Quante sono le funzioni continue / integrabili?

[erasmo1]

Salve, avrei bisogno di conoscere la cardinalita' di questi due insiemi:

1) le funzioni continue di $RR$ in se'

2) le funzioni integrabili (secondo L.) sempre di $RR$ in se'

Come posso fare? Grazie per l'aiuto

[miuemia]

ok grazie piera si ho ridimostrato il fatto che una funzione continua a valori reali è completmente determinato dai valori che assume su $QQ$... poi forse si poteva già concludere dalla maggiorazione $card(C(RR,RR))≤card(RR^QQ)=2^{\aleph_{0}\aleph_{0}}=\aleph_{1}$
per l'ipotesi del continuo generalizzata...
grazie ancora
cviao ciao

[Piera4]

Una volta dimostrato che $card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)=aleph_1$, la tesi segue dal fatto che le funzioni continue hanno cardinalità non inferiore ad $aleph_1$ (ad esempio, tutte le funzioni continue $y=a*x$, con $a in RR$ hanno cardinalita pari a $aleph_1$).
Non ho capito come sfrutti l'ipotesi del continuo generalizzata.

[miuemia]

da nessuna parte sfrutto solo HC.... perchè scomodare signori così grossi....

[Piera4]

Guarda, forse sbaglio, in fin dei conti non so quasi nulla di queste cose.
Ma visto che si è dimostrato che $aleph_1<=card(C(RR,RR))<=card(RR^QQ)=aleph_1$
a che serve l'ipotesi del continuo?

[Principe2]

"fields":

Fai male, perché del recente lavoro di Woodin sembra indicare che la nostra concezione intuitiva degli insiemi porta a determinare la falsità dell'Ipotesi del Continuo (naturalmente aggiungendo qualche assioma "molto plausibile" dal punto di vista intuitivo). E in ogni caso molti esperti sono orientati verso la falsità di tale Ipotesi.

Ma l'ipotesi del continuo è indipendente dall'assioma di scelta?

[Lorenzo Pantieri]

"ubermensch":
Ma l'ipotesi del continuo è indipendente dall'assioma di scelta?

Mi risulta che l'ipotesi del continuo sia indecidibile sia nella teoria ZF sia nella teoria ZFC (Zermelo-Frankel con l'assioma di scelta).

Ciao,
L.

[Principe2]

Anche a me pare di aver sentito cosi... ma volevo una conferma...
ho una paura folle che finisca il mondo... sai com'è.. il lemma di Zorn..

[Lorenzo Pantieri]

"ubermensch":Anche a me pare di aver sentito cosi... ma volevo una conferma...
ho una paura folle che finisca il mondo... sai com'è.. il lemma di Zorn..

Perché? Che ha fatto il lemma di Zorn?

http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Zorn

Personalmente, che in un sistema assiomatico possano esserci affermazioni indecidibili non mi dà un particolare fastidio, né mi sorprende. In fin dei conti, basta fermarsi alla definizione di gruppo: affermazioni del tipo "G ha un numero finito di elementi", "G ha un elemento di periodo 2", "G è abeliano", ... sono tutte indecidibili, nel sistema assiomatico che definisce la struttura di gruppo. E gli esempi si possono moltiplicare. Tutte le volte che si hanno esempi di strutture non isomorfe, si ha un esempio di sistema incompleto.

Ciao,
L.

[Piera4]

Sussistono i seguenti teoremi:
1.(Godel, 1938) Se ZFC è consistente, allora ZFC+CH è consistente.
2.(Cohen, 1963) Se ZFC è consistente, allora ZFC+ (CH negato) è consistente.
In altre parole ZFC, se consistente, non è capace di provare nè CH nè la sua negazione. Dunque CH (o la sua negazione) può essere assunta come nuovo assioma.

Con ZFC consistente si intende che ZFC è capace di evitare ogni possibile paradosso. Ad esempio, Godel ha dimostrato che sulla base di ZF non si può dimostrare la consistenza di ZF.

[fields1]

E' ben noto che l'ipotesi del continuo è indipendente in ZF e ZFC, come hanno detto Lorenzo e Piera. Io ho infatti parlavo non della dimostrabilità di CH in ZF, ma della sua falsità (o meno). E' un'affermazione matematica ben precisa l'affermare che non esistono sottinsiemi di $RR$ non in biettività né con $NN$ né con $RR$, e ci si può chiedere se sia vera o falsa.

[Principe2]

"Lorenzo Pantieri:Perché? Che ha fatto il lemma di Zorn?
L.

Il lemma di Zorn è equivalente all'assioma di scelta ... per un attimo ho
avuto paura che quest'ultimo fosse equivalente all'ipotesi del continuo e
quindi se si arrivasse a negare l'ipotesi del continuo si negherebbe anche
Zorn... e questa sarebbe la fine del mondo!

[Lorenzo Pantieri]

"fields":E' ben noto che l'ipotesi del continuo è indipendente in ZF e ZFC, come hanno detto Lorenzo e Piera. Io ho infatti parlavo non della dimostrabilità di CH in ZF, ma della sua falsità (o meno). E' un'affermazione matematica ben precisa l'affermare che non esistono sottinsiemi di $RR$ non in biettività né con $NN$ né con $RR$, e ci si può chiedere se sia vera o falsa.

Ciao Fields, sai che non mi convince? Potrei dire: "è un'affermazione matematica ben precisa l'affermare che in un gruppo esiste un elemento di periodo 2, e ci si può chiedere se questa affermazione sia vera o falsa".

Però, questa affermazione non può essere né vera né falsa, nell'ambito della teoria dei gruppi: infatti, banalmente, esistono esempi di gruppi per cui è vera, ed esempi di gruppi per cui non lo è.

Sarei lieto di conoscere il tuo punto di vista: è enormemente probabile che mi sfugga qualcosa!

Ciao,
L.

[Lorenzo Pantieri]

Scusate l'up... ma sarei davvero interessato a conoscere il vostro punto di vista in merito!

Ancora scusa,
L.

[Lorenzo Pantieri]

Perdonate il monologo. Vi riassumo quanto credo di aver capito sull'ipotesi del continuo.

L’ipotesi del continuo (in breve CH, dall’inglese continuum hypothesis) è un’ipotesi avanzata da Cantor. Essa afferma che non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente compresa fra quella dei numeri naturali e quella dei numeri reali. Gli studi di Gödel e Cohen hanno permesso di stabilire che nella teoria degli insiemi di ZF comprensiva dell’assioma di scelta, l’ipotesi del continuo risulta indecidibile. Nel 1940, Gödel dimostrò che l’ipotesi del continuo non è refutabile usando il sistema di assiomi di ZF, neppure con l’aggiunta dell’assioma della scelta. Gödel costruì un modello della teoria degli insiemi (gli “insiemi costruibili”) in cui CH è vera. Essendo vera in qualche modello, quest’ultima non può dunque essere refutabile sulla base degli assiomi della teoria. D’altra parte, nel 1963 Paul Cohen dimostrò che CH non è dimostrabile a partire da quegli assiomi. Cohen costruì questa volta dei modelli della teoria degli insiemi di ZF con l’assioma di scelta, in cui CH è falsa. Il risultato complessivo è che CH è indipendente dal sistema di assiomi di ZF e dall’assioma della scelta. Quindi entrambe le scelte sono, per così dire, legittime e portano a sviluppi interessanti. D’altronde una cosa simile succede per la geometria; considerati i primi quattro assiomi di Euclide, il quinto lo si può accettare, ottenendo così la geometria euclidea, o ricusare, ottenendo così le geometrie non euclidee. L’ipotesi del continuo, nella teoria degli insiemi,può essere considerata come il quinto postulato di Euclide per la geometria.

Riassumendo, come dice Cohen, la nozione di insieme è troppo vaga perché si possa decidere l'ipotesi del continuo: in altre parole, i "dati" sono insufficienti per decidere!

Ciao,
L.

[fields1]

"Lorenzo Pantieri":Ciao Fields, sai che non mi convince? Potrei dire: "è un'affermazione matematica ben precisa l'affermare che in un gruppo esiste un elemento di periodo 2, e ci si può chiedere se questa affermazione sia vera o falsa".

Però, questa affermazione non può essere né vera né falsa, nell'ambito della teoria dei gruppi: infatti, banalmente, esistono esempi di gruppi per cui è vera, ed esempi di gruppi per cui non lo è.

Non è precisa questa affermazione. Cosa vuol dire: "In un gruppo esiste un elemento di periodo 2"? Quale gruppo? Di solito un'affermazione del genere viene interpretata come: "In ogni gruppo esiste un elemento di periodo 2", oppure come: "Esiste un gruppo con un elemento di periodo 2", e tali affermazioni o sono vere o false.

La faccenda è che un'affermazione matematica, per essere precisa, deve riferirsi ad un oggetto definito univocamente. Il concetto di gruppo non ammette una sola interpretazione, ovvero un solo modello, ma modelli fra loro non isomorfi. Per cui un affermazione come la tua è vera in certi gruppi falsa in altri.

Il punto è che l'insieme dei numeri reali è invece definito univocamente: $RR$ è un campo ordinato tale che ogni suo sottinsieme non vuoto e superiormente limitato ha estremo superiore. Qualunque affermazione io faccia su $RR$, che non comprenda altri concetti, è vera o falsa, indipendentemente dal fatto che la possiamo dimostrare oppure no.

Naturalmente CH comprende anche il concetto di funzione, anzi, peggio, il concetto di "insieme di tutti i sottinsiemi". CH dice che per ogni sottinsieme $S$ di $RR$, $S$ è finito oppure in biettività con $RR$ o con $NN$. Se accettiamo tuttavia anche il concetto di "insieme di tutti i sottinsiemi", come fa la stragrande maggioranza dei matematici, CH diventa vera o falsa, perché si riferisce ad un unico "universo". Formalmente, nella logica del secondo ordine e nella teoria degli insiemi del secondo ordine, CH è vera o falsa (riferendoci all'unico modello $RR$ in essa definibile)


(Devo inoltre ricordare che è lo stesso Cohen, purtroppo da poche settimane scomparso, che propendeva verso la falsità di CH. (lo affermava in un intervista di cui al momento non il link))

Arriviamo allora al problema fondamentale della teoria degli insiemi: l'assioma dell'insieme potenza. A parer mio, e giustificato, è questo l'assioma più problematico. Il punto è che se $X$ è un insieme infinito, $P(X)$ è un concetto che non può essere espresso nella logica del primo ordine.
Tale risultato è noto come "paradosso di Skolem". Ogni modello della teoria degli insiemi dovrebbe contenere $P(NN)$, e quindi una quantità non numerabile di elementi, per il teorema di Cantor, il quale è dimostrabile in ZF. Tuttavia si può dimostrare che ZF ha un modello numerabile. Ne segue che l'assioma dell'insieme potenza non forza quello che ci aspetteremmo: il comprendere tutti i sottinsiemi di $NN$. (il discorso naturalmente è molto più sottile, e in poche righe non si può dare una vera idea della questione)
Difficile dunque pensare che la teoria ZF del prim'ordine decida CH, e in effetti non è questo il caso

D'altra parte la logica del secondo ordine non definisce il concetto di "insieme dei sottinsiemi", ma lo ingloba dentro di sè "di serie", sicché non lo scompone in concetti meno "metafisici" e analizzabili logicamente. Sicché l'intera questione è davvero difficile, ed è davvero difficile stabilire se il concetto di $P(NN)$ abbia un senso o meno. Certo è che c'è gente che ci sta lavorando, vedi Woodin.

[Lorenzo Pantieri]

"fields":Cosa vuol dire: "In un gruppo esiste un elemento di periodo 2"? Quale gruppo? Di solito un'affermazione del genere viene interpretata come: "In ogni gruppo esiste un elemento di periodo 2", oppure come: "Esiste un gruppo con un elemento di periodo 2", e tali affermazioni o sono vere o false. La faccenda è che un'affermazione matematica, per essere precisa, deve riferirsi ad un oggetto definito univocamente. Il concetto di gruppo non ammette una sola interpretazione, ovvero un solo modello, ma modelli fra loro non isomorfi. Per cui un affermazione come la tua è vera in certi gruppi falsa in altri.

Giusto, il concetto di gruppo non è definito univocamente. Infatti, esistono gruppi per cui quell'affermazione è vera, altri per cui è falsa. Quella che volevo fare era un'analogia con la teoria ZFC: esitono modelli della teoria per cui CH è vera, altri per cui è falsa. Il fatto è che gli assiomi della teoria ZFC non definiscono univocamente il concetto di insieme, per cui l'affermazione "non esiste un insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa tra $NN$ e $RR$" può essere vera in un modello di ZFC (gli "insiemi costruibili" di Goedel) e falsa in un altro.

"fields":Il punto è che l'insieme dei numeri reali è invece definito univocamente: $RR$ è un campo ordinato tale che ogni suo sottinsieme non vuoto e superiormente limitato ha estremo superiore. Qualunque affermazione io faccia su $RR$, che non comprenda altri concetti, è vera o falsa, indipendentemente dal fatto che la possiamo dimostrare oppure no. CH dice che per ogni sottinsieme $S$ di $RR$, $S$ è finito oppure in biettività con $RR$ o con $NN$.

Vero, $RR$ è definito univocamente. E questo (apparente) "paradosso" è la ragione dei miei dubbi. Penso che, forse, il nodo della questione stia in come si formula CH.
1. Siamo sicuri che questa formulazione di CH ("per ogni sottinsieme $S$ di $RR$, $S$ è finito oppure in biettività con $RR$ o con $NN$") sia equivalente a dire "non esiste un insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa tra $NN$ e $RR$"? Forse non è così!
2. L' appello ai sottoinsiemi ("per ogni sottoinsieme..."), forse, sposta il problema prorpio al second'ordine. In effetti, so anch'io che l’ipotesi del continuo è decisa dalla teoria del second’ordine degli insiemi:

benché non sia indipendente, come nel caso della teoria del prim’ordine di ZF, nessuno sa però in che direzione essa sia decisa: in altre parole, se sia vera o falsa nel modello minimale.

Che ne pensi?

Ti ringrazio per le tue osservazioni, come sempre preziosissime!

Un salutone,
Lorenzo

[fields1]

"Lorenzo Pantieri":
1. Siamo sicuri che questa formulazione di CH ("per ogni sottinsieme $S$ di $RR$, $S$ è finito oppure in biettività con $RR$ o con $NN$") sia equivalente a dire "non esiste un insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa tra $NN$ e $RR$"? Forse non è così!

Direi che sono equivalenti. Possiamo provarlo in ZFC. E' ben noto che possiamo associare ad un insieme un unico ordinale, per il teorema del buon ordinamento di Zermelo. Se esiste un insieme $X$ di cardinalità strettamente compresa fra quella di $NN$ e $RR$, associamo a $X$ un ordinale $\alpha$. Sia $\beta$ l'ordinale associato a $RR$. Dati due ordinali, uno appartiene all'altro, essendo essi bene ordinati dalla relazione $\in$. Per ragioni di cardinalita' deve essere $\alpha\in\beta$. Ne segue che $X$ e' equinumeroso ad un segmento iniziale di $\beta$ e dunque del buon ordinamento di $RR$, che quindi viene ad avere un sottinsieme di cardinalita' pari a quella di $X$.

L'altra direzione dell'equivalenza e' banale.


Per il resto concordo sul fatto che CH viene "risolta" al secondo ordine. Certo la logica del secondo ordine e' molto problematica dal punto di vista dei "fondamenti".

Concordo anche sul fatto che al prim'ordine non ha senso parlare di verita' o falsita' di CH, mentre ha senso farlo al secondo ordine, essendo $RR$ definito univocamente solo con la quantificazione sui sottinsiemi. In ogni caso tutti noi abbiamo in mente i numeri reali come qualcosa di ben definito, quindi intuitivamente utilizziamo il "secondo ordine".

[fields1]

Una nota. Il concetto di "insieme di tutti i sottinsiemi" e' critico anche quando ci si riferisce all'espressione: "esiste una biettivita'". Infatti l'insieme delle funzioni $X\rightarrow Y$ e' un sottinsieme di $P(XxY)$, per cui tutto dipende da quali insiemi contiene $P(XxY)$ (spesso, non tutti quelli che dovrebbe avere). La biettivita' cercata potrebbe esistere "in senso assoluto", ma non in un particolare modello di ZFC, portando ad una falsificazione di CH in quel modello.

[Lorenzo Pantieri]

"fields":
Per il resto concordo sul fatto che CH viene "risolta" al secondo ordine. Certo la logica del secondo ordine e' molto problematica dal punto di vista dei "fondamenti".

Concordo anche sul fatto che al prim'ordine non ha senso parlare di verita' o falsita' di CH, mentre ha senso farlo al secondo ordine, essendo $RR$ definito univocamente solo con la quantificazione sui sottinsiemi. In ogni caso tutti noi abbiamo in mente i numeri reali come qualcosa di ben definito, quindi intuitivamente utilizziamo il "secondo ordine".

Sono completamente d'accordo! Ho sempre visto CH nella teoria ZFC del prim'ordine un po' come il V postulato nella geometria assoluta (geometria assoluta = primi 4 postulati di Euclide):

ZFC + CH = matematica cantoriana;
ZFC + negazione di CH = matematica non cantoriana;

Analogamente:

Geometria assoluta + V postulato = geometria euclidea;
Geometria assoluta + negazione del V postulato = geometrie non euclidee.

Chiedersi, al prim'ordine, se CH è vera o falsa non ha senso: è come chiedersi se l'enunciato del V postulato è vero o falso nell'ambito della geometria assoluta. La risposta è: né vero né falso; esistono dei modelli in cui è vero, e modelli in cui non lo è (chiaramente i modelli non sono isomorfi).

In altre parole, ZFC e la geometria assoluta sono sistemi incompleti.

Hai trovato fuori luogo la mia analogia con la teoria dei gruppi. Tuttavia, credo che l'analogia abbia una sua ragion d'essere. Il concetto di gruppo non è univocamente definito. Quindi, per esempio, chiedersi la proprietà C: $a*b=b*a$ per ogni $a$ e $b$ sia vera o falsa non ha senso. Esistono modelli in cui è vero (i gruppi abeliani), altri in cui è falso (i gruppi non abeliani). Possiamo affiancare ai postulati che definiscono un gruppo la commutatività (e otteniamo i gruppi abeliani), oppure la sua negazione (e otteniamo i gruppi non abeliani):

Gruppo + C = Gruppo abeliano;
Gruppo + negazione di C = gruppo non abeliano;

Grazie di tutto!

Ciao,
L.

[fields1]

Concordo Lorenzo, è il modo giusto di vedere le cose. E interrogarsi sulla verità di CH equivale, nell'analogia, al domandarsi se nel nostro universo valga o non valga il V postulato di Euclide