Min, max e punti sella di funzione f(x,y) non derivabile
Ho trovato questo esercizio che è uscito qualche mese fa nella mia facoltà e non ne ho mai incontrati di questo tipo.
Inizialmente ho pensato di vedere se la funzione è continua in (0,0).. se non lo fosse stata avrei detto che (0,0) non è nè punto sella nè punto di max,min ma purtroppo verifico che è lì la funzione è continua.
Per calcolare min, max e punti sella io procedo generalmente cercando i punti critici ma in questo caso dò per scontato che il punto (0,0) sia punto critico visto che mi viene dato a parte e che si comporta in maniera "strana" nella funzione.
Quindi procedo verificando l'hessiana ma in questo caso mi rendo conto che non posso calcolarla visto che la funzione non è derivabile in (0,0). Quindi cosa faccio? Vi prego ho esame domani
Inizialmente ho pensato di vedere se la funzione è continua in (0,0).. se non lo fosse stata avrei detto che (0,0) non è nè punto sella nè punto di max,min ma purtroppo verifico che è lì la funzione è continua.
Per calcolare min, max e punti sella io procedo generalmente cercando i punti critici ma in questo caso dò per scontato che il punto (0,0) sia punto critico visto che mi viene dato a parte e che si comporta in maniera "strana" nella funzione.
Quindi procedo verificando l'hessiana ma in questo caso mi rendo conto che non posso calcolarla visto che la funzione non è derivabile in (0,0). Quindi cosa faccio? Vi prego ho esame domani
Risposte
"CyberCrasher":
Ok.. scusa se sono un po ottuso a capire ma ho pure un po di febbre
Allora vediamo di fare un resoconto della situazione.
Se non è possibile derivare la funzione e quindi analizzarla con lo studio dell'hessiana:
1) Controllo $f(+-x,+-x)$ cercando di trovare una qualche direzione in cui essa risulti diversa da 0. Se la trovo allora mi fermo e dico che non è niente (D).
2) Se in qualunque direzione trovo lo 0 allora faccio uno studio degli intorni della funzione in quel punto vedendo se è maggiore o minore in tutti i 4 quadri del cartesiano (in tal caso avrò trovato rispettivamente un minimo o un massimo).
3) Se la 1) è verificata ma con la 2 non mi risulta un max o un min allora è un punto sella
Ci puo stare?
Non sono ben sicuro di capire/essrmi spiegato. Comunque se parti dal fatto che $f$ non e' derivabile (una o due volte ??) direi che per quanto gia' detto piu' volte la sella non puo' essere.
Dopo di che puoi anche fare un test sulle rette guardando $f(x,\pm x)$ (io ci aggiungerei anche "gli assi" $f(x,0)$ e $f(0,y)$) sperando che venga diverso da zero - e se va male devi vedere cosa fa $f$
negli intorni del punto.
ahhhh... una funzione non derivabile in un punto non può essere di sella in quel punto? questo non l'avevo capito..
Capito capito.. quindi se è derivabile procedo con l'hessiana, se non lo è devo solo verificare che sia un max o un min o nulla di tutto ciò quindi procedo cercando direzioni ed eventualmente analizzandola ad occhio diciamo.
Capito capito.. quindi se è derivabile procedo con l'hessiana, se non lo è devo solo verificare che sia un max o un min o nulla di tutto ciò quindi procedo cercando direzioni ed eventualmente analizzandola ad occhio diciamo.
"CyberCrasher":
ahhhh... una funzione non derivabile in un punto non può essere di sella in quel punto? questo non l'avevo capito..
Capito capito.. quindi se è derivabile procedo con l'hessiana, se non lo è devo solo verificare che sia un max o un min o nulla di tutto ciò quindi procedo cercando direzioni ed eventualmente analizzandola ad occhio diciamo.
Ora mi pare di concordare - comunque la questione dell'hessiana l'ho detta piu' volte (sempre AMMESSO che la definizione di sella preveda che esistano il gradiente e l'hessiano, che il gradiente sia zero e l'hessiano indefinito - che pero' e' la definizone che hai riportato tu un po' di post fa ...)
ho solo una domanda...
quando provo a fare $f'(x,+-x), f'(x,0), f'(0,y)$ cercandone uno diverso da zero, se la funzione mi viene in funzione di x cosa devo sostituire? tu prima hai sostituito $0^+ 0^-$ ma in base al fatto che il punto era l'origine ovvero tenendo conto della coordinata del punto?
quando provo a fare $f'(x,+-x), f'(x,0), f'(0,y)$ cercandone uno diverso da zero, se la funzione mi viene in funzione di x cosa devo sostituire? tu prima hai sostituito $0^+ 0^-$ ma in base al fatto che il punto era l'origine ovvero tenendo conto della coordinata del punto?
"CyberCrasher":
ho solo una domanda...
quando provo a fare $f'(x,+-x), f'(x,0), f'(0,y)$ cercandone uno diverso da zero, se la funzione mi viene in funzione di x cosa devo sostituire? tu prima hai sostituito $0^+ 0^-$ ma in base al fatto che il punto era l'origine ovvero tenendo conto della coordinata del punto?
certo - se no dovresti fare (per esempio) $f(x_0+h,y_0+h)$ (ora chiamo $h$ la variabile invece di $x$ che non mi piace) e fare la derivata rispetto ad $h$ calcolata per $h=0$.
"ViciousGoblin":
$f(x_0+h,y_0+h)$
ma scusa $f(x_0,y_0)$ non si puo derivare.. è la base della nostra discussione
"CyberCrasher":
[quote="ViciousGoblin"]$f(x_0+h,y_0+h)$
ma scusa $f(x_0,y_0)$ non si puo derivare.. è la base della nostra discussione[/quote]
Fosse cosi', neanche prima, con $x_0=0$ e $y_0=0$ si sarebbe potuto. Invece puo' esistere qualche derivata direzionale ( anche tutte) senza che $f$ sia differenziabile.
Pero' a questo punto mi sembra inutile insistere - credevo di semplificarti la vita facendoti notare che nell'esempio la derivata lungo la direzione $(1,1)$ (cioe' la derivata
di $f(h,h)$ (o $f(x,x)$) in zero) fa uno e questo esclude tutto - temo pero' di averti confuso e me ne dispiace
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