soddisfa l'assioma:
$\forall x (x\sube y\rightarrow x\in P(y))$
Sembrerebbe dunque che $P(y)$ contenga tutti i sottinsiemi di $y$. Invece cio' non e' necessariamente vero. Chi ti dice che nel modello ci sono tutti i sottinsiemi di $y$? Cio' che si puo' dire e' che $P(y)$ contiene tutti i sottinsiemi di $y$ presenti nel modello. Infatti la quantificazione universale $\forall x $ si riferisce agli elementi del modello, obbligando i sottinsiemi di $y$ appartenti al modello ad appartenere a $P(y)$. Dunque la quantificazione $\forall x$ non necessariamente si riferisce a tutti i sottinsiemi di $y$, che noi immaginiamo esistere da qualche parte nella nostra mente. Quindi qualche sottinsieme di $y$ puo' sfuggire a $P(y)$.
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