Min, max e punti sella di funzione f(x,y) non derivabile
Ho trovato questo esercizio che è uscito qualche mese fa nella mia facoltà e non ne ho mai incontrati di questo tipo.
Inizialmente ho pensato di vedere se la funzione è continua in (0,0).. se non lo fosse stata avrei detto che (0,0) non è nè punto sella nè punto di max,min ma purtroppo verifico che è lì la funzione è continua.
Per calcolare min, max e punti sella io procedo generalmente cercando i punti critici ma in questo caso dò per scontato che il punto (0,0) sia punto critico visto che mi viene dato a parte e che si comporta in maniera "strana" nella funzione.
Quindi procedo verificando l'hessiana ma in questo caso mi rendo conto che non posso calcolarla visto che la funzione non è derivabile in (0,0). Quindi cosa faccio? Vi prego ho esame domani
Inizialmente ho pensato di vedere se la funzione è continua in (0,0).. se non lo fosse stata avrei detto che (0,0) non è nè punto sella nè punto di max,min ma purtroppo verifico che è lì la funzione è continua.
Per calcolare min, max e punti sella io procedo generalmente cercando i punti critici ma in questo caso dò per scontato che il punto (0,0) sia punto critico visto che mi viene dato a parte e che si comporta in maniera "strana" nella funzione.
Quindi procedo verificando l'hessiana ma in questo caso mi rendo conto che non posso calcolarla visto che la funzione non è derivabile in (0,0). Quindi cosa faccio? Vi prego ho esame domani
Risposte
Fiorviante ti ringrazio per esserti messo d'impegno e avermi illustrato chiaramente la situazione. A mente lucida comprendo perfettamente quanto hai scritto (anche perchè sei stato chiarissimo).
Sinceramente pensavo ci fosse un metodo specifico (tipo quello del gradiente) che non prendesse in considerazione nè le derivate nè la definizione (che in certi casi potrebbe risultare inapplicabile per me che non dimestichezza e potrei addirittura trovarmi a fare dei ragionamenti che potrebbero smentire).
Detto questo il fatto del punto sella, quando me ne hai parlato per la prima volta, non riuscivo a capire perchè per me è inpensabile che un concetto matematico possa essere variabile da persona a persona.. e sinceramente rimango un po allibito
L'unica cosa che posso dire è che in un esercizio del genere potrei verificare se il punto è di max e min osservandolo "ad occhio" come abbiamo fatto con questo. Poi per quanto riguarda il punto sella fin'ora non trovo altro che l'applicazione per via di gradiente e nient'altro che possa aiutarci a capire cosa lui intenda per punto sella. Vedrò di scavare.. se ho novità posto. Chiederò che libro di testo usa e se ha dato una definizione di sella.. Anche se l'esame è domani quindi vedrò di affrettarmi Grazie mille ad entrambi per il sostegno che mi avete dato fin'ora.
Sinceramente pensavo ci fosse un metodo specifico (tipo quello del gradiente) che non prendesse in considerazione nè le derivate nè la definizione (che in certi casi potrebbe risultare inapplicabile per me che non dimestichezza e potrei addirittura trovarmi a fare dei ragionamenti che potrebbero smentire).
Detto questo il fatto del punto sella, quando me ne hai parlato per la prima volta, non riuscivo a capire perchè per me è inpensabile che un concetto matematico possa essere variabile da persona a persona.. e sinceramente rimango un po allibito
L'unica cosa che posso dire è che in un esercizio del genere potrei verificare se il punto è di max e min osservandolo "ad occhio" come abbiamo fatto con questo. Poi per quanto riguarda il punto sella fin'ora non trovo altro che l'applicazione per via di gradiente e nient'altro che possa aiutarci a capire cosa lui intenda per punto sella. Vedrò di scavare.. se ho novità posto. Chiederò che libro di testo usa e se ha dato una definizione di sella.. Anche se l'esame è domani quindi vedrò di affrettarmi
Grazie mille ad entrambi per il sostegno che mi avete dato fin'ora.
"CyberCrasher":Ti posso capire. La ragione di questa difformità è che il concetto, l'idea di "punto di sella", viene usata in contesti diversi e con finalità diverse. E allora uno si dà la definizione che più gli "funge", a seconda del contesto.
Detto questo il fatto del punto sella, quando me ne hai parlato per la prima volta, non riuscivo a capire perchè per me è inpensabile che un concetto matematico possa essere variabile da persona a persona.. e sinceramente rimango un po allibito
Ah, in bocca al lupo!
Mi inserisco in questa discussione sperando di essere utile (in funzione dell'esame).
Se il punto di sella e' stato definito come un punto critico in cul l'hessiano e' indefinito allora direi che
se si vede che $(0,0)$ non e' critico, allora $(0,0)$ non puo' essere una sella. Per dire che $(0,0)$ non e' critico
(cioe' con gradiente nullo) basta notare che $f(x,x)=x$ da cui la derivata lungo la direzione $(1,1)$ fa $1$
e quindi $f$ non puo' avere gradiente nullo in $(0,0)$ - in realta' $f$ non e' differenziabile in $(0,0)$ come e'
gia' stato detto. Quindi, con la definizione sopra, la risposta sarebbe la (d).
E' chiaro che uno potrebbe cercare di definire le selle indipendentemente dalla differenziabilita' (come per i massimi e i minimi)
ma credo proprio che non ci sia accordo sul tema. Nel caso in esame lo studio del segno di $f$ fa vedere che $f$ e' positiva
sulle tre regioni ${x>0,y>0}$, ${x>0,x+y<0}$ e ${x<0,x+y>0}$. Io non chiamerei sella un tale punto - nel mio ambiente quella
sarebbe una "monkey saddle" (sella da scimmia con il posto per la coda )
Se il punto di sella e' stato definito come un punto critico in cul l'hessiano e' indefinito allora direi che
se si vede che $(0,0)$ non e' critico, allora $(0,0)$ non puo' essere una sella. Per dire che $(0,0)$ non e' critico
(cioe' con gradiente nullo) basta notare che $f(x,x)=x$ da cui la derivata lungo la direzione $(1,1)$ fa $1$
e quindi $f$ non puo' avere gradiente nullo in $(0,0)$ - in realta' $f$ non e' differenziabile in $(0,0)$ come e'
gia' stato detto. Quindi, con la definizione sopra, la risposta sarebbe la (d).
E' chiaro che uno potrebbe cercare di definire le selle indipendentemente dalla differenziabilita' (come per i massimi e i minimi)
ma credo proprio che non ci sia accordo sul tema. Nel caso in esame lo studio del segno di $f$ fa vedere che $f$ e' positiva
sulle tre regioni ${x>0,y>0}$, ${x>0,x+y<0}$ e ${x<0,x+y>0}$. Io non chiamerei sella un tale punto - nel mio ambiente quella
sarebbe una "monkey saddle" (sella da scimmia con il posto per la coda
)
Ciao "CyberCrasher",
come ti hanno già accennato gli altri che sono intervenuti nella discussione, la definizione di "sella" dipende un po' dal contesto...per esperienza personale io posso dirti di aver incontrato sostanzialmente due tipi di definizioni di sella.
In Geometria Differenziale, il concetto di sella è legato alla geometria iperbolica, ossia il punto di sella è visto come un punto stazionario iperbolico, cioè un punto con curvatura gaussiana negativa.
In Analisi, invece il concetto di sella è visto come un punto stazionario che non è ne di max, ne di min, ne di flesso, ma non necessariamente un punto iperbolico....infatti la superficie $z=x^4-y^4$ ha in $(0,0)$ un punto stazionario, che non è un punto iperbolico, ma è un punto planare, ossia di curvatura gaussiana nulla, ma nonostante ciò nei libri di Analisi è considerato comunque (a differenza di Geometria Differenziale) un punto di sella.
Questo è quanto ho incontrato io.....altro non so dirti!
come ti hanno già accennato gli altri che sono intervenuti nella discussione, la definizione di "sella" dipende un po' dal contesto...per esperienza personale io posso dirti di aver incontrato sostanzialmente due tipi di definizioni di sella.
In Geometria Differenziale, il concetto di sella è legato alla geometria iperbolica, ossia il punto di sella è visto come un punto stazionario iperbolico, cioè un punto con curvatura gaussiana negativa.
In Analisi, invece il concetto di sella è visto come un punto stazionario che non è ne di max, ne di min, ne di flesso, ma non necessariamente un punto iperbolico....infatti la superficie $z=x^4-y^4$ ha in $(0,0)$ un punto stazionario, che non è un punto iperbolico, ma è un punto planare, ossia di curvatura gaussiana nulla, ma nonostante ciò nei libri di Analisi è considerato comunque (a differenza di Geometria Differenziale) un punto di sella.
Questo è quanto ho incontrato io.....altro non so dirti!
"ViciousGoblin":
Per dire che $(0,0)$ non e' critico
(cioe' con gradiente nullo) basta notare che $f(x,x)=x$ da cui la derivata lungo la direzione $(1,1)$ fa $1$
e quindi $f$ non puo' avere gradiente nullo in $(0,0)$
Spiegami bene questa cosa perchè ai fini d'esame mi sembra utile per verificare subito la (D).
Quindi sostituisco (x,x) e vedo che fa x. Poi non capisco che ragionamento fai prendendo una direzione.
"CyberCrasher":
[quote="ViciousGoblin"]Per dire che $(0,0)$ non e' critico
(cioe' con gradiente nullo) basta notare che $f(x,x)=x$ da cui la derivata lungo la direzione $(1,1)$ fa $1$
e quindi $f$ non puo' avere gradiente nullo in $(0,0)$
Spiegami bene questa cosa perchè ai fini d'esame mi sembra utile per verificare subito la (D).
Quindi sostituisco (x,x) e vedo che fa x. Poi non capisco che ragionamento fai prendendo una direzione.[/quote]
Cio' che volevo dire e' che
SE la definizione di punto di sella PREVEDE che
(*) $f$ sia differenziabile due volte nel punto, che il punto sia critico, che l'Hessiano sia indefinito
ALLORA qundo una di queste proprieta' viene a mancare il punto non e' di sella
Considerando $f(x,x)$ si vede subito che $(0,0)$ non puo' essere critico (anche senza dimostrare - cosa che sarebbe vera - che $f$ non e' differenziabile in $(0,0)$). Infatti se
$f$ fosse differenziabile e avesse gradiente nullo in $(0,0)$ allora la derivata direzionale, rispetto a una qualunque direzione, sarebbe nulla. Ma la derivata direzionale
nella direzione $(1,1)$ corrisponde proprio alla derivata (in zero) di $f(x,x)$, che invece fa $1$.
Tutto questo - ripeto - se la definizione di punto di sella e' (*). Se e' cosi' il resto dei miei discorsi sulle selle era di tono generale e ininfluente per la risposta.
Beh, semplice se sostiutisci nella funzione di partenza $y=x$, ottieni $f(x,x)=x$ la cui derivata è appunto $1$
Ooops ci siamo accavallati!
Ooops ci siamo accavallati!
"Alexp":
Beh, semplice se sostiutisci nella funzione di partenza $y=x$, ottieni $f(x,x)=x$ la cui derivata è appunto $1$
Ooops ci siamo accavallati!
Pero' ho vinto io
Volevo aggiungere che per come sono abituato io mentre $x^4-y^4$ ha una sella in zero $xy(x+y)$ non ce l'ha. Questa e' una visione parziale (della tribu' degli "analisti non lineari")
per cui una sella ha comunque "un indice", cioe' uno splitting dello spazio in direzioni di decrescenza e di crescenza. Se $f$ ha derivata seconda cio' corrisponde a Hessiano indefinito,
se no la cosa e' complicata.
quindi all'esame farò prima la sostituzione ovvero f(x,x), ne faccio la derivata e se è diverso da 0 non è critico dunque metto d.
In alternativo provo a vedere gli intorni per poter dire se è max o min. Speriamo capiti un caso di questi
In alternativo provo a vedere gli intorni per poter dire se è max o min. Speriamo capiti un caso di questi
"ViciousGoblin":
Pero' ho vinto io
Eh si sei stato più veloce!
"ViciousGoblin":
Volevo aggiungere che per come sono abituato io mentre $x^4-y^4$ ha una sella in zero $xy(x+y)$ non ce l'ha. Questa e' una visione parziale (della tribu' degli "analisti non lineari") per cui una sella ha comunque "un indice", cioe' uno splitting dello spazio in direzioni di decrescenza e di crescenza. Se $f$ ha derivata seconda cio' corrisponde a Hessiano indefinito, se no la cosa e' complicata.
Si certo, tra l'altro se non erro $xy(x+y)$ dovrebbe generare in $(0,0)$ una sorta di flesso...
"CyberCrasher":
quindi all'esame farò prima la sostituzione ovvero f(x,x), ne faccio la derivata e se è diverso da 0 non è critico dunque metto d.
In alternativo provo a vedere gli intorni per poter dire se è max o min. Speriamo capiti un caso di questi
Calma .....
1) dato che le nozioni di max/min prescidono dalla derivabilita' le devi comunque controllare (quindi no "in alternativa", questa mi sembra la prima cosa da fare). Se hai le derivate e l'hessiano puoi usare quelle se no devi vedere il comportamento della funzione negli intorni.
2) $f(x,x)$ va bene in questo esempio e non e' una regola generale. Certo se su una qualche direzione la derivata esiste e non e' nulla allora il punto non puo' essere stazionario
e quindi no sella con la def. (*) .
"ViciousGoblin":
1) dato che le nozioni di max/min prescidono dalla derivabilita' le devi comunque controllare (quindi no "in alternativa", questa mi sembra la prima cosa da fare). Se hai le derivate e l'hessiano puoi usare quelle se no devi vedere il comportamento della funzione negli intorni.
Sisi.. il mio discorso era riferito al caso di non derivabilità.. ovvio se è derivabile procedo col metodo più sicuro
"CyberCrasher":
[quote="ViciousGoblin"]
1) dato che le nozioni di max/min prescidono dalla derivabilita' le devi comunque controllare (quindi no "in alternativa", questa mi sembra la prima cosa da fare). Se hai le derivate e l'hessiano puoi usare quelle se no devi vedere il comportamento della funzione negli intorni.
Sisi.. il mio discorso era riferito al caso di non derivabilità.. ovvio se è derivabile procedo col metodo più sicuro
[/quote]Allora se la funzione non e' derivabile (e quindi non puo' essere una sella) devi vedere, analizzando il comportamento negli intorni, se e' max o min o niente.
"ViciousGoblin":
[quote="CyberCrasher"][quote="ViciousGoblin"]
1) dato che le nozioni di max/min prescidono dalla derivabilita' le devi comunque controllare (quindi no "in alternativa", questa mi sembra la prima cosa da fare). Se hai le derivate e l'hessiano puoi usare quelle se no devi vedere il comportamento della funzione negli intorni.
Sisi.. il mio discorso era riferito al caso di non derivabilità.. ovvio se è derivabile procedo col metodo più sicuro
[/quote]Allora se la funzione non e' derivabile (e quindi non puo' essere una sella) devi vedere, analizzando il comportamento negli intorni, se e' max o min o niente.[/quote]
sisi mi sembra che è quello che ho detto 2 post fa o sbaglio?
"CyberCrasher":
quindi all'esame farò prima la sostituzione ovvero f(x,x), ne faccio la derivata e se è diverso da 0 non è critico dunque metto d.
In alternativo provo a vedere gli intorni per poter dire se è max o min. Speriamo capiti un caso di questi
Ora però mi viene un dubbio...
Se ho la funzione: $((x+y)/(x^2+y^2)$ in $(x,y)!=(0,0)$ e 0 in $(x,y)=(0,0)$
immaginiamo che non sia derivabile.
$f'(x,x)=log|x|$. In questo caso cosa potrei dire? (0,0) è un punto critico? cioè.. dopo aver derivato f'(x,x), se ottengo una funzione devo sostituire ad x la coordinata x del punto da verificare? e se non esiste o viene infinito?
Se ho la funzione: $((x+y)/(x^2+y^2)$ in $(x,y)!=(0,0)$ e 0 in $(x,y)=(0,0)$
immaginiamo che non sia derivabile.
$f'(x,x)=log|x|$. In questo caso cosa potrei dire? (0,0) è un punto critico? cioè.. dopo aver derivato f'(x,x), se ottengo una funzione devo sostituire ad x la coordinata x del punto da verificare? e se non esiste o viene infinito?
"CyberCrasher":
[quote="ViciousGoblin"][quote="CyberCrasher"][quote="ViciousGoblin"]
1) dato che le nozioni di max/min prescidono dalla derivabilita' le devi comunque controllare (quindi no "in alternativa", questa mi sembra la prima cosa da fare). Se hai le derivate e l'hessiano puoi usare quelle se no devi vedere il comportamento della funzione negli intorni.
Sisi.. il mio discorso era riferito al caso di non derivabilità.. ovvio se è derivabile procedo col metodo più sicuro
[/quote]Allora se la funzione non e' derivabile (e quindi non puo' essere una sella) devi vedere, analizzando il comportamento negli intorni, se e' max o min o niente.[/quote]
sisi mi sembra che è quello che ho detto 2 post fa o sbaglio?
"CyberCrasher":[/quote]
quindi all'esame farò prima la sostituzione ovvero f(x,x), ne faccio la derivata e se è diverso da 0 non è critico dunque metto d.
In alternativo provo a vedere gli intorni per poter dire se è max o min. Speriamo capiti un caso di questi
Fare $f(x,x)$ come prima cosa non mi pareva sensato "in generale" dato che $f(x,x)$ e' legato all'esempio.
Pero' hai ragione se intendevi che
1) trovi una direzione rispetto a cui la derivata e' non nulla e allora segni (d)
se non la trovi
2) vedi se esistono derivata prima e seconda e allora ragioni in modo standard
se no
3) vedi se hai max/min analizzando la funzione in un intorno (sella non puo essere stante la definizione con la derivata seconda)
Ripeto che il punto 1) e' molto collegato con il caso particolare
"CyberCrasher":
Ora però mi viene un dubbio...
Se ho la funzione: $((x+y)/(x^2+y^2)$ in $(x,y)!=(0,0)$ e 0 in $(x,y)=(0,0)$
immaginiamo che non sia derivabile.
$f'(x,x)=log|x|$. In questo caso cosa potrei dire? (0,0) è un punto critico? cioè.. dopo aver derivato f'(x,x), se ottengo una funzione devo sostituire ad x la coordinata x del punto da verificare? e se non esiste o viene infinito?
In questo caso $f(x,x)=1/x$ che va a $\pm \infty$ se $x\to0^{pm}$
quindi tale funzione non ha ne' max ne' min in $(0,0)$ (in cui vale zero). Inoltre non e' ovviamente continua e quindi tantomeno e' differenziabile (quindi niente sella)
Ti ripeto pero' di non affezionarti troppo a $f(x,x)$ : se per esempio ci fosse stato $\frac{yx^2-xy^2}{x^2+y^2}$ la cosa giusta sarebbe stata $f(x,-x)$.
a quindi in generale provo la funzione con coordinate +- x..
"CyberCrasher":
a quindi in generale provo la funzione con coordinate +- x..
Diciamo che, se chi prepara gli esercizi non e' particolarmente ..., hai buone possibilita' che vada - anche se sarebbe meglio capire cosa va fatto caso per caso.
Ok.. scusa se sono un po ottuso a capire ma ho pure un po di febbre
Allora vediamo di fare un resoconto della situazione.
Se non è possibile derivare la funzione e quindi analizzarla con lo studio dell'hessiana:
1) Controllo $f(+-x,+-x)$ cercando di trovare una qualche direzione in cui essa risulti diversa da 0. Se la trovo allora mi fermo e dico che non è niente (D).
2) Se in qualunque direzione trovo lo 0 allora faccio uno studio degli intorni della funzione in quel punto vedendo se è maggiore o minore in tutti i 4 quadri del cartesiano (in tal caso avrò trovato rispettivamente un minimo o un massimo).
3) Se la 1) è verificata ma con la 2 non mi risulta un max o un min allora è un punto sella
Ci puo stare?
Allora vediamo di fare un resoconto della situazione.
Se non è possibile derivare la funzione e quindi analizzarla con lo studio dell'hessiana:
1) Controllo $f(+-x,+-x)$ cercando di trovare una qualche direzione in cui essa risulti diversa da 0. Se la trovo allora mi fermo e dico che non è niente (D).
2) Se in qualunque direzione trovo lo 0 allora faccio uno studio degli intorni della funzione in quel punto vedendo se è maggiore o minore in tutti i 4 quadri del cartesiano (in tal caso avrò trovato rispettivamente un minimo o un massimo).
3) Se la 1) è verificata ma con la 2 non mi risulta un max o un min allora è un punto sella
Ci puo stare?
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