Min, max e punti sella di funzione f(x,y) non derivabile
Ho trovato questo esercizio che è uscito qualche mese fa nella mia facoltà e non ne ho mai incontrati di questo tipo.
Inizialmente ho pensato di vedere se la funzione è continua in (0,0).. se non lo fosse stata avrei detto che (0,0) non è nè punto sella nè punto di max,min ma purtroppo verifico che è lì la funzione è continua.
Per calcolare min, max e punti sella io procedo generalmente cercando i punti critici ma in questo caso dò per scontato che il punto (0,0) sia punto critico visto che mi viene dato a parte e che si comporta in maniera "strana" nella funzione.
Quindi procedo verificando l'hessiana ma in questo caso mi rendo conto che non posso calcolarla visto che la funzione non è derivabile in (0,0). Quindi cosa faccio? Vi prego ho esame domani
Inizialmente ho pensato di vedere se la funzione è continua in (0,0).. se non lo fosse stata avrei detto che (0,0) non è nè punto sella nè punto di max,min ma purtroppo verifico che è lì la funzione è continua.
Per calcolare min, max e punti sella io procedo generalmente cercando i punti critici ma in questo caso dò per scontato che il punto (0,0) sia punto critico visto che mi viene dato a parte e che si comporta in maniera "strana" nella funzione.
Quindi procedo verificando l'hessiana ma in questo caso mi rendo conto che non posso calcolarla visto che la funzione non è derivabile in (0,0). Quindi cosa faccio? Vi prego ho esame domani
Risposte
In questo caso la cosa più semplice da fare è usare nient'altro che le definizioni (di max, min, sella, etc.).
La funzione in $(0.0)$ vale $0$.
E basta prendere $(x,x)$ nel primo e nel quarto quadrante per vedere subito che non hai max/min.
Su "sella", dipende dalla definizione che ti è stata data...
La funzione in $(0.0)$ vale $0$.
E basta prendere $(x,x)$ nel primo e nel quarto quadrante per vedere subito che non hai max/min.
Su "sella", dipende dalla definizione che ti è stata data...
"Fioravante Patrone":
E basta prendere $(x,x)$ nel primo e nel quarto quadrante per vedere subito che non hai max/min.
Su "sella", dipende dalla definizione che ti è stata data...
Mi spieghi entrambe le cose? scusa ma domani ho esame e ho poco tempo per andare a cercare libri diversi dal mio e studiarci su.. mi faresti un immenso favore.. te lo chiedo col cuore in mano
EDIT Provando a capire quello che hai detto nella prima riga quotata: studio ad occhio la funzione vedendo che il segno dipende solo da x e y (quelli non al quadrato) quindi vedo che la funzione assume (in base alla combinazione di tali) valori positivi e negativi.. dunque non è nè max, nè minimo.. il punto sella come lo verifico? E' giusto aver verificato all'inizio se la funzione era continua in (0,0)?
Io ti suggerirei di andare a dormire presto. Col cuore in mano, davvero.
Alla prima, la risposta è ovvia.
Se fosse min locale, la $f$ sarebbe maggiore o uguale di zero in un intorno di $(0,0)$.
Ma in ogni intorno assume valori strettamente negativi (prendi i punti che ti ho consigliato io nel terzo quadrante).
Il resto viene da sé.
Sulle selle, ribadisco: non conosco la def che "voi" usate...
Alla prima, la risposta è ovvia.
Se fosse min locale, la $f$ sarebbe maggiore o uguale di zero in un intorno di $(0,0)$.
Ma in ogni intorno assume valori strettamente negativi (prendi i punti che ti ho consigliato io nel terzo quadrante).
Il resto viene da sé.
Sulle selle, ribadisco: non conosco la def che "voi" usate...
"Fioravante Patrone":
Io ti suggerirei di andare a dormire presto. Col cuore in mano, davvero.
Alla prima, la risposta è ovvia.
Se fosse min locale, la $f$ sarebbe maggiore o uguale di zero in un intorno di $(0,0)$.
Ma in ogni intorno assume valori strettamente negativi (prendi i punti che ti ho consigliato io nel terzo quadrante).
Il resto viene da sé.
Sulle selle, ribadisco: non conosco la def che "voi" usate...
per quello che ho capito io (scusa anche la stanchezza) provo a verificare intorni e trovo che in (0+,0+) la funzione è positiva (0-,0-) è negativa quindi non è sempre negativa o positiva e non è un punto nè di max nè di sella (vorrei capire se sto ragionamento è giusto).
Per la sella.. dammi tu una definizione e fammi capire come applicarla.. la teoria lì non ci è stata data (so che sembra strano ma è così)
"CyberCrasher":
Per la sella.. dammi tu una definizione e fammi capire come applicarla.. la teoria lì non ci è stata data (so che sembra strano ma è così)
Spero tu ti renderai conto domani, quando sarai più rilassato, che non ha senso:
- non serve che io usi la "mia" definizione, visto che ovviamente quella che conta è la "tua" (rileggiti quanto dicevo nel primo post)
- o no? Non vi è stata data? E allora come fanno a chiedervi qualcosa in merito?
non ho orale.. solo scritto.. e visto che mi sono preparato in estate non ho seguito alcun corso.. mi interessa solo raggiungere meccanicamente il risultato
questo non riesco a capirlo
forse volevi scrivere (x,y)? non è la stessa cosa che ho scritto io? ovvero provando valori entrambi positivi di x e y ed entrambi negativi di x,y?
"Fioravante Patrone":
E basta prendere $(x,x)$ nel primo e nel quarto quadrante per vedere subito che non hai max/min.
questo non riesco a capirlo
forse volevi scrivere (x,y)? non è la stessa cosa che ho scritto io? ovvero provando valori entrambi positivi di x e y ed entrambi negativi di x,y?
buone notizie.. l'esame è stato spostato di una settimana quindi ho il tempo di rivedere per bene questo esercizio. Mi spiegate come si fa?
"CyberCrasher":
Ho trovato questo esercizio che è uscito qualche mese fa nella mia facoltà e non ne ho mai incontrati di questo tipo.
Quindi ricapitolo fin dove sono arrivato io
1) Verifico se la funzione è continua in quel punto
2) Se lo è verifico se è derivabile
3) Se non è derivabile non posso agire per hessiana (non potendo calcolare le derivate in quel punto)
Se la funzione non è derivabile cosa faccio? Come posso verificare cos'è?
continuo a cercare ma non trovo niente nè su internet nè sui libri.. sarà la stanchezza delle mie 12 ore al giorno di studio.. siete rimasti la mia unica speranza.
Mi sarebbe sufficiente qualche link o cmq qualche spiegazione su come sviluppare un esercizio del genere.. non ne ho idea. Grazie
Mi sarebbe sufficiente qualche link o cmq qualche spiegazione su come sviluppare un esercizio del genere.. non ne ho idea. Grazie
C'è sempre il solito problema di fondo: che cos'è per te un punto di sella? Io per "punto di sella" intendo un punto critico o singolare che non sia né di massimo né di minimo, ma sarà la stessa definizione che usa il tuo professore? Questo non posso proprio saperlo.
Nel procedimento che lui ci ha spiegato, dopo aver verificato quali sono i punti critici, definisce punti sella quelli in cui l'hessiana è minore di zero.
Quindi provando a ragionarci mi vien da dire che il punto sella DEVE essere un punto critico (ricavata dal grad=0) in cui non si ha nè un max nè un min.. proprio come hai detto tu. Che ne pensi?
Quindi provando a ragionarci mi vien da dire che il punto sella DEVE essere un punto critico (ricavata dal grad=0) in cui non si ha nè un max nè un min.. proprio come hai detto tu. Che ne pensi?
"CyberCrasher":Bene! Finalmente abbiamo capito che cos'è per te un punto di sella. Si tratta di un punto critico in cui il determinante Hessiano è negativo. Fermati qui, non aggiungere altro.
Nel procedimento che lui ci ha spiegato, dopo aver verificato quali sono i punti critici, definisce punti sella quelli in cui l'hessiana è minore di zero.
Ricordati che un punto critico può tranquillamente avere det. Hessiano nullo eppure non essere né di massimo né di minimo: quindi con questa definizione un punto critico può non essere né di massimo, né di minimo, né di sella. E' diverso da quello che ho detto io.
Detto questo, per risolvere l'esercizio che hai postato basta applicare le definizioni. C'è da fare un po' di conti, insomma.
che definizioni?
Come "che definizioni"? Le definizioni di punto di minimo, punto di massimo e punto di sella, ovviamente. Dai, che hai quasi finito. Grazie a Fioravante hai capito che il punto non è né di massimo né di minimo. Adesso cerca di capire se è un punto di sella oppure no.
come faccio a capire se è un punto critico o no, senza poter fare il gradiente? 
Io dell'esercizio che ho proposto all'inizio posso dire che 0 è punto critico se la funzione è continua in esso (visto che è un punto che "non sta nella funzione" ed è trattato separatamente) quindi automaticamente è di sella perchè non è di minimo e di massimo?
Io dell'esercizio che ho proposto all'inizio posso dire che 0 è punto critico se la funzione è continua in esso (visto che è un punto che "non sta nella funzione" ed è trattato separatamente) quindi automaticamente è di sella perchè non è di minimo e di massimo?
"CyberCrasher":
...quindi automaticamente è di sella perchè non è di minimo e di massimo?
A questa domanda ho già risposto partendo dalla definizione di punto di sella:
"CyberCrasher":
... definisce punti sella quelli in cui l'hessiana è minore di zero.
Continua tu, adesso. Ti sembra che questi due riquadri dicano la stessa cosa? Pensaci bene prima di rispondere.
"CyberCrasher":Se questa è la definizione, ovviamente deve esserci la matrice hessiana.
Nel procedimento che lui ci ha spiegato, dopo aver verificato quali sono i punti critici, definisce punti sella quelli in cui l'hessiana è minore di zero.
Ma sei sicuro che questa non sia stata enunciata come condizione sufficiente e che la definizione data sia un'altra?
Seguono alcune parole di darattere generale...
Ho l'impressione che nel corso che segui (per lo meno, per quello che dici) siano stati privilegiati gli aspetti standard alla ricerca di max, min, selle. Ovvero, questa ricerca viene fatta in presenza di opportune condizioni di derivabilità (notare che è quello che si fa in un programma standard, specialmente se non è rivolto a studenti di matematica). Il che porta, abbastanza inevitabilmente, ad apprendere un certo "marchingegno" che però ti lascia in braghe di tela se ti trovi una situazione in cui questo marchingegno si inceppa.
Vedi tu se è il caso di preoccuparti troppo per il non saper fare un esercizio come questo, che è di tipo "eccezionale".
La finalità di esercizi di questo tipo è quella di andare al "cuore" di ciò che significano max, min, selle. Per rinfrescare di cosa si tratti, cosa che spesso viene dimenticata, impegnati come si è a fare funzionare il marchingegno.
Fioravante Patrone: comprendo perfettamente e mi piacerebbe darti ragione ma purtroppo l'esercizio che ho proposto in questo topic è uscito qualche mese fa nella mia facoltà. So che vi viene difficile credermi ma parlando con colleghi seri che hanno seguito passo passo le lezioni anche loro lamentavano di non aver mai ricevuto spiegazioni in merito a determinati concetti e che certi esercizi alla fine non li faceva nessuno. Purtroppo la situazione è quella che è.. io certi appunti non li trovo nei miei colleghi e però li trovo agli esami. Gli esercizi sono sempre standard nell'esame che sto per andare a sostenere, cambiano solo i valori. Per questo motivo io ho voluto studiare una panoramica di tutti i concetti (forme differenziali, gradiente, studio di funzione quindi max, min, equazioni differenziali, limiti a 2 variabili, integrali doppi e curvilinei, piano tangente, derivate direzionali, continuità, derivabilità e differenziabilità). Poi guardando gli esami (che sono sempre uguali come tipologia) ho trovato alcuni esercizi per me irrisolvibili e vi ho tartassati di domande per qualche settimana . Cmq chiuso questo immenso discorso tutto sommato ho studiato veramente tanto e sono riuscito a scovare i metodi di risoluzione pratica di tutte le tipologie di esercizio che possono uscire.
Mi rendo conto che ho mancanze concettuali ma purtroppo non posso permettermi di prolungarmi in letture ecc anche se mi rendo conto che influenzano poi la facilità dello svolgimento degli esercizi ma se pensate che in un mese ho fatto tutti gli argomenti citati sopra studiando giorno e notte comprendete anche che ho anche io la mia stanchezza psicologica e l'interesse di concretizzare lo sviluppo degli esercizi.
Chiusa questa parentesi e tornando al discors di topic, continuo a non capire di cosa stiamo parlando. L'unico metodo che io conosco per calcolare max, min e punti sella di una funzione f(x,y) riguardano lo studio di hessiana e gradiente che comunque NON POSSO calcolare visto che non è derivabile.
Provando a tirare una soluzione io:
1. Se la funzione non è continua in quel punto, la risposta è la 4 ovvero (non è max, min o sella)
2. Se la funzione è continua in quel punto e mi rendo conto che negli intorni di (0,0) puo assumere valori positivi e negativi, visto che la funzione lì è 0 e che i suoi intorni non sono tutti pos o neg posso dire che non è nè un max nè un min ovvero è un punto sella.
3. Se la funzione è continua in quel punto e gli intorni sono tutti positivi o tutti negativi allora il punto è rispettivamente un minimo o un massimo.
Alla base del ragionamento ci sta sempre il fatto che la funzione è 0 in quel punto (quindi sfrutto la positività e la negatività degli intorni).
Più di questo non so elaborare considerando le mie conoscenze teoriche a riguardo.
Spero mi aiuterete. grazie
. Cmq chiuso questo immenso discorso tutto sommato ho studiato veramente tanto e sono riuscito a scovare i metodi di risoluzione pratica di tutte le tipologie di esercizio che possono uscire.Mi rendo conto che ho mancanze concettuali ma purtroppo non posso permettermi di prolungarmi in letture ecc anche se mi rendo conto che influenzano poi la facilità dello svolgimento degli esercizi ma se pensate che in un mese ho fatto tutti gli argomenti citati sopra studiando giorno e notte comprendete anche che ho anche io la mia stanchezza psicologica e l'interesse di concretizzare lo sviluppo degli esercizi.
Chiusa questa parentesi e tornando al discors di topic, continuo a non capire di cosa stiamo parlando. L'unico metodo che io conosco per calcolare max, min e punti sella di una funzione f(x,y) riguardano lo studio di hessiana e gradiente che comunque NON POSSO calcolare visto che non è derivabile.
Provando a tirare una soluzione io:
1. Se la funzione non è continua in quel punto, la risposta è la 4 ovvero (non è max, min o sella)
2. Se la funzione è continua in quel punto e mi rendo conto che negli intorni di (0,0) puo assumere valori positivi e negativi, visto che la funzione lì è 0 e che i suoi intorni non sono tutti pos o neg posso dire che non è nè un max nè un min ovvero è un punto sella.
3. Se la funzione è continua in quel punto e gli intorni sono tutti positivi o tutti negativi allora il punto è rispettivamente un minimo o un massimo.
Alla base del ragionamento ci sta sempre il fatto che la funzione è 0 in quel punto (quindi sfrutto la positività e la negatività degli intorni).
Più di questo non so elaborare considerando le mie conoscenze teoriche a riguardo.
Spero mi aiuterete. grazie
Risposte sintetiche:
- non metto in dubbio la tua buona volontà e i tuoi contributi questo forum ne sono testimoni
- che tu ti trovi davanti a un corso dalla gestione raffazzonata può ben succedere. Non dovrebbe, e bisogna protestare per questo, ma che ci siano corsi fatti male è un fatto. Per amor di sintesi: diciamo che ti credo sulla parola
Risposta tecnica:
- definizione di p.to di min locale.
Data una funzione $f:A \to RR$, con $A \subseteq RR^n$, $x_0 \in A$ è punto di min locale se esiste un intorno $U$ di $x_0$ t.c. $f(x) \ge f(x_0)$ per ogni $x \in A \cap U$
[size=75]NOTA1: volendo ci si può limitare agli intorni "sferici", ovvero ci si si può limitare agli $U$ del tipo: $U = {x \in RR^n : || x - x_0 || < \delta}$. Se necessario si può espandere questa nota[/size]
[size=75]NOTA2: il senso di p.to di min locale è "ovvio": si tratta di un punto che è min globale, ma solo relativamente ad un intorno (altrimenti detto: è p.to di min globale per la restrizione della funzione ad un intorno di $x_0$)[/size]
- le condizioni solite: gradiente nullo, hessiana definita/semidefinita, sono condizioni necessarie/sufficienti. Che permettono di poter asserire o negare che un p.to è di min locale senza dover ricorrere direttamente alla definizione (perché farlo usando direttamente la definizione è in generale più difficile)
- quando le condizioni solite non si possono applicare, nulla vieta di ricorrere alla definizione (e ci mancherebbe!!!), se ci si riesce. Nell'esempio tuo, questo è facilissimo: la funzione che ti è stata data vale 0 nell'origine, ed in OGNI intorno dell'origine assume valori sia strettamente negativi che strettamente positivi. ERGO: l'origine non è p.to di min locale perché viola la definizione (e viola anche quella di p.to di max locale).
- p.to di sella
- qui davvero non posso farci nulla. Contrariamente a max e min, la definizione di cosa sia un punto di sella non è universale (per curiosità, l'ho chiesto a un mio collega un paio di giorni fa [vedi che pensavo a te
] e la "sua" definizione è diversa dalla "mia")
- ad esempio, si potrebbe dire che un p.to è di sella se esistono due rette passanti per quel p.to t.c. il p.to sia di min (locale) per la restrizione di f alla prima retta e di max (locale) per f ristretta alla seconda retta
- l'unica cosa che mi sento di ribadire, è che dare come definizione di p.to di sella la condizione che la forma hessiana sia indefinita è una definizione che fa schifo
- non metto in dubbio la tua buona volontà e i tuoi contributi questo forum ne sono testimoni
- che tu ti trovi davanti a un corso dalla gestione raffazzonata può ben succedere. Non dovrebbe, e bisogna protestare per questo, ma che ci siano corsi fatti male è un fatto. Per amor di sintesi: diciamo che ti credo sulla parola
Risposta tecnica:
- definizione di p.to di min locale.
Data una funzione $f:A \to RR$, con $A \subseteq RR^n$, $x_0 \in A$ è punto di min locale se esiste un intorno $U$ di $x_0$ t.c. $f(x) \ge f(x_0)$ per ogni $x \in A \cap U$
[size=75]NOTA1: volendo ci si può limitare agli intorni "sferici", ovvero ci si si può limitare agli $U$ del tipo: $U = {x \in RR^n : || x - x_0 || < \delta}$. Se necessario si può espandere questa nota[/size]
[size=75]NOTA2: il senso di p.to di min locale è "ovvio": si tratta di un punto che è min globale, ma solo relativamente ad un intorno (altrimenti detto: è p.to di min globale per la restrizione della funzione ad un intorno di $x_0$)[/size]
- le condizioni solite: gradiente nullo, hessiana definita/semidefinita, sono condizioni necessarie/sufficienti. Che permettono di poter asserire o negare che un p.to è di min locale senza dover ricorrere direttamente alla definizione (perché farlo usando direttamente la definizione è in generale più difficile)
- quando le condizioni solite non si possono applicare, nulla vieta di ricorrere alla definizione (e ci mancherebbe!!!), se ci si riesce. Nell'esempio tuo, questo è facilissimo: la funzione che ti è stata data vale 0 nell'origine, ed in OGNI intorno dell'origine assume valori sia strettamente negativi che strettamente positivi. ERGO: l'origine non è p.to di min locale perché viola la definizione (e viola anche quella di p.to di max locale).
- p.to di sella
- qui davvero non posso farci nulla. Contrariamente a max e min, la definizione di cosa sia un punto di sella non è universale (per curiosità, l'ho chiesto a un mio collega un paio di giorni fa [vedi che pensavo a te
] e la "sua" definizione è diversa dalla "mia")- ad esempio, si potrebbe dire che un p.to è di sella se esistono due rette passanti per quel p.to t.c. il p.to sia di min (locale) per la restrizione di f alla prima retta e di max (locale) per f ristretta alla seconda retta
- l'unica cosa che mi sento di ribadire, è che dare come definizione di p.to di sella la condizione che la forma hessiana sia indefinita è una definizione che fa schifo
"CyberCrasher":
1. Se la funzione non è continua in quel punto, la risposta è la 4 ovvero (non è max, min o sella)
2. Se la funzione è continua in quel punto e mi rendo conto che negli intorni di (0,0) puo assumere valori positivi e negativi, visto che la funzione lì è 0 e che i suoi intorni non sono tutti pos o neg posso dire che non è nè un max nè un min ovvero è un punto sella.
3. Se la funzione è continua in quel punto e gli intorni sono tutti positivi o tutti negativi allora il punto è rispettivamente un minimo o un massimo.
Per amor di chiarezza preciso questo:
1. la continuità è irrilevante
2. (ovviamente la continuità continua ad essere irrilevante) "non è nè un max nè un min ovvero è un punto sella" attenzione, questo è errore concettuale grave. E' un po' come dire, per funzioni di una variabile: "non è nè un max nè un min ovvero è un punto di flesso". NON è vero, in genere, per la banale ragione che usualmente ci sono p.ti che non sono né di max, né di min, né di sella (flesso)
3. la continuità è irrilevante
Non mitizziamo la continuità. E' una proprietà importante delle funzioni, ma qui non serve, come penso sia evidente dalle risposte precedenti.
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