Interpretazione integrale definito
Salve ragazzi 
Vorrei sapere qual'è l'interpretazione più generale dell'integrale di Riemann (in una dimensione), che molto spesso viene presentato come l'area con segno del trapezoide sotteso al grafico dell'integranda $f(x)$, definita nell'intervallo $[a,b]$.
A mio avviso, questa interpretazione è poco efficace per chi, come me, ha a che fare con discipline come la Fisica.
Mi spiego meglio
In Cinematica, per esempio, sappiamo che la posizione $x(t)$ - in funzione del tempo $t$ - di un punto materiale - che si muove di moto rettilineo - può essere ricavata, nota la funzione velocità istantanea $v(t)$, tramite l'integrale
\[\int^t_{t_0}v(t)\,dt \]
che, agli occhi di uno studente di ingegneria al primo anno, non ha nulla a che fare con l'area del trapezoide sotteso al grafico di $v(t)$ tra $t_0$ e $t$.
A mio parere, risulta più efficace un'interpretazione dell'integrale che lo veda come una somma di contributi infinitesimi, che ricordo di aver trovato da qualche parte...Tuttavia, nè sui testi nè sul web ho trovato una specie di formalizzazione di questo mio pensiero, ma solo una breve esposizione, più di carattere intuitivo e pratico che formale.
Grazie in anticipo
Vorrei sapere qual'è l'interpretazione più generale dell'integrale di Riemann (in una dimensione), che molto spesso viene presentato come l'area con segno del trapezoide sotteso al grafico dell'integranda $f(x)$, definita nell'intervallo $[a,b]$.
A mio avviso, questa interpretazione è poco efficace per chi, come me, ha a che fare con discipline come la Fisica.
Mi spiego meglio
In Cinematica, per esempio, sappiamo che la posizione $x(t)$ - in funzione del tempo $t$ - di un punto materiale - che si muove di moto rettilineo - può essere ricavata, nota la funzione velocità istantanea $v(t)$, tramite l'integrale\[\int^t_{t_0}v(t)\,dt \]
che, agli occhi di uno studente di ingegneria al primo anno, non ha nulla a che fare con l'area del trapezoide sotteso al grafico di $v(t)$ tra $t_0$ e $t$.
A mio parere, risulta più efficace un'interpretazione dell'integrale che lo veda come una somma di contributi infinitesimi, che ricordo di aver trovato da qualche parte...Tuttavia, nè sui testi nè sul web ho trovato una specie di formalizzazione di questo mio pensiero, ma solo una breve esposizione, più di carattere intuitivo e pratico che formale.
Grazie in anticipo
Risposte
In realtà dipende da quale punto di vista consideri la funzione. Non ti serve a nulla intepretare l'integrale in maniera geometrica, secondo me. In fisica è più utile considerare l'operazione di integrazione come operazione inversa alla derivazione, in quanto la velocità istantanea è la derivata prima della posizione in funzione del tempo.
Così facendo, stabilisci un legame analitico fra due dati concreti. Per quanto riguarda le applicazioni pratiche, sempre a mio avviso, però, la nozione di velocità istantanea serve a ben poco. Quando si ha a che fare con il metodo galileiano non te ne frega nulla della velocità di un corpo in un preciso istante, quanto piuttosto la velocità media di quel corpo per capirne il comportamento e/o lavorare sul moto.
Così facendo, stabilisci un legame analitico fra due dati concreti. Per quanto riguarda le applicazioni pratiche, sempre a mio avviso, però, la nozione di velocità istantanea serve a ben poco. Quando si ha a che fare con il metodo galileiano non te ne frega nulla della velocità di un corpo in un preciso istante, quanto piuttosto la velocità media di quel corpo per capirne il comportamento e/o lavorare sul moto.
In realtà dipende da quale punto di vista consideri la funzione. Non ti serve a nulla intepretare l'integrale in maniera geometrica, secondo me. In fisica è più utile considerare l'operazione di integrazione come operazione inversa alla derivazione, in quanto la velocità istantanea è la derivata prima della posizione in funzione del tempo.
Grazie innanzitutto per l'interesse
l'esempio tratto dalla fisica era semplicemente uno strumento per chiarire quale fosse il mio problema, ma vedo che non ha funzionato Il mio problema è trovare un'interpretazione dell'integrale di Riemann che sia "efficace" in qualunque contesto...la classica interpretazione è quella geometrica, che attribuisce all'integrale il significato dell'area sottesa al grafico etc...
A mio avviso, tuttavia, nel momento in cui qualcuno debba utilizzare lo strumento matematico rappresentato dall'integrale per una qualsiasi applicazione, il fatto di vederlo "come area" non aiuta...
Provo ancora a fare un esempio
Consideriamo una trave di lunghezza $L$ riportata
sull’asse reale in modo che un estremo sia in $x = 0$ e l’altro in $x = L$. Sia $\rho(x)$
la densità di massa per unità di lunghezza nel punto $x \in [0, L]$.
L' "esperienza" mi insegna che qualora voglio calcolare la massa $M$ della trave in questione, non devo far altro che calcolare
\[\int_0^L\rho(x)\,dx\]
Il mio problema è che so che devo compiere questa operazione, ma non so su quale "fondamento teorico" (MATEMATICO, non fisico) basarmi quando lo faccio. Quindi mi chiedo: è possibile un'altra interpretazione dell'integrale (in una o più dimensioni) che giustifichi questa mia operazione?
Vedere l'integrale come un'area non mi aiuta in questo caso...se invece penso all'integrale come "somma continua di contributi infinitesimi" allora sì che il tutto comincia a quadrare. Vorrei sapere se magari esiste una "formalizzazione" di questa mio modo di vedere l'integrale.
"Plepp":In realtà dipende da quale punto di vista consideri la funzione. Non ti serve a nulla intepretare l'integrale in maniera geometrica, secondo me. In fisica è più utile considerare l'operazione di integrazione come operazione inversa alla derivazione, in quanto la velocità istantanea è la derivata prima della posizione in funzione del tempo.
Grazie innanzitutto per l'interesse
Il mio problema è trovare un'interpretazione dell'integrale di Riemann che sia "efficace" in qualunque contesto...la classica interpretazione è quella geometrica, che attribuisce all'integrale il significato dell'area sottesa al grafico etc...
A mio avviso, tuttavia, nel momento in cui qualcuno debba utilizzare lo strumento matematico rappresentato dall'integrale per una qualsiasi applicazione, il fatto di vederlo "come area" non aiuta...
Come al solito... Torno a ripetere: non esiste un'interpretazione o un significato che siano "efficaci in ogni contesto"; piuttosto esistono interpretazioni differenti in contesti differenti.
Continuo a non capire perché vogliate attribuire un significato "fisico" fisso a degli oggetti che fisici non sono.
"Plepp":
Provo ancora a fare un esempio
Consideriamo una trave di lunghezza $L$ riportata
sull’asse reale in modo che un estremo sia in $x = 0$ e l’altro in $x = L$. Sia $\rho(x)$
la densità di massa per unità di lunghezza nel punto $x \in [0, L]$.
L' "esperienza" mi insegna che qualora voglio calcolare la massa $M$ della trave in questione, non devo far altro che calcolare
\[\int_0^L\rho(x)\,dx\]
Il mio problema è che so che devo compiere questa operazione, ma non so su quale "fondamento teorico" (MATEMATICO, non fisico) basarmi quando lo faccio. Quindi mi chiedo: è possibile un'altra interpretazione dell'integrale (in una o più dimensioni) che giustifichi questa mia operazione?
Vedere l'integrale come un'area non mi aiuta in questo caso...se invece penso all'integrale come "somma continua di contributi infinitesimi" allora sì che il tutto comincia a quadrare. Vorrei sapere se magari esiste una "formalizzazione" di questa mio modo di vedere l'integrale.
La funzione densità \(\rho\) è la cosiddetta derivata di Radon di una misura, nel caso particolare della misura che ad ogni parte sensatamente buona di un corpo associa la propria massa.
Per maggiori informazioni, potresti cominciare a dare uno sguardo qui.
...non esiste un'interpretazione o un significato che siano "efficaci in ogni contesto"; piuttosto esistono interpretazioni differenti in contesti differenti.
Continuo a non capire perché vogliate attribuire un significato "fisico" fisso a degli oggetti che fisici non sono.
Grazie della risposta. Quanto all'ultima frase, personalmente la ritengo veritiera "al 99%". In fin dei conti, molti degli oggetti matematici nascono per soddisfare le esigenze della fisica, vedi l'integrale di Riemann, che, a quanto ne so, è nato per calcolare le aree di alcune zone di terreno di forma irregolare...
Tornando al problema, mi parve di leggere sul libro di cui parlammo nell'altro thread (quello per licei scientifici
) che quella di area era un'interpretazione particolare dell'integrale, mentre una più generale (adesso non ricordo le parole esatte) è quella di somma continua di contributi infinitesimi...leggendo quel paragrafo cominciai a pensare che, forse, la mia intuizione aveva un certo fondamento, da cui questo thread. Ti cito ancora:non esiste un'interpretazione o un significato che siano "efficaci in ogni contesto"; piuttosto esistono interpretazioni differenti in contesti differenti.
Sono d'accordo, in quanto si tratta di un oggetto matematico. Però mi chiedo se esiste un'interpretazione MATEMATICA più generale, magari simile alla mia? Forse continuo ad usare il termine inappropriato quando parlo di interpretazione: più che interpretazione, intenderei dire "visione", ma comunque intendendo il termine in maniera formale.
Magari il problema è nella mia testa
non si sa mai però ritengo giusto indagare su cose del genere!Grazie
"Plepp":...non esiste un'interpretazione o un significato che siano "efficaci in ogni contesto"; piuttosto esistono interpretazioni differenti in contesti differenti.
Continuo a non capire perché vogliate attribuire un significato "fisico" fisso a degli oggetti che fisici non sono.
Grazie della risposta. Quanto all'ultima frase, personalmente la ritengo veritiera "al 99%". In fin dei conti, molti degli oggetti matematici nascono per soddisfare le esigenze della fisica, vedi l'integrale di Riemann, che, a quanto ne so, è nato per calcolare le aree di alcune zone di terreno di forma irregolare...
Ma ciò non significa che gli oggetti matematici esistano in natura, e nemmeno che essi abbiano necessariamente proprietà che noi possiamo percepire coi nostri sensi.
"Plepp":
Tornando al problema, mi parve di leggere sul libro di cui parlammo nell'altro thread (quello per licei scientifici
Quella che proponi è un'interpretazione euristica e nient'affatto matematica dell'integrale.
Avrebbe potuto essere un'interpretazione matematica due secoli fa, ma adesso sono solo chiacchiere che non possono avere una formalizzazione precisa (a patto di non introdurre i numeri iperreali, ma sarebbe uno spreco).
"Plepp":
Ti cito ancora:
non esiste un'interpretazione o un significato che siano "efficaci in ogni contesto"; piuttosto esistono interpretazioni differenti in contesti differenti.
Sono d'accordo, in quanto si tratta di un oggetto matematico. Però mi chiedo se esiste un'interpretazione MATEMATICA più generale, magari simile alla mia? Forse continuo ad usare il termine inappropriato quando parlo di interpretazione: più che interpretazione, intenderei dire "visione", ma comunque intendendo il termine in maniera formale.
L'interpretazione corretta dell'integrale si dà nella Teoria della Misura e dell'Integrazione Astratta; prova a leggere Folland, Real Analysis, oppure Rudin, Real and Complex Analysis.
In tale ambito non ha senso parlare di "contributi infinitesimi", quindi...
Quella che proponi è un'interpretazione euristica e nient'affatto matematica dell'integrale.
Era proprio il termine che cercavo
Conclusione: come al solito, o vai fino in fondo, o non ci capisci niente
vabè proverò a documentarmi su questi argomenti, magari sui testi che mi hai consigliato...Grazie
Plepp, la morale che devi tirare da questi tuoi due thread è la seguente.
Gli oggetti matematici sono totalmente slegati dal contesto fisico dal quale (inevitabilmente) nascono e si sviluppano per conto loro, raggiungendo livelli che non sono facilmente accessibili ai "non addetti".
Pertanto non puoi pretendere che il significato metematico profondo di un oggetto sia facilmente comprensibile (o addirittura spiegabile) a qualcuno che è totalmente a digiuno della teoria.
Tuttavia, si possono dare delle idee euristiche sul come tali oggetti funzionino e sulla loro importanza pratica: ciò è possibile perché (quasi*) tutti gli oggetti matematici hanno un'origine "fisica", più o meno evidente.
L'importante è non spacciare mai l'interpretazione euristica di un oggetto con una sua spiegazione formale (infatti, se uno studente va a dire all'esame che l'integrale definito è "una somma continua di contributi infinitesimi", il professore di Analisi medio lo caccia a pedate fuori dall'aula).
__________
* Il "quasi" lo metto solo per far contenti gli algebristi, i quali, mediamente, credono di vivere in un iperuranio di oggetti nati per pura grazia del Signore.
Gli oggetti matematici sono totalmente slegati dal contesto fisico dal quale (inevitabilmente) nascono e si sviluppano per conto loro, raggiungendo livelli che non sono facilmente accessibili ai "non addetti".
Pertanto non puoi pretendere che il significato metematico profondo di un oggetto sia facilmente comprensibile (o addirittura spiegabile) a qualcuno che è totalmente a digiuno della teoria.
Tuttavia, si possono dare delle idee euristiche sul come tali oggetti funzionino e sulla loro importanza pratica: ciò è possibile perché (quasi*) tutti gli oggetti matematici hanno un'origine "fisica", più o meno evidente.
L'importante è non spacciare mai l'interpretazione euristica di un oggetto con una sua spiegazione formale (infatti, se uno studente va a dire all'esame che l'integrale definito è "una somma continua di contributi infinitesimi", il professore di Analisi medio lo caccia a pedate fuori dall'aula).
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* Il "quasi" lo metto solo per far contenti gli algebristi, i quali, mediamente, credono di vivere in un iperuranio di oggetti nati per pura grazia del Signore.
Purtroppo, Gugo, la morale l'ho tratta... Comincio a pensare che un ingegnere che si rispetti debba conseguire, una volta laureato, almeno una triennale in Matematica...o continuerà a maneggiare, anche se magari con successo, strumenti che non conosce a fondo...
Un piccolo OT: oggi ho seguito una lezione sulla cinematica ed ho assistito a quello che, a mio avviso, è una bestemmia:
\[v(t)=\dfrac{dx}{dt}\implies dx=v(t)\,dt\]
Quando ho chiesto ulteriori spiegazioni al Prof. in privato, ha giustificato tutto ciò (naturalmente senza dimostrare alcunchè) dicendo che nel caso unidimensionale è possibile considerare quella derivata come una vera e propria frazione.
A questo punto, o sono io che non ci ho capito un tubo dell'Analisi, o, come disse Lisdap, i fisici ragionano in un modo tutto loro, che per qualche misteriosa ragione funziona...Aiuto
Comincio a pensare che un ingegnere che si rispetti debba conseguire, una volta laureato, almeno una triennale in Matematica...o continuerà a maneggiare, anche se magari con successo, strumenti che non conosce a fondo...Un piccolo OT: oggi ho seguito una lezione sulla cinematica ed ho assistito a quello che, a mio avviso, è una bestemmia:
\[v(t)=\dfrac{dx}{dt}\implies dx=v(t)\,dt\]
Quando ho chiesto ulteriori spiegazioni al Prof. in privato, ha giustificato tutto ciò (naturalmente senza dimostrare alcunchè) dicendo che nel caso unidimensionale è possibile considerare quella derivata come una vera e propria frazione.
A questo punto, o sono io che non ci ho capito un tubo dell'Analisi, o, come disse Lisdap, i fisici ragionano in un modo tutto loro, che per qualche misteriosa ragione funziona...Aiuto
"Plepp":
Purtroppo, Gugo, la morale l'ho tratta...
E quale sarebbe il problema?
Dopotutto un ingegnere è un ingegnere, mica un matematico.
Caccioppoli stesso, quando ancora ingegneri, matematici e fisici seguivano gli stessi corsi di Analisi, soleva dire: "Se un ingegnere all'esame mi dice che una funzione è continua quando il suo grafico può essere tracciato con un unico tratto di matita, gliela faccio passare; ma di certo ciò non può essere permesso ad un matematico".
"Plepp":
Un piccolo OT: oggi ho seguito una lezione sulla cinematica ed ho assistito a quello che, a mio avviso, è una bestemmia:
\[v(t)=\dfrac{dx}{dt}\implies dx=v(t)\,dt\]
Quando ho chiesto ulteriori spiegazioni al Prof. in privato, ha giustificato tutto ciò (naturalmente senza dimostrare alcunchè) dicendo che nel caso unidimensionale è possibile considerare quella derivata come una vera e propria frazione.
A questo punto, o sono io che non ci ho capito un tubo dell'Analisi, o, come disse Lisdap, i fisici ragionano in un modo tutto loro, che per qualche misteriosa ragione funziona...Aiuto
Questo è un modo barbaro, ma efficace, di usare la notazione di Leibniz (che è nata proprio per rendere evidenti i rapporti tra derivata e differenziale).
Se ci pensi, per la prima uguaglianza è \(v=x^\prime\), quindi necessariamente è \(\text{d} x =v\ \text{d} t\) passando ai differenziali.
Io non ci vedo nulla di strano in questi giochetti, a patto che si sappia come giustificare il tutto.
Ad esempio, ho usato tranquillamente questo metodo quando ho dovuto calcolare l'espressione della superficie laterale di un solido di rotazione in \(\mathbb{R}^N\) (cfr. qui).
Se ci pensi, per la prima uguaglianza è $v=x′$, quindi necessariamente è $dx=v dt$ passando ai differenziali.
Beh questa sicuramente è un modo più giusto (più che giusto, matematico) di giustificare (e a questo punto, di spiegare) la cosa
Io non ci vedo nulla di strano in questi giochetti, a patto che si sappia come giustificare il tutto.
Giustissimo! Magari però ci insegnassero a farlo (giustificare i "giochetti") oltre che ad utilizzarli...
Vabè non continuiamo ad andare OT
Grazie per l'attenzione, Gugo
"Plepp":Se ci pensi, per la prima uguaglianza è $v=x′$, quindi necessariamente è $dx=v dt$ passando ai differenziali.
Beh questa sicuramente è un modo più giusto (più che giusto, matematico) di giustificare (e a questo punto, di spiegare) la cosa
Io non ci vedo nulla di strano in questi giochetti, a patto che si sappia come giustificare il tutto.
Giustissimo! Magari però ci insegnassero a farlo (giustificare i "giochetti") oltre che ad utilizzarli...
Su qualche libro (serio) di Analisi hai mai trovato l'implicazione che hai citato buttata lì come se fosse vera?
Oppure, un professore di Analisi ti ha mai contrabbandato quello scempio come verità?
Io non credo.
Il problema è che ormai pochi studenti leggono le cose che studiano con spirito critico; i più prendono per buono tutto ciò che viene propinato loro, senza porsi problemi.
Su qualche libro (serio) di Analisi hai mai trovato l'implicazione che hai citato buttata lì come se fosse vera?
Oppure, un professore di Analisi ti ha mai contrabbandato quello scempio come verità?
Io non credo.
Parlavo dei docenti di Fisica...quelli di Analisi ne danno pure troppe di dimostrazioni
"Plepp":Su qualche libro (serio) di Analisi hai mai trovato l'implicazione che hai citato buttata lì come se fosse vera?
Oppure, un professore di Analisi ti ha mai contrabbandato quello scempio come verità?
Io non credo.
Parlavo dei docenti di Fisica...quelli di Analisi ne danno pure troppe di dimostrazioni
Siamo sempre lì... I fisici sono fisici e fanno il loro lavoro; i matematici ne fanno un altro.
Quando eri al liceo hai mai protestato perché il professore di Inglese non insegnava anche Storia dell'Arte?
"Plepp":
Salve ragazzi
Vorrei sapere qual'è l'interpretazione più generale dell'integrale di Riemann (in una dimensione), che molto spesso viene presentato come l'area con segno del trapezoide sotteso al grafico dell'integranda $f(x)$, definita nell'intervallo $[a,b]$.
A mio avviso, questa interpretazione è poco efficace per chi, come me, ha a che fare con discipline come la Fisica.
Mi spiego meglio
\[\int^t_{t_0}v(t)\,dt \]
che, agli occhi di uno studente di ingegneria al primo anno, non ha nulla a che fare con l'area del trapezoide sotteso al grafico di $v(t)$ tra $t_0$ e $t$.
Ho iniziato il corso di Fisica I ed ho visto questo parte proprio oggi ed effettivamente a noi è stato detto che:
$\Deltax=$ $\int_(t_0)^(t)v(t')dt'$, ( la prof usa questa notazione per non creare confusione tra estremi di integrazione e variabili rispetto a cui si integra ed ha specificato che per indicare la derivata userà la notazione di Leibniz o di Newton in alcuni casi) ovvero lo spostamento, è effettivamente l'area sottesa alla curva che rappresentiamo in un grafico dove mettiamo $x(t)$ nelle ordinate e $t$ nelle ascisse.
slave ragazzi scusate se mi intrometto nel discorso. Gugo ciò che hai scritto nell'ultimo post è senza ombra di dubbio corretto ma ho letto un articolo del professore Patrone sulle EDO a variabili separabili e mi sembra che il suo metodo sia più che preciso... in fondo quella è una EDO a varibili separabili quindi il modo corretto di risolverla sarebbe quello proposto dal professore non credi? (chiedo scusa se introduco un concetto che esula dal tema del thread)
Ciao Paolo non si parla di come risolvere una EDO, ma del fatto che dall'equazione
\[v(t)=\dfrac{dx}{dt}\]
i docenti di Fisica giungano a
\[dx=v\,dt\qquad\qquad(1)\]
trattando $dx/dt$ come una vera e propria frazione (che a quanto pare "funziona", ma è una bestemmia). Il modo corretto
di giungere alla $(1)$ è quello mostrato da Gugo, che oltre ad essere corretto, almeno dal mio punto di vista, crea meno confusione nello studente in quanto è coerente con quanto si è studiato nel corso di Analisi.
non si parla di come risolvere una EDO, ma del fatto che dall'equazione\[v(t)=\dfrac{dx}{dt}\]
i docenti di Fisica giungano a
\[dx=v\,dt\qquad\qquad(1)\]
trattando $dx/dt$ come una vera e propria frazione (che a quanto pare "funziona", ma è una bestemmia). Il modo corretto
di giungere alla $(1)$ è quello mostrato da Gugo, che oltre ad essere corretto, almeno dal mio punto di vista, crea meno confusione nello studente in quanto è coerente con quanto si è studiato nel corso di Analisi.
infatti sono daccordo con te! Ma ora mi sorge un dubbio: quella non è una EDO a variabili separabili? o.O.
In sostanza con quel metodo di risoluzione si stan seprando le varibili, il metodo di Gugo chiarisce senz'altro la questione ma la mia era piuttosto curiosità. Se la considero come EDO, come a me sembra che sia, posso risolverla in quel modo?
P.S. concordo, il termine appropriato per tale scrittura è "bestemmia" xD
In sostanza con quel metodo di risoluzione si stan seprando le varibili, il metodo di Gugo chiarisce senz'altro la questione ma la mia era piuttosto curiosità. Se la considero come EDO, come a me sembra che sia, posso risolverla in quel modo?
P.S. concordo, il termine appropriato per tale scrittura è "bestemmia" xD
Probabilmente mi sbaglierò ma credo che quello che vuole dire paolotesla è che anche nel corso di analisi II si scrive quella cosa, quando si fanno le EDO a variabili separabili.
Piccolo esempio (anche per capire se sto centrando il problema):
$ z'=z/x $
da cui
$ dz/dx=z/x $ ---> $ dz/z=dx/x $ etc etc
Quindi come dice Gugo nemmeno io ci vedo niente di strano. Magari si sbaglierà a dare la corretta giustificazione di tale procedimento (cosa che capita molto spesso purtroppo), però mi sembra corretta la scrittura.
Scusate l'intromissione!
Piccolo esempio (anche per capire se sto centrando il problema):
$ z'=z/x $
da cui
$ dz/dx=z/x $ ---> $ dz/z=dx/x $ etc etc
Quindi come dice Gugo nemmeno io ci vedo niente di strano. Magari si sbaglierà a dare la corretta giustificazione di tale procedimento (cosa che capita molto spesso purtroppo), però mi sembra corretta la scrittura.
Scusate l'intromissione!
esatto marshall intedevo dire proprio questo
"gugo82":
Io non ci vedo nulla di strano in questi giochetti, a patto che si sappia come giustificare il tutto.
Ciao Gugo, in che modo è possibile giustificare il tutto?
Grazie!
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